1. 개요
solid angle ・ 立體角입체각은 각을 3차원으로 확장한 개념으로, 각이 평면상에서 벌어진 정도를 나타내는 것처럼 입체각은 공간상에서 퍼진 정도를 나타낸다. 일반적으로 그리스 문자 [math(Omega)](오메가)로 나타낸다.
이하 서술에서 물리량에 [math(\underline{~~})](언더 바)가 그어져 있는 것은 단위가 약분된 물리량, 즉 [math(\underline\theta = \theta/{\rm rad})], [math(\underline\Omega = \Omega/{\rm sr})] 등이다.
2. 정의
스테라디안(steradian, [math(\rm sr)])을 단위로 하는 정의와 평방도(平方度, square degree; [math(\deg^2)] 혹은 [math(\degree^2)])를 단위로 하는 정의가 있다. 전자가 입체각에 차원이 없음을 단적으로 드러내는, 좀 더 엄밀한 방식이며 그래서인지 국제단위계의 유도 단위로 등록된 쪽은 스테라디안이다.2.1. 스테라디안을 단위로 하는 경우
호도법에서 각을 정의할 때 반지름과 호의 길이를 이용한다. 즉, 호의 길이가 [math(l)]인 부채꼴의 반지름이 [math(r)]일 때, 각 [math(\theta)]는 다음과 같이 정의된다.| [math(\underline\theta=\dfrac lr)] |
그리고 반원에 대한 각은 아래와 같이 계산할 수 있다.
| [math(\begin{aligned} \pi &\equiv \int^1_{-1} \frac{{\rm d}t}{\sqrt{1-t^2}} = 2\int_0^1 \frac{{\rm d}t}{\sqrt{1-t^2}} \\ &\Leftrightarrow \int_{-\infty}^\infty \frac{{\rm d}t}{1+t^2} = 2\int_0^\infty \frac{{\rm d}t}{1+t^2} \\ &\approx 3.14159265358979 \cdots \end{aligned})] |
이와 유사하게, 반지름이 [math(r)]인 구면 위 한 영역의 면적이 [math(A)]일 때, 입체각 [math(\Omega)]는 다음과 같이 정의된다. 아래 그림을 참고하라.
| [math(\underline\Omega=\dfrac A{r^2})] |
단위인 스테라디안([math(\rm sr)])은 라디안이 호도법의 각임을 명시하는 기능이 있는 것처럼 생략하지 않는다. 예를 들어 입체각의 측정치를 [math(\pi)]라고만 적어놓으면 이게 평면각([math(\rm\pi\,rad)])인지, 입체각([math(\rm\pi\,sr)])인지 구분이 되지 않기 때문이다.
호도법과 마찬가지로 구의 반지름이 1이라면, 입체각의 수치는 구면 위의 [math(A)]의 넓이 수치가 된다.
[math(A)]의 넓이는 아래와 같은 부채꼴의 회전체에서 길이가 [math(r_0\underline\alpha)]인 호가 회전하여 얻어지는 도형의 넓이이므로 구면좌표계를 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다.
천정각[1] [math(\theta)]가 [math(\theta=\alpha)]인 부채꼴에서 [math(z)]축을 중심으로 회전하는 방위각을 [math(\phi)]라고 하면 [math(\underline\phi)]의 범위는 [math([0,\,2\pi])]이고, [math(A)]의 미소 넓이 [math({\rm d}A)]는 두 변의 길이가 [math(r_0\,{\rm d}\underline\theta)], [math(r_0\sin\underline\theta\,{\rm d}\underline\phi)]인 사각형의 넓이 [math({r_0}^2\sin\underline\theta\,{\rm d}\underline\theta\,{\rm d}\underline\phi)]와 같다. 따라서 [math(A)]의 넓이는 [math({\rm d}A = {r_0}^2\sin\underline\theta\,{\rm d}\underline\theta\,{\rm d}\underline\phi)]를 적분한 값으로, 다음과 같다.
