최근 수정 시각 : 2019-05-05 17:07:24

포물선 운동

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1. 개요2. 분석
2.1. 심화 분석2.2. 벡터 분석법
3. 라그랑주 역학을 이용한 분석4. 공기 저항을 고려한 분석5. 여담6. 관련 문서

1. 개요

Projectile motion · 抛物線運動

중력장에서 물체를 투사했을 때, 포물선 궤도를 그리며, 운동하는 것을 포물선 운동이라 한다.

초급 수준의 물리학에서 1차원 등가속도 운동 다음으로 차원을 높일 때 거론되는 것이 이 포물선 운동으로, 포물선 운동은 대표적인 2차원 운동이다.

이 문서는 가속도 개념과 등가속도 운동 문서의 결과를 모두 숙지하고 있다는 가정 하에 작성되었다. 가속도 개념이나 등가속도 운동에 미숙한 위키러들은 선수학습으로, 해당 문서의 내용 먼저 파악하고 오길 바란다.

2. 분석

우선 우리는 공기 저항을 포함한 모든 마찰을 무시한 경우를 보고자 한다. 분석의 용의성을 위해 3차원 상에서 분석을 할 수도 있지만, 2차원으로만 분석하였다.

아래와 같이 [math(\mathbf{v}_{0})]의 속도로 [math(x)]축[1]과 [math(\theta)]의 각으로 물체가 투사된 상황을 고려하자. 이때, 모든 마찰을 무시한다면, 물체는 포물선 궤도로 나아가게 된다. [math(\mathrm{A,\,B})]는 각각 궤도의 최고점, [math(\mathrm{O})]로 투사된 후 다시 [math(x)]축에 도달한 점이다. [math(\mathrm{H})]는 점 [math(\mathrm{A})]에서 [math(x)]축에 내린 수선의 발이다.

파일:나무_포물선운동.png

질량 [math(m)]의 물체는 [math(y)]축 방향으로 알짜힘인 중력 [math(\mathbf{g}=-mg \hat{\mathbf{y}})]만을 받는다. 따라서 물체는 [math(y)]축으로 가속도 [math(\mathbf{a}=-g \hat{\mathbf{y}})]인 등가속도 운동하며, [math(x)]축 방향으로의 알짜힘은 없으므로 등속도 운동할 것이다.

물체는 [math(\mathrm{O})]에서 투사되고, 최고점 [math(\mathrm{A})]에 도달한 후 다시 [math(\mathrm{B})]로 떨어지는 시간 동안만 포물선 운동한다. 그런데 물체에 작용하는 비보존력이 없기 때문에 물체의 역학적 에너지는 보존되고, 결국 이는 물체의 속도 크기는 [math(\mathrm{O})]와 [math(\mathrm{B})]에서 같아야 함을 의미한다. [math(x)]축 방향은 등속도 운동하기 때문에 [math(\mathrm{O})]와 [math(\mathrm{B})]에서 속도의 [math(x)]성분은 같다. 그런데, [math(y)]축으로는 중력 가속도의 크기로 등가속도 운동하기 때문에 결국 [math(\mathrm{B})]에서 속도의 [math(y)]성분은 크기는 같으나, 부호는 반대가 된다. [math(\mathrm{O})]에서 투사될 때, 초기속도의 [math(y)] 성분은
[math(\displaystyle \mathbf{v}_{0} \cdot \hat{\mathbf{y}}=v_{0}\sin{\theta} )]
임을 고려하면, 결국 우리가 구하는 시간 [math(T)]는
[math(\displaystyle -v_{0}\sin{\theta}=-gT+v_{0}\sin{\theta} )]
에서
[math(\displaystyle T=\frac{2v_{0}\sin{\theta}}{g} )]
가 된다.

다음으로, 수평 도달 거리라 부르는, 물체가 투사된 후 다시 [math(x)]축에 닿을 때까지 이동한 [math(x)]축 상의 거리 [math(\overline{\mathrm{OB}} \equiv R)]를 구해보자. 물체는 [math(x)]축으로 등속도 운동하고, 투사될 때 초기속도의 [math(x)] 성분은
[math(\displaystyle \mathbf{v}_{0} \cdot \hat{\mathbf{x}}=v_{0}\cos{\theta} )]
임을 고려하면, 물체는 포물선 운동하는 시간 [math(T)] 동안만 운동하므로,
[math(\displaystyle \begin{aligned} R&=v_{0}T\cos{\theta} \\ &=\frac{v_{0}^{2}\sin{2\theta}}{g} \end{aligned} )]
이 된다. 여기서 삼각함수 항등식 [math(\sin{2 \theta}=2\sin{\theta}\cos{\theta})]를 썼다.

