최근 수정 시각 : 2019-05-28 00:03:14

등가속도 운동

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1. 개요2. 분석
2.1. 1차원
2.1.1. 심화 분석
2.2. 2차원 이상
3. 여담4. 관련 문서

1. 개요

Uniformly accelerated motion · 等加速度運動

가속도가 일정한 운동이다. 고전역학적으로, 계의 가속도는 곧 계가 받는 알짜힘을 질량으로 나눈 값이다. 따라서 일정한 알짜힘이 작용할 때 이 운동이 나타나게 된다.

가속도는 벡터 물리량이기 때문에 등가속도라 하면, 크기와 방향 모두 일정해야 함을 의미한다. 따라서 어떤 시간 간격 동안 계가 등가속도 운동했다면, 직선 방향으로 움직일 수밖에 없고, 그래서 등가속도직선운동이라고도 부른다.

이 운동은 초급 물리학을 논의할 때, 등속도 운동 다음으로 나오게 된다.

이 문서는 고교 수준의 물리학 보다 조금 더 수준이 높게 기술되어 있으며, 일반물리학 수준의 문제에 응용하기 위해 서술되었다. 고교 이하의 위키러들은 참고서를 볼 것을 권한다.

2. 분석

2.1. 1차원

가속도는 물체의 위치의 이차 시간 미분이다. 즉, 계의 위치벡터 [math(\mathbf{r})]의 이차 시간 미분인,
[math(\displaystyle \mathbf{a} \equiv \ddot{\mathbf{r}})][1]
이고, 우리는 우선적으로 간단한 1차원일 때를 분석해보고자 한다. 1차원은 그 특성상 벡터 표기를 무시하고 쓸 수 있다. 즉, 시간에 대한 계의 위치를 [math(x)]라 놓으면,
[math(\displaystyle a= \ddot{x})]
이고, 초기조건 [math(x(t=0)=x_{0})], [math(\dot{x}(t=0)=v_{0})]를 사용하면, 위의 2계 상미분방정식은 쉽게 풀리고, 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \dot{x}=at+v_{0} \qquad \qquad x=\frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t )]
위치의 시간 미분 [math(\dot{x})]는 곧, 속도이다. 이것을 [math(v)]로 놓으면, 우리는 등가속도 운동에서 시간에 따른 계의 속도 [math(v)]와 위치 [math(x)]를 얻는다.
[math(\displaystyle v=at+v_{0} \qquad \qquad x=\frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t+x_{0} )]
이상의 결과에서 [math(x-t)]그래프를 그린다면, 포물선이, [math(v-t)]그래프를 그린다면, 직선이 나오게 된다.

이 문단에선, 한 가지 유용한 식을 유도하고자 한다. 위치 식을 약간 변형하면,
[math(\displaystyle x-x_{0}=\frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t )]
로 쓸 수 있고, 변위 [math(x-x_{0} \equiv \Delta x)]로 정의하자
[math(\displaystyle t=\frac{v-v_{0}}{a} )]
이므로, 이것을 위 식에 대입하면,
[math(\displaystyle \Delta x=\frac{1}{2}a \left( \frac{v-v_{0}}{a} \right)^{2}+v_{0}\left( \frac{v-v_{0}}{a} \right) )]
이 공식을 약간 변형하면, 다음을 얻는데 이것은 위키러들의 몫으로 남겨두고자 한다.
[math(\displaystyle 2a \Delta x =v^{2}-v_{0}^{2} )]
이 공식의 양변에 [math(m/2)]를 곱하자. 여기서 [math(m)]은 계의 질량이다.
[math(\displaystyle ma \Delta x =\frac{1}{2}m(v^{2}-v_{0}^{2}) )]
[math(ma=F)]로 계에 가해진 알짜 힘이며, 여기에 변위가 곱해졌으므로 이것은 알짜 힘이 계에 한 일이다. 이 일을 [math(W)]라 쓰도록하자. 또한, 우변은 계의 운동 에너지 변화량으로 이것을 [math(\Delta T)]라 쓸 수 있다. 즉,
[math(\displaystyle W=\Delta T )]
즉, 계에 가해진 알짜힘이 한 일은 물체의 운동 에너지 변화량과 같음을 얻고, 이것을 일-운동에너지 정리라 한다.

이상에서 우리는 아래와 같은 1차원 등가속도 운동에서 중요한 3공식을 얻었음을 알 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} v&=at+v_{0} \\ \Delta x&=\frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t \\ 2a \Delta x &=v^{2}-v_{0}^{2} \end{aligned} )]

여기서 [math(v_{0})]는 [math(t=0)]에서의 속도를 의미하며, [math(\Delta x \equiv x-x_{0})]로 변위이다. 마찬가지로, [math(x_{0})]는 [math(t=0)]에서의 위치를 의미한다.