| [math(\begin{aligned}A &= \iint_A\,{\rm d}A \\&= \iint_A {r_0}^2\sin\underline\theta\,{\rm d}\underline\theta\,{\rm d}\underline\phi \\&= \int_0^{2\pi}\int_0^{\underline\alpha} {r_0}^2\sin\underline\theta\,{\rm d}\underline\theta\,{\rm d}\underline\phi \\ &= 2\pi {r_0}^2(1-\cos\underline\alpha)\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned}{\rm d}s &= \sqrt{({\rm d}x)^2 + ({\rm d}y)^2} \\&= \sqrt{1 + (y')^2}{\rm\,d}x \\&= \dfrac{r_0{\rm\,d}x}{\sqrt{{r_0}^2-x^2}} = \dfrac{r_0{\rm\,d}x}y\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned}A &= 2\pi{\left|\int_{r_0}^x y{\rm\,d}s\right|} \\ &= 2\pi\int_x^{r_0} r_0{\rm\,d}x \\ &= 2\pi r_0(r_0 - x) \\ &= 2\pi {r_0}^2(1-\cos\underline\alpha) \end{aligned})] |
정의에 따라 입체각은
| [math(\begin{aligned} \underline\Omega&=\frac A{ {r_0}^2} \\&=2\pi(1-\cos\underline\alpha) \\&= 4 \pi \sin^2\frac{\underline\alpha}2 \\ \therefore \Omega &= 4\pi\sin^2\frac{\underline\alpha}2{\rm\,sr} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \underline\Omega &= \frac\Omega{\rm sr} = 1 = 2\pi(1-\cos\underline\alpha) = 4\pi\sin^2\frac{\underline\alpha}2\\ \therefore \alpha &= \underline\alpha{\rm\,rad} \\ &= \arccos{\left(1-\dfrac1{2\pi}\right)}{\rm\,rad} \\&= 2\arcsin\dfrac1{2\sqrt\pi}{\rm\,rad} \\ &= -2i \operatorname{Log}\left( \dfrac{i}{2 \sqrt{\pi}} + \sqrt{1 - \dfrac{1}{4 \pi}} \right){\rm\,rad} \\ &\fallingdotseq 0.57195\,{\rm rad} \\ &\fallingdotseq 32.7705\degree\end{aligned})] (단, [math(i\triangleq\sqrt{-1})]) |
나아가, 구의 겉넓이를 반지름에 대해 적분하면 구의 부피가 되듯이, [math(A)]를 반지름에 대해 적분해주면 회전체의 부피 [math(V)]가 나오는데
| [math(\begin{aligned}V &= \int_0^rA\,{\rm d}r_0 \\&= \int_0^r 2\pi {r_0}^2(1-\cos\underline\alpha)\,{\rm d}r_0 \\ &= \dfrac23\pi r^3(1-\cos\underline\alpha)\end{aligned})] |
단, 위에서 논한 [math(1{\rm\,sr})]을 형성하는 부채꼴 중심각 값은 어디까지나 원뿔면으로 방사될 경우에 해당하는 특수한 케이스로, 구면에 투사된 영역의 넓이가 [math(r^2)]과 같기만 하면 되기 때문에 [math(1{\rm\,sr})]을 특징 짓는 값은 하나로 정해지지 않는다.[4] 가장 간단하게는 후술하는 것처럼 [math({rm sr} = {rm rad^2})]이므로 각뿔면 형태로 방사되는 상황을 상정하면 천정각 [math(\theta)]와 방위각 [math(\phi)]에 대하여 [math(\phi = 1{\rm\,rad} = \cfrac{180\degree}\pi \fallingdotseq 57.2958\degree)]이고 [math(\cos\underline\theta)]의 차이가 [math(1)]이 되도록 벌어진 입체각[5]도 [math(1{\rm\,sr})]이다. 이를테면 [math(\Delta\phi = 1{\rm\,rad})]으로 고정한 상태에서, [math(0{\rm\,rad} \le \theta \le \pi{\rm\,rad})] 범위의 삼각뿔면 모양, 즉 [math(z = \sqrt{r^2-(x^2 + y^2)})] 형태의 반구에서 [math(z)]축부터 적도선 위의 한 점을 잇는 평면이 [math(z)]축을 중심으로 [math(1{\rm\,rad})]만큼 회전하면서 휩쓰는 입체각도 [math(1{\rm\,sr})]이고[6], [math(\cfrac\pi3 \le \theta \le \cfrac{2\pi}3{\rm\,rad})], 즉 위도 [math(-30\degree \sim 30\degree)], 범위로 사각뿔면 모양으로 벌어진 입체각도 [math(1{\rm\,sr})]이다.[7]
2.1.1. 분석
이제 우리는 임의의 곡면의 입체각을 구하는 방법을 알아보고자 한다. 원점을 [math(\rm O)]라고 하자.우리는 분석에 앞서 우선 임의의 곡선에 대한 2차원 각을 구하는 방법을 간략히 알아보고자 한다. 위 내용을 잘 이해했다면, 2차원 각은 반지름이 1인 단위원에서 호의 수치와 같다는 것을 이해했을 것이다. 따라서 임의의 곡선에 대한 각은 그 곡선을 단위원의 호 상에 투사했을 때, 그 길이가 그 곡선에 대한 각이 된다. 아래의 그림을 참고하자.