또, 최고점 높이 [math(\overline{\mathrm{AH}} \equiv H)]를 구하자. 이것은 [math(\mathrm{O \to A})]로 운동할 때, [math(y)]축 방향의 운동만 고려함으로써 쉽게 구할 수 있다. 점 [math(\mathrm{O})]에서 물체는 초기속도 [math(y)] 성분 [math(\displaystyle v_{0}\sin{\theta} )]을 가지고 있었고, 최고점 [math(\mathrm{A})]에 도달하면, 여기서 속도의 [math(y)] 성분은 없다. 따라서
[math(\displaystyle -2gH=0-v_{0}^{2}\sin^{2}{\theta} )]
이상을 정리하면,
[math(\displaystyle H=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}{\theta}}{2g} )]
으로 구해진다.

마지막으로는 궤도 방정식을 구하자. 이상의 내용을 잘 이해했다면, 물체의 위치는 시간의 매개변수로,
[math(\displaystyle \begin{aligned} x(t)&=v_{0}t\cos{\theta} \\ y(t)&=v_{0}t\sin{\theta}-\frac{1}{2}gt^{2} \end{aligned} )]
로 나타낼 수 있음을 얻는다. 이 두 식에서 [math(t)]를 소거함으로써 우리는 다음의 궤도 방정식을 얻는다:
[math(\displaystyle y(x)=x\tan{\theta}-\frac{gx^{2}}{2v_{0}^{2}\cos^{2}{\theta}} )]
결과로써도 궤도는 포물선임을 얻는다.

또한, 속도는 위치의 미분이므로, 우리는 포물선 운동 중 물체 속도의 [math(x)]축, [math(y)]축 성분은 각각의 좌표의 시간 미분이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \dot{x}&=v_{0}\cos{\theta} \\ \dot{y}&=v_{0}\sin{\theta}-gt \end{aligned} )]
속도의 크기는
[math(\displaystyle v=\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}} )]
을 얻는다.

아래는 이상의 내용을 요약한 것이다.
  • 포물선 운동 시간
    [math(\displaystyle T=\frac{2v_{0}\sin{\theta}}{g} )]
  • 수평 도달 거리
    [math(\displaystyle R=\frac{v_{0}^{2}\sin{2\theta}}{g} )]
  • 최고점 높이
    [math(\displaystyle H=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}{\theta}}{2g} )]
  • 궤도 방정식
    [math(\displaystyle y(x)=x\tan{\theta}-\frac{gx^{2}}{2v_{0}^{2}\cos^{2}{\theta}} )]

첨언하면, 위의 포물선 운동은 가장 초급적이고, 이상적인 경우를 다뤘음에 유의하여야 한다. 실제론 [math(\mathrm{B})]에 도달했을 때, 물체의 운동을 방해하는 요소가 없다면, 물체는 궤도 방정식을 따라 계속 포물선 운동한다. 아래의 그림을 참조하라.

파일:나무_포물선운동_추후운동.png

또한, 위의 공식들은 최고점을 기준으로 궤도가 대칭적일 때만 쓸 수 있다는 것에 유의해야 한다. 예를 들어, 위 상황에서 [math(\mathrm{B})] 이후의 운동은 위의 공식들로 분석할 수 없으며, 포물선 운동 특징인 [math(y)]축으로 중력 가속도 크기로, 등가속도 운동하며, [math(x)]축 방향으로는 등속도 운동함을 이용하여 분석하여야 한다.

2.1. 심화 분석

우리는 여러 가지 수학적 분석을 통해 포물선 운동의 특성을 파악해볼 수 있다. 우선적으로, 초기 속력이 같게 투사되었을 때, 수평 도달 거리가 최대가 되는 각을 찾고자 한다.
[math(\displaystyle R=\frac{v_{0}^{2}\sin{2\theta}}{g} )]
그런데, 가능한 [math(\theta)][2] 중에서 [math(0 \leq \sin{2\theta} \leq 1)]임을 고려하면, 가능한 최댓값은 [math( \sin{2\theta}= 1)]일 때,
[math(\displaystyle R=\frac{v_{0}^{2}}{g} )]
가 되고, 결국 우리가 찾는 [math(\theta=\pi/4)]임을 얻는다.