2.1.1. 심화 분석

어떤 시간 간격 [math(t_{1} \sim t_{2})]에서 가속도가 [math(a)]인 운동을 했다고 가정하자. 해당 구간에서
[math(\displaystyle a=\frac{v(t_{2})-v(t_{1})}{t_{2}-t_{1}} )]
이고, 위치 식으로 부터
[math(\displaystyle \frac{x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}=\frac{1}{2}a(t_{2}-t_{1})+v(t_{1}) )]
이때, 위에서 구한 가속도를 대입하면,
[math(\displaystyle \frac{x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}=\frac{v(t_{1})+v(t_{2})}{2} )]
좌변은 곧 평균 속도이므로 [math(\left \langle v \right \rangle)]로 놓자. 그렇게 하면,
[math(\displaystyle \left \langle v \right \rangle=\frac{v(t_{1})+v(t_{2})}{2} )]
즉, 등가속도 운동한 어떤 구간의 평균 속도는 그 구간의 처음 속도와 나중 속도의 산술 평균임을 알 수 있다. 또한, 이 속도가 되는 시간을 [math(\tilde{t})]라 놓자. 그러면,
[math(\displaystyle \frac{v(t_{1})+v(t_{2})}{2}=\frac{v(t_{2})-v(t_{1})}{t_{2}-t_{1}} (\tilde{t}-t_{1})+v(t_{1}) )]
의 식이 나오고,
[math(\displaystyle \tilde{t}=\frac{t_{1}+t_{2}}{2})]
따라서 우리는 해당 구간의 산술 평균 시간에서의 계의 속도는 그 구간의 평균 속도와 같다는 것 또한 결론으로 얻는다. 또한, 우리는 해당 구간의 계의 변위는 결국 물체의 평균 속도와 그 구간의 시간 간격의 곱과 같음을 얻는다 즉,
[math(\displaystyle x(t_{2})-x(t_{1})=\left \langle v \right \rangle (t_{2}-t_{1}) )]

이것을 [math(v-t)] 그래프로 나타내면 다음과 같다:

파일:나무_등가속도운동_수정_수정.png

2.2. 2차원 이상

2차원 이상에서 등가속도 운동을 논할 때는 벡터가 필연적이다. 우리가 직교 좌표계에 한해서 이 논의를 이어간다면, 가속도 벡터는 각 기저 벡터의 성분으로 쪼갤 수 있다. 그리고, 각 축의 성분은 1차원의 상황이라 볼 수 있고, 1차원 분석들에서 나온 변위 식과 속도 식에 만족한다 따라서 우리는 이 논의를 심층적으로 다시 할 필요없이, 다음의 결과를 얻는다.
[math(\displaystyle \mathbf{r}=\frac{1}{2}\mathbf{a}t^{2}+\mathbf{v}_{0}t+\mathbf{r}_{0} \qquad \qquad \mathbf{v}=\mathbf{a}t+\mathbf{v}_{0} )]
[math(\mathbf{r})]은 임의의 시간에서의 계의 위치 벡터이며, 속도 [math(\mathbf{v}=\dot{\mathbf{r}})]이다. [math(\mathbf{r}_{0},\,\mathbf{v}_{0})]는 각각 [math(t=0)]에서의 계의 위치 벡터와 속도 벡터이다.

또한, [math(x_{i})]성분에 대해 다음을 만족한다.
[math(\displaystyle 2a_{i} \Delta x_{i}=v_{i}^{2}-v_{i0}^{2} )]
[math(a_{i})]는 [math(x_{i})]축의 가속도 성분이므로 축의 기저벡터 [math(\hat{\mathbf{x}_{i}})]와 가속도 벡터의 내적을 통해
[math(\displaystyle a_{i}=\mathbf{a} \cdot \hat{\mathbf{x}_{i}} )]
이상에서
[math(\displaystyle 2(\mathbf{a} \cdot \hat{\mathbf{x}_{i}}) \Delta x_{i}=v_{i}^{2}-v_{i0}^{2} )]
이것을 모든 축의 성분에 대해 합하면, 벡터로 표기할 수 있다.
[math(\displaystyle \sum_{i}2\mathbf{a} \cdot \Delta x_{i} \hat{\mathbf{x}_{i}} =\sum_{i} v_{i}^{2}-\sum_{i} v_{i0}^{2} )]
이때, 각 항은 다음의 결과를 얻는다:
  • [math( \displaystyle \sum_{i} \Delta x_{i} \hat{\mathbf{x}_{i}} = \Delta \mathbf{r} \equiv \mathbf{r-r}_{0} )] : 위치 벡터의 변화량
  • [math( \displaystyle \sum_{i} v_{i}^{2} = \mathbf{v \cdot v}=v^{2} )] : 속력 제곱
  • [math( \displaystyle \sum_{i} v_{0i}^{2} = \mathbf{v}_{0} \cdot \mathbf{v}_{0} =v_{0}^{2} )] : [math(t=0)]에서의 속력 제곱
따라서 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle 2\mathbf{a} \cdot \Delta \mathbf{r} =v^{2}-v_{0}^{2} )]

이상으로 부터 2차원 이상에서의 등가속도 공식은 아래와 같이 정리됨을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Delta \mathbf{r}&=\frac{1}{2}\mathbf{a}t^{2}+\mathbf{v}_{0}t \\ \mathbf{v}&=\mathbf{a}t+\mathbf{v}_{0} \\ 2\mathbf{a} \cdot \Delta \mathbf{r} &=v^{2}-v_{0}^{2} \end{aligned} )]

3. 여담

  • 등가속도 운동처럼 보이지만 아닌 대표적인 운동이 원운동이다. 가속도의 방향, 즉 힘의 방향이 매 시간마다 달라지므로[2] 등가속도 운동이 아니다.
  • 수능에서는 난이도가 해마다 천차만별이다. 그러나 어렵게 나올 때는 굉장히 어렵게 나오며, 연립 방정식을 세워서 문제를 해결하거나 에너지를 이용하여 힌트를 얻는 문제도 출제되고 있다. 특히나 수능에서 중요한 것은 1차원 심화 분석 문단에서 언급한 평균 속도와 관련된 것이다. 또한, 수능은 식을 세워 해결하기 보다는 그래프를 그려서 해결하면 쉽게 풀리는 문제도 있으니 참고하길 바란다.

4. 관련 문서


[1] 물리학에서 어떤 물리량의 시간 미분을 나타내는 표기법이다. 예를들어, [math(\dot{x}\equiv dx/dt)]이고, [math(\ddot{x} \equiv d^{2}x/dt^{2})]이다.[2] 항상 원의 중심을 향해야 하기 때문에

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