그렇다면, 임의의 곡면에 대한 입체각은 결국 그 곡면을 반지름이 [math(1)]인 구면 위로 투사시켰을 때의 그 면적과 같다는 것을 알 수 있다. 아래의 그림을 참고하자.
이를 토대로 우리는 곡면 [math(S)] 상의 미소 면적소 [math({\rm d}a)]를 고려하고, 이 면적소에 대한 미소 입체각 [math({\rm d}\Omega)]를 고려하자.
즉, [math({\rm d}\underline\Omega)]는 반지름이 [math(1)]인 구면 위의 영역임을 알 수 있다. [math(S)] 상의 미소 면적소 [math({\rm d}a)]를 반지름이 [math(r)]인 구면 위로 투사시킨 영역의 넓이를 [math({\rm d}a')]이라 하자. 그리고 [math({\rm d}a)]의 면적소 법선 벡터를 [math(\bf\hat n)]이라 하자. 면적소 [math({\rm d}a')]은 구면 위에 있으므로 이 면적소에 대한 면적소 법선 벡터는 [math(\bf\hat r)]이 될 것이다. 사실상 [math({\rm d}a')]은 [math({\rm d}a)]의 정사영이므로
| [math({\rm d}a'={\rm d}a\cos({\bf\hat n},\,{\bf\hat r}))] |
| [math({\rm d}a'=({\bf\hat n}\cdot{\bf\hat r})\,{\rm d}a)] |
| [math({\rm d}a'={\bf\hat r}\cdot{\rm d}{\bf a})] |
| [math( \begin{aligned} {\rm d}\underline\Omega&=\dfrac{{\rm d}a'}{r^2}\\&=\dfrac{{\bf\hat r}\cdot{\rm d}{\bf a}}{r^2} \end{aligned})] |
| [math(\displaystyle \underline\Omega=\iint_S\frac{{\bf\hat r}\cdot{\rm d}{\bf a}}{r^2})] |
| [math(\displaystyle \underline\Omega=\iint_S\frac{({\bf r-v})\cdot{\rm d}{\bf a}}{|{\bf r-v}|^3})] |
2.1.2. 폐곡면에 대한 입체각
폐곡면에 대한 입체각을 구할 때는 기준이 되는 점 [math(\rm O)][8]의 위치를 주의해야 한다. (위 그림 참고.)
폐곡면 [math(S)] 내부에 점 [math(\rm O)]가 있다고 해보자. 폐곡면의 면적을 단위구의 표면으로 투사시킨다면 단위구 전체를 매워쌀 수 있을 것이므로, 계산해보지 않더라도 그 입체각은 단위구 전체의 면적과 같다는 것을 알 수 있다. 즉,
| [math(\underline\Omega=4\pi)] |
위 그림은 우리가 살펴보는 상황을 나타낸 것이다. 구면을 기준으로 폐곡면 [math(S)]는 두 부분으로 나뉘게 된다. 나뉘는 기준은 나눠진 영역에 대해 각각 전체적으로 봤을 때 면적소 법선 벡터 [math({\rm d}{\bf a})]가 양이 되는 부분(적색 영역)인지, 아니면 음이 되는 부분(청색 부분)[9]인지이다. 그런데 이 두 부분을 각각의 열린 곡면이라 생각하고 각 영역에 대한 입체각을 구해본다면, 구면에 투사된 넓이는 같으므로 입체각은 같다. 그러나, 구면을 기준으로 법선 벡터의 방향이 다르게 되고, 결국 두 기여분이 상쇄되기 때문에 입체각은 [math(0{\rm\,sr})]이 된다.[10]
나아가 점 [math(\rm O)]가 폐곡선 안에 있을 때는 구면을 기준으로 모든 면적소 법선 벡터가 '나가는 방향'으로 보이게 되므로 값이 구해진다.