또한, [math(\theta+\theta'=\pi/2)]를 만족하는 두 각이 있다고 가정하자. 이때, [math(\theta')]로 투사한 경우, [math(\theta'=\pi/2-\theta)]으로 쓸 수 있어, 해당 각으로 투사한 경우,
[math(\displaystyle R'=\frac{v_{0}^{2}\sin{2\theta'}}{g}=\frac{v_{0}^{2}\sin{(\pi-2\theta)}}{g} )]
이다. 그런데, [math(\theta')]로 투사한 경우의 수평 도달 거리는
[math(\displaystyle R=\frac{v_{0}^{2}\sin{2\theta}}{g} )]
이었으므로 [math(\sin{(\pi-2\theta)}=\sin{2\theta})]임을 이용하면,
[math(\displaystyle R=R' )]
을 만족하므로 이 결과는 [math(\theta+\theta'=\pi/2)]를 만족하는 두 각으로 던졌을 때, 수평 도달 거리는 같음을 얻는다.[3]

궤도 방정식
[math(\displaystyle y(x)=x\tan{\theta}-\frac{gx^{2}}{2v_{0}^{2}\cos^{2}{\theta}} )]
을 분석하는 것도 꽤 흥미로운 결과를 얻는다. 위 식 중 [math(x\tan{\theta})]는 잘 알듯, 원점을 지나면서 [math(x)]축과 양의 방향으로 [math(\theta)]만큼의 각을 갖는 직선의 방정식이다. 또한 원점에서 궤도의 접선은 이 직선이 되는데, 이 직선 위의 점의 [math(y)]좌표에서
[math(\displaystyle \frac{gx^{2}}{2v_{0}^{2}\cos^{2}{\theta}} )]
만큼 뺀 값이 결국 포물선 궤도 위의 점의 [math(y)]좌표 값이 된다. 이것을 그림으로 표현하면 아래와 같다.

파일:나무_포물선운동_기하학적분석_수정_수정.png

이 궤도 방정식을 분석한 것을 쓰면, 쉽게 풀리는 문제가 수능 모의고사에 출제된 적있다. 아래는 2016년 6월 대학수학능력시험 모의고사 물리Ⅱ 20번 문항이다. 풀어볼 위키러들은 풀어보도록 하자.
{{{#!folding [ 해당 문제 ]
파일:나무_포물선운동_기하학적분석_예제.png
[정답]
}}}

2.2. 벡터 분석법

우리는 이제 3차원의 포물선 운동을 표현해보고자 한다. 삼차원 상은 벡터로 분석하는 것이 훨씬 효과적이며 표현하기도 쉽다.

아래와 같이 중력장 안에서 물체가 포물선 운동을 원점 [math(\mathrm{O})]에서 시작한 경우를 생각해보자. 단, 중력 가속도 벡터 [math(\mathbf{g}=g\hat{\mathbf{g}} )]임에 유의하라.

파일:나무_벡터_포물선 운동_수정.png

그리고, 궤도 위의 한 점 [math(\mathrm{P})]인 경우에서 우리는 먼저 속도 벡터 [math(\mathbf{v})]를 분석하는 것으로 부터 시작하자. 이에 앞서 [math(\mathbf{g} \cdot \mathbf{T}=0)]이 성립하는 [math(\mathbf{\hat{\mathbf{T}}})]를 택하자. 편의 상 [math(\mathbf{\hat{\mathbf{T}}})]는 포물선 운동하는 방향[5] 쪽이 되게 잡는다. 위 그림을 참고하라.

