1. 개요
비리얼 정리(Virial Theorem)은 일반적 역학계에서 평균 운동 에너지와 평균 위치 에너지가 서로 비례한다는 정리이다. 천체역학에서 중요한 정리 중 하나로, 다양한 분야에 응용이 가능한 정리이다.일반적으로 [math(2K = -U)]라는 식으로 나타내어지고, 은하의 경우 [math(v^2 = \dfrac{0.4GM}{r_h})]로 표현 가능한데, 여기서 [math(v)]는 은하의 각 항성들의 고유 운동 속도 제곱의 평균값, [math(M)]은 은하 전체 질량, [math(r_h)]는 천체 질량의 절반까지를 포함하고 있는 반지름이다.
이를 통해 은하의 전체 에너지 [math(E_{tot} = K + U = -K = \dfrac{1}{2}U)]임을 알 수 있다.
앞서 설명했던 것은 천체역학에서의 비리얼 정리이고, 양자역학과 전자기학에서도 비리얼 정리를 사용할 수 있다.
비리얼 정리와 관련된 문제가 2020년 국제 천문 및 천체물리 e-경시대회에서 실무/자료분석 부문 문제로 출제된 적이 있다.
은하 중심부의 초대질량 블랙홀 주위에 있는 강착원반에서는 자외선 형태의 열복사가 방출되는 것으로 알려져 있다. 이 열복사는 활동은하핵(AGN)과 관련이 깊다. 밝은 AGN의 광학 스펙트럼에서는 추가적으로 넓은 [math(H_\beta)] 방출선이 나타난다. 이 [math(H_\beta)] 방출선은 넓은 선 방출영역(BLR)의 고밀도 가스가 강착원반의 자외선 광자에 의해 이온화되어 발생한다.
[math(H_\beta)] 방출선 선속의 변화는 자외선 방출량의 변화를 시간 차를 두고 따라간다고 가정할 수 있다. 이 시간 차는 블랙홀과 BLR 사이의 거리 [math(R_{BLR})]과 비례할 것이다. 강착원반의 크기가 [math(R_{BLR})]에 비해 매우 작다고 가정할 때, 다음 물음에 답하시오.
1. 이 그래프는 시간(단위: JD-2400000)에 따른 블랙홀의 B 필터 밝기와 [math(H_\beta)] 방출선의 밝기 변화를 나타낸 것이다. 블랙홀의 B 필터 밝기 변화와 [math(H_\beta)] 방출선 변화 사이의 시간 차(단위: 일)를 구하시오. (1점)
1. [math(H_\beta)](단위: 파섹)를 구하시오. (3점)
1. 지구로부터 AGN까지의 거리가 100 메가파섹일 때, 블랙홀과 BLR 사이의 각거리 [math(\theta_{BLR})](단위: 각초)를 구하시오. (2점)
BLR을 이루는 가스의 속도분산 [math(v_\sigma)]을 안다면 비리얼 정리를 사용해 계 전체의 질량을 추산할 수 있다. 강착원반과 BLR의 질량이 블랙홀의 질량에 비해 매우 작다고 가정하고, 파장의 분산이 [math(\sigma=FWHM/2.35)]로 주어진다고 가정하자. (여기에서 FWHM은 [math(H_\beta)] 방출선의 반치전폭을 의미한다.)
1.#4 이 그래프는 [math(H_\beta)] 방출선의 세기를 파장에 따라 나누어 나타낸 것이다. 이 그래프를 참고하여 속도분산 [math(v_\sigma)](단위: km/s)을 구하시오. (5점)
1. 중심 블랙홀의 비리얼 질량[1] [math(M_{vir,BH})](단위: 태양 질량 [math(M_S)])을 구하시오. (4점)
[math(H_\beta)] 방출선 선속의 변화는 자외선 방출량의 변화를 시간 차를 두고 따라간다고 가정할 수 있다. 이 시간 차는 블랙홀과 BLR 사이의 거리 [math(R_{BLR})]과 비례할 것이다. 강착원반의 크기가 [math(R_{BLR})]에 비해 매우 작다고 가정할 때, 다음 물음에 답하시오.