2.1.3. 참고 거리
구면좌표계를 고려해보도록 하자. 반지름 [math(r)]인 구면에 대해| [math({\rm d}{\bf a}={\bf\hat r}\,r^2\sin\underline\theta{\rm\,d}\underline\theta{\rm\,d}\underline\phi)] |
| [math({\rm d}\underline\Omega=\sin\underline\theta{\rm\,d}\underline\theta{\rm\,d}\,\phi)] |
| [math(r^2{\rm\,d}r{\rm\,d}\underline\Omega)] |
| [math(\displaystyle \int V(r) \cdot r^2\,{\rm d}r\int{\rm d}\underline\Omega)] |
2.2. 평방도를 단위로 하는 경우
육십분법을 단위로 하는 평면각의 직교좌표계를 바탕으로, 넓이를 구하듯이 평면각을 적분하여 얻어진다.이해하기 쉽게 말하자면 위도 방향(천정각), 경도 방향(방위각)으로 각각 [math(x\degree)], [math(y\degree)]씩 벌어져서 생기는 호 4개로 이루어진 도형[11]을 만드는 입체각은 [math(xy\degree^2 = xy\,\deg^2)]이다. 따라서 [math(1)]평방도는 [math(1\degree)]씩 직교하면서 벌어진 영역의 입체각에 해당한다. 평면각 자체가 단위에 관계없이 차원이 없는 물리량이기 때문에(각 문서 참조) 평방도도 역시 차원이 없다.
예로부터 천구좌표계에 위치한 별자리의 크기를 재는 데에 이 평방도 단위가 쓰이고 있다. 평방도 값이 가장 큰 별자리는 바다뱀자리로 약 [math(1303\,\deg^2)]이며 이는 천구의 약 [math(1/32)]을 차지하는 넓이이다. 반면 평방도 값이 가장 작은 별자리는 남십자자리로 약 [math(68\,\deg^2)]이다.
구의 반지름을 [math(r)]이라고 하면, 육십분법으로 나타낸 직교하는 두 평면각 [math(z)], [math(w)]로 만들어지는 호의 길이는 각각 [math({z\pi r}/{180\degree})], [math({w\pi r}/{180\degree})]이므로, 해당 영역의 넓이 [math(A)]는
| [math( \begin{aligned} A &= r^2zw\left(\dfrac\pi{180\degree}\right)^2 \\&= r^2zw\left(\dfrac\pi{180}\right)^2\deg^{-2} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} &zw : r^2zw\left(\dfrac\pi{180}\right)^2\deg^{-2} \\ &= 1 : r^2\left(\dfrac\pi{180}\right)^2\deg^{-2} = \Omega_{\deg^2} : 4\pi r^2 \\ &\Longleftrightarrow~ \left(\dfrac\pi{180}\right)^2\deg^{-2}\Omega_{\deg^2} = 4\pi\end{aligned} \\ \begin{aligned} \therefore \Omega_{\deg^2} &= \dfrac{360^2}\pi\deg^2 \\ &= 41\,252.961\cdots\,\deg^2 \end{aligned} )] |
2.3. 평방도와 스테라디안, 라디안의 관계
입체각이 구 표면 전체로 퍼질 때, 평방도를 단위로 하는 입체각 [math(\Omega_{\deg^2})], 스테라디안 단위로 하는 입체각 [math(\Omega)]는 각각| [math(\Omega_{\deg^2} = \dfrac{360^2}\pi\deg^2, \qquad \Omega = 4\pi\rm\,sr)] |
| [math(\begin{aligned} \Omega_{\deg^2}/\deg^2 : \dfrac{360^2}\pi &= \Omega/{\rm sr} : 4\pi \\ \Omega_{\deg^2}/\deg^2 &= \left(\dfrac{180}\pi\right)^2\Omega/{\rm sr} \\ \therefore \Omega/{\rm sr} &= \left(\dfrac\pi{180}\right)^2\Omega_{\deg^2}/\deg^2 \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \deg^2 &= \left(\dfrac\pi{180}\right)^2{\rm sr} \\ \rm sr &= \left(\dfrac{180}\pi\right)^2\deg^2\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned}\rm1\,\deg^2 &= (1\degree)^2 \\&=\rm \left(\dfrac{\pi\,rad}{180}\right)^2 \\&=\rm \left(\dfrac\pi{180}\right)^2rad^2 \\&=\rm \left(\dfrac\pi{180}\right)^2 \,sr \end{aligned})] |
3. 응용
3.1. 광학
광선속은 점광원에서 나온 빛 다발이 공간으로 퍼진 정도를 고려한 광도로서 단위인 [math(\rm lm)](루멘)은 [math({\rm lm} = {\rm cd{\cdot}sr})]로 정의된다.3.2. 열역학