[math(\mathrm{P})]에서 속도 벡터는 아래와 같이 분해 가능하다.
[math(\displaystyle \mathbf{v}=\mathbf{v_{g}}+\mathbf{v_{T}} )]
여기서 [math(\mathbf{v_{g}})]는 중력장 벡터 [math(\mathbf{g})]와 평행한 성분, [math(\mathbf{v_{T}})]는 [math(\mathbf{T})]와 평행한 성분이다. 우리는 포물선 운동의 특성[6]을 생각한다면, 쉽게
[math(\displaystyle \mathbf{v}=[(\mathbf{v}_{0} \cdot -\hat{\mathbf{g}})(-\hat{\mathbf{g}})+\mathbf{g} t] -(\mathbf{v}_{0} \cdot \hat{\mathbf{T}})\hat{\mathbf{T}} )]
임을 알 수 있고, 이것을 다시 쓰면,
[math(\displaystyle \mathbf{v}=\hat{\mathbf{g}} (\mathbf{v}_{0} \cdot \hat{\mathbf{g}}+gt)+\hat{\mathbf{T}}(\mathbf{v}_{0} \cdot \hat{\mathbf{T}}) )]
따라서 만약 [math(\mathrm{O})]에서 [math(\mathrm{P})]까지 [math(t)]만큼 걸렸다면, 점 [math(\mathrm{P})]를 기술하는 위치 벡터 [math(\mathbf{s})]를 찾을 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{s}&=\int_{0}^{t} \mathbf{v} \,dt \\ &=\hat{\mathbf{g}} \left( \mathbf{v}_{0} \cdot \hat{\mathbf{g}}t+\frac{1}{2}gt^{2} \right)+\hat{\mathbf{T}}(\mathbf{v}_{0} \cdot \hat{\mathbf{T}}t) \end{aligned} )]
따라서 이것이 포물선 운동을 벡터로 기술한 것이다. 그런데 우리가 통상적으로 쓰는 [math(\mathbf{g}=-g\hat{\mathbf{y}})]를 사용하고, 이를 2차원에 국한시켜 [math(\hat{\mathbf{T}}=\hat{\mathbf{x}})]을 사용한다면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{s}=&\hat{\mathbf{y}} \left( \mathbf{v}_{0} \cdot \hat{\mathbf{y}}t-\frac{1}{2}gt^{2} \right)+\hat{\mathbf{x}}(\mathbf{v}_{0} \cdot \hat{\mathbf{x}}t) \end{aligned} )]
으로 우리가 맨 위에서 분석했던 결과와 같은 결과를 얻음을 알 수 있다.

3. 라그랑주 역학을 이용한 분석

라그랑주 역학을 이용한 분석을 해보도록 하자. 포물선 운동은 대표적인 2차원 운동이므로 두 일반화 좌표 [math(x,\,y)]로 기술해도 무리가 없다. 이에 대한 일반화 속도는 [math(\dot{x},\,\dot{y})]이다.

물체의 퍼텐셜 에너지는 중력에 의한 것만 있으므로
[math(\displaystyle U=mgy )]
이고, 운동 에너지는 물체의 속도 크기 [math(v=\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}})]로 쓸 수 있음을 고려하면,
[math(\displaystyle T=\frac{1}{2}m(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}) )]
따라서 물체의 라그랑지안
[math(\displaystyle L=T-U )]
이다.

따라서 오일러 - 라그랑주 방정식을 이용해, 각 축의 운동 방정식을 나타낼 수 있다. 즉,
[math(\displaystyle \frac{\partial L}{\partial x_{i}} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{i}} \right) = 0)]
을 이용하면,
[math(\displaystyle \ddot{x}=0 \qquad \qquad \ddot{y}=-g )]
으로, 결국 초급적인 방법으로 분석할 때, 언급했던 포물선 운동 특징인, [math(y)]축으로 중력 가속도 크기로, 등가속도 운동하며, [math(x)]축 방향으로는 등속도 운동함이 여기서도 나온 것이다.

4. 공기 저항을 고려한 분석

이제 우리는 현실과 가장 유사한 케이스를 고려할 것이다. 즉, 공기 저항을 고려할 것이다. 우선적으로, 우리는 이러한 공기 저항이 물체의 운동량에 비례한다고 놓을 것이다. 즉, 마찰력을 [math(-mk \mathbf{v})]으로 놓는다. 여기서 [math(k)]는 공기 저항 계수가 될 것이다. 이때, 속도는 각 축의 성분으로 분해할 수 있고,
[math(\displaystyle \mathbf{v}=\dot{x} \hat{\mathbf{x}}+ \dot{y} \hat{\mathbf{y}})]
결국 이것은 마찰력 또한 각 축의 성분으로 분해될 수 있음을 얻는다.

