1. 개요
Tsiolkovsky's rocket equation1903년 러시아의 과학자 콘스탄틴 치올코프스키가 발표한, 이상적인 조건에서 화학 로켓의 운동을 기술하는 식이다. 로켓은 발사하면 소모된 연료만큼 앞으로 나아가지만 동시에 연료를 소모하기에 로켓의 질량은 점점 줄어든다. 이 운동을 미분방정식으로 나타낸 것.
인류가 우주 진출에 어려움을 겪는 이유를 수학적으로 설명해주는 공식이다. 로켓 연료는 매우 무거우며, 무게 대비 추진 효율도 매우 좋지 않다. 따라서 로켓에 많은 짐을 싣고 멀리 보내려고 하면 더 많은 연료가 필요한데, 이 연료도 아주 무겁기 때문에 그 자체가 짐이 된다. 그래서 연료가 늘어난 만큼 그 무게를 감당하기 위한 연료가 필요하고, 또 그 무게를 감당하기 위한 연료를 감당하기 위한 연료가 필요하고...하는 식으로 필요 연료량이 엄청나게 늘어나게 되며 아무리 연료를 때려박아 큰 로켓을 만들어도 결과적으론 효율이 안 나오서 그리 멀리 갈 수 없게 된다. 이를 로켓방정식의 저주라고 한다.
퍼텐셜이 없는 공간에서 1차원 운동하는 로켓의 초기 속도를 [math(v_{i})], 나중 속도를 [math(v_{f})], 초기 질량을 [math(m_{i})], 나중 질량을 [math(m_{f})], 로켓에 대한 연료의 분출 속력을 [math(u)]라 하면, 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle v_{f}=v_{i}+u\ln{\biggl( \frac{m_{i}}{m_{f} }\biggr)} )]
로켓이 중력장에 있을 경우에는 다음이 성립한다. [math(m_{0})]는 [math(t=0)]에서 로켓의 질량, [math(m)]은 [math(t)]에서의 로켓의 질량이다.
[math(\displaystyle v=-gt+u \ln{\biggl(\frac{m_{0}}{m} \biggr)} )]
2. 유도
2.1. 퍼텐셜이 없을 때
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퍼텐셜이 없는 1차원에 국한되어 운동하는 로켓을 고려한다. 로켓은 가속을 얻기 위해서 연료를 방출할 것이며, 이 로켓에선 연료의 분출 방향 또한 로켓의 운동 방향과 평행하다고 가정한다.
시각 [math(t)]에서 질량이 [math(m)]인 로켓의 속도를 [math(v)]라 하자. 시각 [math(t+{\rm d}t)]에서 연료가 분출된 후 로켓의 질량이 [math(m+{\rm d}m)](단, 질량이 줄어드는 상황이므로 [math({\rm d}m<0)])으로 변했다면, 분출된 연료의 질량은 [math(-{\rm d}m)]이 된다. 연료의 분출 속도를 [math(v')]이라 하자. 또, 로켓의 속도는 [math(v+{\rm d}v)]로 변할 것이다.
이상에서 [math(t)]에서 로켓의 계의 운동량은 [math(mv)]이고, [math(t+{\rm d}t)]에서 로켓의 운동량은 [math((m+{\rm d}m)(v+{\rm d}v))], 연료의 운동량은 [math(-v'\,{\rm d}m)]이다. 이는 곧 [math(t+{\rm d}t)]에서 로켓의 계의 운동량은
[math( (m+{\rm d}m)(v+{\rm d}v)-v'\,{\rm d}m )]
로켓의 계에 가해지는 외력이 없으므로 계의 운동량은 보존되어야 한다. 즉, [math(t)], [math(t+{\rm d}t)]에서 운동량은 같아야 하므로
[math( mv=(m+{\rm d}m)(v+{\rm d}v)-v'\,{\rm d}m )]
한편, 연료의 로켓에 대한 상대적인 분출 속도 [math(-u \equiv v'-(v+{\rm d}v))]를 도입하면,
[math( mv=(m+{\rm d}m)(v+{\rm d}v)+{\rm d}m [u-(v+{\rm d}v) ] )]
이것을 전개하여 정리하자.