1. 이 그래프는 시간(단위: JD-2400000)에 따른 블랙홀의 B 필터 밝기와 [math(H_\beta)] 방출선의 밝기 변화를 나타낸 것이다. 블랙홀의 B 필터 밝기 변화와 [math(H_\beta)] 방출선 변화 사이의 시간 차(단위: 일)를 구하시오. (1점)
1. [math(H_\beta)](단위: 파섹)를 구하시오. (3점)
1. 지구로부터 AGN까지의 거리가 100 메가파섹일 때, 블랙홀과 BLR 사이의 각거리 [math(\theta_{BLR})](단위: 각초)를 구하시오. (2점)
BLR을 이루는 가스의 속도분산 [math(v_\sigma)]을 안다면 비리얼 정리를 사용해 계 전체의 질량을 추산할 수 있다. 강착원반과 BLR의 질량이 블랙홀의 질량에 비해 매우 작다고 가정하고, 파장의 분산이 [math(\sigma=FWHM/2.35)]로 주어진다고 가정하자. (여기에서 FWHM은 [math(H_\beta)] 방출선의 반치전폭을 의미한다.)
1.#4 이 그래프는 [math(H_\beta)] 방출선의 세기를 파장에 따라 나누어 나타낸 것이다. 이 그래프를 참고하여 속도분산 [math(v_\sigma)](단위: km/s)을 구하시오. (5점)
1. 중심 블랙홀의 비리얼 질량[1] [math(M_{vir,BH})](단위: 태양 질량 [math(M_S)])을 구하시오. (4점)
자세한 내용은 해당 문서로.
2. 비리얼 정리
시스템의 정의로 질량 [math(m_i)]를 가진 [math(N)]개의 입자가 위치 벡터 [math(r_i)]에 있으며, 각 입자에 힘 [math(F_i)]가 작용한다고 가정하고 비리얼 함수 [math(G)]를 다음과 같이 정의한다.[math(G = \Sigma_{i=1}^{N} r_i \cdot P_i )]
운동량의 정의를 사용하면 [math(P_i = m_i v_i)]이고 [math(v_i)]는 속도이다.이제 비리얼 함수 [math((G))]를 시간에 대해 미분하면
[math(\dfrac{dG}{dt} = \dfrac{d}{dt} \Sigma_{i}(r_i \cdot P_i) )]
[math( \dfrac{dG}{dt} = \Sigma_{i} \left( \left(\dfrac{ d r_i}{dt} \cdot P_i \right) + \left(r_i \cdot \dfrac{ d P_i}{dt} \right) \right) )][math( \dfrac{dG}{dt} = \Sigma_{i=1}^{N} \left( \left(v_i \cdot P_i \right) + \left(r_i \cdot F_i \right) \right) )]
여기서 [math( v_i , F_i )]의 정의를 조사할수있다.
따라서 여기서 [math( v_i , F_i )]의 정의를 조사할수있다.
[math( \dfrac{dG}{dt} = \Sigma_{i=1}^{N} ((v_i \cdot m_i v_i) + (r_i \cdot F_i )) )]
[math( \dfrac{dG}{dt} = \dfrac{1}{2}\Sigma_{i=1}^{N} m_i v_i^2 + \Sigma_{i=1}^{N}(r_i \cdot F_i ) )]2.1. 운동 방정식과 위치에너지의 유도
운동 방정식 [math( F = ma )]질량 [math( m)]을 상수로 두고, 가속도[math( (a))]를 속도의 시간[math( (t))]변화율로 표현
[math( ma = m\dfrac{dv}{dt} = \dfrac{dU}{dx} )]
[math( v = \dfrac{dx}{dt} )]라는 속도 [math( v)]와 위치 [math( x)]의 관계에서 가속도[math( (a))] 정의[math( \dfrac{dv}{dt} )]를 체인룰을 사용해서 이해해보면
[math( \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{dv}{dx} \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{dv}{dx}v )] 을 조사할수있다.