우리는 다음의 초기 조건을 안다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} x(t=0)&=0 \\ y(t=0)&=0 \\ \dot{x}(t=0)&=v_{0}\cos{\theta} &&\equiv V \\ \dot{y}(t=0)&=v_{0}\sin{\theta} &&\equiv W \end{aligned} )]
따라서 우리는 각 축에 대한 운동 방정식을 아래와 같이 세울 수 있음을 얻는다
[math(\displaystyle \begin{aligned} m\ddot{x}&=-mk \dot{x} \\ m\ddot{y}&=-mg-mk \dot{y} \end{aligned} )]
이 미분 방정식을 품으로써 물체의 위치는 결정된다:
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=\frac{V}{k} ( 1-e^{-kt} ) \\ y&=-\frac{gt}{k}+\frac{kW+g}{k^{2}} ( 1-e^{-kt} ) \end{aligned} )]
이 결과에서 눈여겨 봐야하는 것은 모든 축 방향의 운동이 가속도 운동이라는 것이다.[7]

이 조건에서 물체가 포물선 운동하는 시간은 [math(t=T\,(T \neq 0))]일 때, [math(y=0)]이 되는 시간을 찾으면 된다. 즉,
[math(\displaystyle \frac{gT}{k}=\frac{kW+g}{k^{2}} ( 1-e^{-kT} ) )]
의 방정식을 풀면 된다. 그러나 이 방정식은 해석적인 해를 갖지 않기 때문에 수치계산이나 섭동법을 이용해야 한다.

만약, 우리가 수치계산이나 섭동법을 통해 포물선 운동 시간 [math(T)]을 구했다고 하자. 그렇다면, 수평 도달 거리는 [math(R=x(t=T) )]가 되므로
[math(\displaystyle R=\frac{V}{k} ( 1-e^{-kT} ) )]
으로 구할 수 있다.

아래는 [math(\theta=\pi/4)], [math(v_{0}=200\,\mathrm{m/s})]일 때 여러 [math(k)]에 대해 궤도를 시뮬레이션 해본 것이다.

파일:나무_마찰고려_포물선운동_수정.png

[math(k=0)] 즉, 적색 궤도는 공기 저항을 고려하지 않았을 때이며, 공기 저항 계수가 커질 수록 수평 도달 거리는 줄어드는 것을 알 수 있다. 다음[8]을 참고하라:

파일:나무_마찰고려_포물선운동_수평도달거리.png

참고로, [math(k \ll 1)]일 때를 가정하여, 이 과정을 섭동으로 풀 수도 있다. 그러나 계산이 매우 복잡한 결과로 섭동으로 푼 결과를 보고 싶은 위키러들은 고전역학 책을 볼 것을 권한다.

5. 여담

  • 우리는 중력장에서의 포물선 운동만 고려했지만, 실제론 전기장 등에서도 이러한 운동이 가능하다.
  • 이 포물선 궤도는 중심력장에서도 가능한데, 일정 조건만 만족하면 소행성이 항성을 한 초점으로 하여 포물선 궤도로 운동할 수도 있다.
  • 수능 등에서는 고난도 문항으로 출제되고 있으며, 항상 한 정보만 알면 쉽게 풀 수 있는데도 불구하고 그것을 주지 않아 어려워지거나 여러 운동과 섞는 등으로 난이도가 급상승하는 경우가 많다. 더군다나, 포물선 운동 자체가 등가속도 운동과 등속도 운동 두 항목에 대한 이해도를 효율적으로 물을 수 있으므로 출제자 입장에서는 사랑할 수밖에 없다.

6. 관련 문서



[1] 수평면이라고도 할 수 있을 것이다.[2] [math(0< \theta <\pi/2)][3] 다만, 최고점 높이는 상이함에 유의하라.[정답] ② (경사면에 수직으로 입사했다는 조건에 주의하자.)[5] 정확히 말하면 투사체가 던져진 방향.[6] 중력 가속도와 평행한 축은 중력 가속도로 등가속도 운동, 중력 가속도와 수직인 축은 등속도 운동[7] 각 위치를 시간에 대해 이차미분해보라.[8] 조건은 위의 궤도를 구할 때와 같고, 수치계산을 이용하였다.

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