흑체복사에서 분광 복사휘도| [math(B_\nu(\nu,\,T) = \dfrac{2h\nu^3}{c^2}\dfrac1{e^{{h\nu}/{k_{\rm B}T}} - 1}{\rm\,sr^{-1}})] |
| [math(u_\nu(\nu,\,T) = \dfrac{8\pi h\nu^3}{c^3}\dfrac1{e^{{h\nu}/{k_{\rm B}T}}-1})] |
3.3. 전자기학
점전하의 전기장 공식| [math({\bf E}({\bf r}) = \dfrac q{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\bf\hat r}{r^2})] |
3.4. 지구과학
지구에서 위도 [math(\varphi_1)], [math(\varphi_2)], 경도 [math(\lambda_1)], [math(\lambda_2)](단, 단위는 모두 [math(\rm rad)])로 둘러싸인 영역의 입체각을 스테라디안의 정의에서 도출한 적분식으로 구할 수 있다. 전술한 구좌표계에서 [math(\phi = \lambda)]에 대응되며 위도는 적도, 즉 [math(xy)]평면이 기준이므로 적도에서 북극 방향을 양의 방향으로 잡으면| [math(\underline\theta = \dfrac\pi2-\underline\varphi \qquad \biggl(-\dfrac\pi2\le\underline\varphi\le\dfrac\pi2 \biggr))] |
| [math( \begin{aligned} {\rm d}A &= r^2\sin\underline\theta{\rm\,d}\underline\theta{\rm\,d}\underline\phi \\&= -r^2\cos\underline\varphi{\rm\,d}\underline\varphi{\rm\,d}\underline\lambda\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned}A &= \biggl|-\int_{\underline{\lambda_1}}^{\underline{\lambda_2}}\int_{\underline{\varphi_1}}^{\underline{\varphi_2}} r^2\cos\underline\varphi{\rm\,d}\underline\varphi{\rm\,d}\underline\lambda\biggr| \\ &= \biggl|r^2\int_{\underline{\varphi_1}}^{\underline{\varphi_2}}\cos\underline\varphi{\rm\,d}\underline\varphi\int_{\underline{\lambda_1}}^{\underline{\lambda_2}}{\rm\,d}\underline\lambda\biggr| \\ &= r^2|\sin\underline{\varphi_2} - \sin\underline{\varphi_1} | \underline{\lambda_2} - \underline{\lambda_1}|\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned}\Omega &= {\left| \sin\frac{\underline{\varphi_2}\pi}{180} - \sin\frac{\underline{\varphi_1}\pi}{180} \right|}{\left|\frac{\underline{\lambda_2}\pi}{180} - \frac{\underline{\lambda_1}\pi}{180}\right|}{\rm\,sr} \\ &= {\left|\sin\frac{\varphi_2\pi}{180\degree} - \sin\frac{\varphi_1\pi}{180\degree} \right|}{\left|\frac{\lambda_2\pi}{180\degree} - \frac{\lambda_1\pi}{180\degree}\right|}{\rm\,rad}^2 \\ &= \frac{180\degree}\pi{\left| \sin\frac{\varphi_2\pi}{180\degree} - \sin\frac{\varphi_1\pi}{180\degree} \right|}\frac{180\degree}\pi{\left|\frac{\lambda_2\pi}{180\degree} - \frac{\lambda_1\pi}{180\degree}\right|} \\ &= \frac{180\degree}\pi{\left| \sin\frac{\varphi_2\pi}{180\degree} - \sin\frac{\varphi_1\pi}{180\degree} \right|}|\lambda_2 - \lambda_1| \end{aligned})] |
4. 기타
- 사람의 시야를 가늠해볼 수 있는 시야각 등 실생활에서 자주 떠올려볼 수 있는 개념임에도 불구하고 '고등학교 교육과정'에는 등장하지 않는다.
- 물리학에서 선속과 관련된 물리량을 계산하다 보면 이 입체각이 등장하게 된다. 쉬운 예로, 가우스 법칙 문서를 보라.
- 광학에서 발광 광도를 논할 때 입체각의 개념이 사용된다.
- 입체각을 이해했다면, 어떠한 물체를 단위 구면 상에 투사했을 때의 넓이라는 것도 알 수 있을 것이다. 지구 안의 관측자 입장에서 달과 태양은 거의 같은 크기로 관측되나, 지구로부터의 거리는 매우 다른데, 그렇게 관측되는 이유는 태양과 달의 입체각이 지구 안의 관측자에게 거의 같게 관측되기 때문이다.