[math( m\,{\rm d}v=-u\, {\rm d}m \quad \cdots \quad (\ast) )]
변수분리를 통해 위 미분 방정식을 풀 수 있으며
[math( {\rm d}v=-u \dfrac{{\rm d}m}{m} )]
에서 로켓의 초기 속도를 [math(v_{i})], 나중 속도를 [math(v_{f})], 초기 질량을 [math(m_{i})], 나중 질량을 [math(m_{f})]라 하면,
[math(\displaystyle \int_{v_{i}}^{v_{f}}{\rm d}v=-u \int_{m_{i}}^{m_{f}}\dfrac{{\rm d}m}{m} )]
인데 아래와 같이 적분의 결과를 나중 속도에 대하여 정리하면,
[math(\displaystyle v_{f}=v_{i}+u\ln{\biggl( \frac{m_{i}}{m_{f} }\biggr)} )]
참고로 식 [math((\ast))]의 양변을 [math({\rm d}t)]로 나누면
[math( m \dfrac{{\rm d}v}{{\rm d}t}=-u\, \dfrac{{\rm d}m}{{\rm d}t} )]
이 식의 좌변은 곧 로켓이 받는 힘으로도 생각할 수 있는데 우변을 '로켓의 추진력'이라 정의하기도 한다.
2.2. 중력장이 있을 때
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이번에는 중력장 내에서의 로켓 방정식을 유도해보자. 위 결과에서 [math({\rm d}t)] 동안 계의 운동량 변화는
[math( mv-[(m+{\rm d}m)(v+{\rm d}v)-v'\,{\rm d}m] )]
운동량과 충격량 사이의 관계에 의하여
[math( [(m+{\rm d}m)(v+{\rm d}v)-v'\,{\rm d}m]-mv=-mg\,{\rm d}t )]
마찬가지로 연료의 로켓에 대한 상대적인 분출 속도 [math(-u \equiv v'-(v+{\rm d}v))]를 도입하면,
[math(\begin{aligned} [(m+{\rm d}m)(v+{\rm d}v)+[u-(v+{\rm d}v) ]\,{\rm d}m]-mv&=-mg\,{\rm d}t \end{aligned})]
위 식을 정리하면
[math(\begin{aligned} m\,{\rm d}v + u\, {\rm d}m&=-mg \,{\rm d}t \end{aligned})]
이때, 양변을 [math({\rm d}t)]로 나누면
[math(\begin{aligned} \dot{v} + \frac{u}{m} \dot{m}&=-g\end{aligned})]
문제를 간단히 하기 위해 연료의 질량 감소율은 일정하다고 하면 [math(\dot{m}\equiv -\alpha)]이다. 따라서
[math(\begin{aligned} {\rm d}v= \left(-g+\frac{\alpha}{m}u \right)\,{\rm d}t \end{aligned})]
이 방정식을 그대로 풀기에는 [math(m)]에 대한 정보가 없기에 [math({\rm d}m=-\alpha\, {\rm d}t)]임을 이용해서 시간을 소거하자.
[math(\begin{aligned} {\rm d}v= \left(\frac{g}{\alpha}-\frac{u}{m} \right)\,{\rm d}m \end{aligned})]
양변을 적분하면
[math(\begin{aligned} \int_{0}^{v}{\rm d}v'= \int_{m_{0}}^{m} \left(\frac{g}{\alpha}-\frac{u}{m'} \right)\,{\rm d}m' \end{aligned})]
이고, 이 결과는 다음과 같다.
[math(\begin{aligned} v=-\frac{g}{\alpha}(m_{0}-m)+u \ln{\biggl(\frac{m_{0}}{m} \biggr)} \end{aligned})]
한편, 시간 [math(t)]까지의 연료의 질량 감소량은 [math(-\alpha t)]이므로
[math(\begin{aligned} m_{0}-m=\alpha t \end{aligned})]
이상에서 다음을 얻는다.
[math(\begin{aligned} v&=-gt+u \ln{\biggl(\frac{m_{0}}{m} \biggr)} \\&=-gt-u \ln{\biggl(\frac{\alpha t}{m_{0}}+1 \biggr)} \end{aligned})]
3. 여담
- 가수 윤하가 이 방정식과 딜레마에서 영감을 받은 로켓방정식의 저주라는 노래를 발표했다. 알쓸인잡에서 로켓방정식의 저주에 대한 이야기를 하는 것을 듣고 이것이 우리의 꿈과 이상과 비슷하다고 느꼈다고 한다.