위의 식을 위치 에너지[math((U))]로 변환하기 위해 [math( v\dfrac{dv}{dx} )] 를 적분하면
[math( m \int vdv = \int \dfrac{dU}{dx} dx )]
따라서
[math( \dfrac{1}{2}mv^2 = U(x)+C )]
이러한 과정은
가속도[math( (a))]가 [math( \dfrac{dv}{dt} = v\dfrac{dv}{dx} )] 라는 시간과 공간속에서 운동에너지[math( \left(\dfrac{1}{2}mv^2 \right) )]와 위치에너지(포텐셜에너지[math( U)])가 얼마나 비례적으로 아름답고 정교하게 표현될수있는지를 비리얼 정리라는 비례식으로 이를 잘 보여줄수있을뿐만아니라 운동의 본질을 미적분 계산에서 시간[math( (t))]과 위치 [math( x)], 속도[math( v)]라는 세 가지 물리량이 연결되는 간결성을 보여줄수있다.
한편 [math( \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{dx}{dt} \right) = \dfrac{d^2 x}{dt^2} = \dfrac{dv}{dt} )]를 조사할수있다.
2.2. 운동에너지와 위치에너지
한편 이러한 [math( \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{dx}{dt} \right) = \dfrac{d^2 x}{dt^2} = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{dv}{dx} \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{dv}{dx}v )]라는 운동량과 속도에 대한 깊은 이해는 운동에너지와 위치에너지(포텐셜에너지)의 역학적 관점에서 뉴턴역학이나 상대성 이론 그리고 헤밀토니안의 슈뢰딩거 방정식의 근본 원리를 이해하는 주요한 맥락중 하나일뿐만아니라 시간에서 경로(위치)가 최적화(액션)된다는 라그랑지안으로 이해해볼수있는 오일러 방정식의 근본 원리를 제공한다는점에서 시사하는바가 크다고 할수있다.3. 특징
3.1. 안정 상태가 아닐때
이 말인 즉슨 비리얼 정리는 천체가 안정된 상태라고 가정을 하고 만든 정리인데, 만약 운동에너지가 더 크다면 천체가 팽창할 것이고, 위치에너지가 더 크다면 천체는 수축할 것이다.3.2. 다양한 응용 분야
비리얼 정리는 천체역학에서 매우 중요한 정리인 만큼 천체역학에서나, 그 외 다른 분야에도 다양하게 응용할 수 있다.뒤에서 설명할 백색왜성의 찬드라세카르 한계나 은하 회전곡선을 통한 은하의 질량 분포 유추 가능한 것 외에도 태양계와 같은 행성계에서나 플라스모이드[2]의 수명을 알 수 있다.
3.2.1. 백색왜성
비리얼 정리를 활용하여 백색왜성의 찬드라세카르 한계를 유도할 수 있다. 찬드라세카르 한계는 백색왜성이 스스로 중력 붕괴하지 않는 최대 질량을 말하는데 비리얼 정리를 활용하여 운동에너지와 위치에너지의 차이를 이용해 최대 질량을 구할 수 있게 되는 것이다. 회전하지 않는 백색왜성의 경우 찬드라세카르 한계는 태양의 약 1.44배라고 한다.자세한 내용은 해당 문서로.
3.2.2. 은하
비리얼 정리를 활용하면 은하 회전곡선을 만들 수 있다. 이를 통해 은하의 질량 분포를 유추 가능한데, 항성의 속도를 도플러 효과로 구하고 항성이 중심부로부터 거리 r만큼 떨어져 있을때의 속도는 거리 r까지의 구면 속에 포함된 총 질량과 비리얼 관계를 갖고 있기 때문에 은하 회전 곡선을 통해 은하의 질량 분포를 확인할 수 있고, 은하단의 질량 분포도 항성을 은하라고 생각하고 비리얼 정리를 통해 구할 수 있다. 질량 분포를 알게 된다면 전자기파로 관측할 수 없는 미지의 질량을 가진 암흑 물질의 존재가 확인 가능하다. 실제로 프리츠 츠비키가 은하에 비리얼 정리를 활용해 최초로 암흑 물질의 존재를 제안하였다.4. 관련문서
*보어의 원자 모형*TOV 방정식
*에너지-모멘텀 텐서
*슈뢰딩거 방정식