- 입체각을 넘어 초입체각도 생각할 수 있다. 구를 기준으로 한 입체각의 정의를 임의의 초구로까지 확장한 것이다. 이를테면 4차원 위의 3차원 초구의 극좌표 표기로부터 얻어지는 초입체각은 평면각의 세제곱으로 나타나므로 등가 단위는 [math(\rm rad^3)]이 되고, 4차원 초공간을 메우는 초입체각의 크기는 [math(2\pi^2{\rm\,rad^3})]이다.
5. 관련 문서
[1] [math(z)]축 양의 방향을 기준으로 [math(xy)]평면을 향하여 벌어진 각[2] 다시 말해, 실수임에도 이 수를 허수단위 [math(\boldsymbol i)] 없이 표현할 수 없다. 이 때문인지 스테라디안의 정의식에 잘 등장하지 않는다.[3] 해당 값은 오일러 공식을 이용해 복소평면 위에서 재정의한 [math(arcsin)]에서 유도된다. 이렇게 재정의한 [math(\arcsin)]은 다가 함수이기 때문에 결괏값을 유일하게 하기 위해 분지 절단을 하는 것이다.[4] 물론 자연에서 선속 등이 방사될 때는 원뿔면으로 퍼지는 게 가장 일반적이긴 하다.[5] 그냥 [math(\theta)]가 아니고 [math(\cos\underline\theta)]인 이유는 구면상에서 [math(z)]축의 높이에 따라 방위각으로 인한 호의 길이가 달라지기 때문에 이를 보정하기 위해서이다. 수학적으로는 전술한 미소 입체각 [math({\rm d}\underline\Omega = \sin\underline\theta{\rm\,d}\underline\theta{\rm\,d}\underline\phi)]를 [math(\underline\theta)], [math(\underline\phi)]에 대해 정적분한 것이라는 점을 떠올리면 된다. 응용 문단의 지구과학 부분도 참고.[6] 이 입체각을 방위각 방향으로 [math(2\pi)]배하면 반구 범위로 벌어지는 입체각 [math(2\pi{\rm\,sr})]이 되고, 이는 공간 전체로 퍼지는 입체각 [math(4\pi{\rm\,sr})]의 딱 절반이다.[7] 두 입체각의 천정각 폭이 [math(90\degree)], [math(60\degree)]로 다른 점에 주의. 위도 범위의 중심각을 바꾸면 그 각도의 폭도 바뀌어야 한다.[8] 즉, 단위 구의 중점이 되는 점[9] 사실 어디를 양의 부분이라 잡아도 상관 없다. 그러나, 명백히 두 부분이 구면을 기준으로 면적소 법선 벡터의 전체적인 방향이 다르다는 것은 사실이다.[10] 이 정성적인 분석은 사람에 따라 더 어려울 수 있다. 다만, 이해만 할 수 있다면 입체각이 [math(0{\rm\,sr})]이 될 수밖에 없음을 얻으므로 이해하려고 노력해보라.[11] 곡률이 있기 때문에 사각형은 아니다. 다만 스테라디안을 단위로 하는 입체각을 적분으로 구할 때 썼던 미소 넓이를 계산하는 방식과 완전히 원리가 같다.[12] 맨 처음 관계식에서 좌변에 단위만 남도록 이항해주면 [math(\deg^2 = \left(\dfrac\pi{180}\right)^2{\rm sr}\,\dfrac{\Omega_{\deg^2}}\Omega)]이 얻어지는데 여기에서 [math(\dfrac{\Omega_{\deg^2}}\Omega)]은 단위가 다르다는 것을 명시하기 위한 기호일 뿐 본질적으론 동일한 입체각을 나타내는 물리량의 비이므로 [math(\dfrac{\Omega_{\deg^2}}\Omega = 1)]이 되어 단위만 남는 환산식이 얻어진다.[13] 사실 해석학적인 방법으로 구할 때에도 이 성질을 유도할 수 있다. 앞서 입체각 수치의 미소량 [math({\rm d}\underline\Omega)]에 관하여 [math({\rm d}\underline\Omega = \cfrac{{\rm d}\Omega}{\rm sr} = \sin\underline\theta{\rm\,d}\underline\theta{\rm\,d}\underline\phi = \sin\underline\theta\,\cfrac{{\rm d}\theta}{\rm rad}\,\cfrac{{\rm d}\phi}{\rm rad})]였으므로 양변의 단위를 비교하면 삼각함수의 값은 단위가 없으므로 결과적으로 [math({\rm sr} = {\rm rad}^2)]이다.