1. 개요
찬드라세카르 한계(Chandrasekhar limit)란 전자 축퇴압으로 백색왜성이 스스로 중력붕괴(gravitational collapse) 하지 않는 최대 질량을 말한다. 양자역학의 파울리 배타 원리에 따르면 전자를 포함한 페르미온 입자들은 서로 같은 장소에 위치하지 못해 밀어내는 힘인 축퇴압을 일으키는데, 찬드라세카르는 이 원리를 별에 적용시켜 '축퇴압이 기체의 팽창 압력 다음으로 별이 중력붕괴 하지 않게 막아주는 것이다.' 라는 사실을 밝혀내고 1931년에 발표했다.[가][나][다]찬드라세카르 한계값은 화학적 조성에 따라 태양 질량의 약 1.4~1.7배로 계산되고 있다.
한편 이후 1939년 리처드 톨먼(Richard Chace Tolman)이[4] 그리고 1939년 미국의 로버트 오펜하이머와 조지 볼코프(George Volkoff)가[5] 찬드라세카르의 계산을 중성자별에 적용하여 중성자 사이의 축퇴압인 중성자 축퇴압(neutron degeneracy pressure)은 태양 질량 3배 미만인 별(중성자별)의 붕괴를 막는다는 사실도 알아냈다. 이를 톨만-오펜하이머-볼코프 한계(TOV 리밋,Tolman-Oppenheimer-Volkoff limit)라고 한다. 따라서 태양 질량 3배 이상의 별을 가정하면 이러한 축퇴압들을 견디고 난 후의 또 다른 수축현상인 블랙홀을 이해해볼 수 있다.[가][7]
2. 축퇴압
전자나 중성자 같은 입자들이 파울리 배타 원리를 전제로 이해되는 입자들간 시공간적 유일성의 현상은 한편으로는 밀도가 아주 매우 높아지는 축퇴압(縮退壓,degeneracy pressure)을 설명할 수 있다. 양자 역학에서, 하나의 입자가 갖는 에너지의 값에 대하여 두 개 이상의 상태가 존재하는 경우에서 입자들 간에 서로 다른 에너지값을 갖게되는 현상을 가리킬 수도 있다.[가][9][10]3. 레인-엠든 방정식
찬드라세카르 백색왜성 방정식(Chandrasekhar white-dwarf equation)[나](6)P135[math( \dfrac{1}{\eta^2}\dfrac{d}{d\eta}\left(\eta^2 \dfrac{d\phi}{d\eta} \right) = - \left( \phi^2 - \dfrac{1}{y_0^{2}} \right)^{\frac{3}{2}} )]
으로부터 다음의 레인-엠든 방정식(Lane-Emden equation)을 기술한다.[다](17')P325
[math( \dfrac{1}{\xi^2}\dfrac{d}{d\xi}\left(\xi^2 \dfrac{d\theta}{d\xi} \right) = - \theta^3)]
4. 별의 밀도
[math(\textsf{밀도}(\rho)= \dfrac{\textsf{질량}(M)}{\textsf{부피}(V)} )]
이므로, [math( M= \rho V)]이다. 구체(천체) [math(V = 4 \pi r^3/3 )]의 질량은 [math( M = \rho4 \pi r^3/3 )]이고 구체의 반경 [math(r)]에서 미분방정식으로 정리하면 다음의 질량미분방정식을 얻을 수 있다.
[math(\begin{aligned}dM &= \rho 4 \pi r^2 dr\\\rightarrow\dfrac{dM}{dr}&= \rho 4 \pi r^2\end{aligned} )]
5. 유체역학적 접근
나비에-스토크스 방정식 표준 모델(standard model)[math( \rho a = \rho g - \nabla P + \mu \nabla^2 \textbf{u} )]
또는
[math(\textsf{\small 밀도×가속도항 = 밀도×중력항 - 압력항 + 점성×가속도항} )]
에서 가속도를 0으로 놓으면 압력과 중력이 평형을 이루는 상태방정식
[math(x=y=\dfrac{\partial P}{\partial x}=\dfrac{\partial P}{\partial y}=0 )]
으로부터 다음을 얻을 수 있다.
[math(\dfrac{\partial P}{\partial z} = \rho g\;\cdots\;①)]
한편 힘[math((F)= ma)]로부터 중력 [math(F)]는 중력가속도 [math(g)]에 대하여
[math( F = mg = G\dfrac{mM}{r^2}\;\cdots\;②)]
이고, 중력상수는
[math(G= \dfrac{Fr^2}{mM}\;\cdots\;③)]
이므로 ③에 ②를 대입하면 다음이 성립한다.
[math(\begin{aligned}G &= \dfrac{mgr^2}{mM}=\dfrac{gr^2}{M} \\\therefore g&= \dfrac{GM}{r^2}\;\cdots\;④\end{aligned})]
①에 ④를 대입하고 [math(z)]축을 구체(천체)의 반경 [math(r)]로 정리하면 다음과 같이 나비에-스토크스 방정식의 기본항을 얻는다.
[math( \dfrac{d P}{d r} = \rho \dfrac{GM}{r^2} )]
6. 찬드라세카르 백색왜성 방정식
질량미분방정식[math( \dfrac{dM}{dr}= \rho 4 \pi r^2 \;\cdots\;①)]
나비에-스토크스 방정식의 기본항(terms)
[math( \dfrac{d P}{d r} = \rho \dfrac{GM}{r^2}\;\cdots\;②)]
압력 [math(P)]에 대하여 페르미 기체(Fermi gas)를 만족시키는 압력상수 [math(A)]
[math(\begin{cases}P&= A\cdot f(x)\\f(x)&=\dfrac{8x^3}{(x^2+1)^{-\frac{1}{2}} }\end{cases}\;\cdots\;③)]
[math(y^2=x^2+1\;\cdots\;④)]
[math(y^2=x^2+1\;\cdots\;④)]
밀도 [math(\rho)]에 대한 밀도상수 [math(B)]
[math(\rho= Bx^3\;\cdots\;⑤)]
를 고려하자. ②를 변형하면
[math( \dfrac{d}{d r}\left( \dfrac{r^2}{ \rho}\dfrac{d P}{d r} \right)= G \dfrac{d M}{d r} )]
①을 도입하면
[math(\begin{aligned}\dfrac{d}{d r}\left( \dfrac{r^2}{ \rho}\dfrac{d P}{d r} \right)&= G \rho 4 \pi r^2\\ \therefore\dfrac{1}{r^2}\dfrac{d}{d r}\left( \dfrac{r^2}{ \rho}\dfrac{d P}{d r} \right)&= 4 \pi G \rho\end{aligned})]
③과 ⑤를 도입하면
| [math(\begin{aligned}\dfrac{1}{r^2}\dfrac{d}{d r}\left[\dfrac{r^2}{ Bx^3}\dfrac{d Af(x)}{d r} \right]&= 4 \pi G Bx^3\\\\\therefore\dfrac{1}{r^2}\dfrac{d}{d r}\left[\dfrac{r^2}{x^3}\dfrac{d f(x)}{d r} \right]&=\dfrac{B}{A} 4 \pi G Bx^3\\\\\rightarrow\dfrac{1}{r^2}\dfrac{d}{d r}\left[\dfrac{r^2}{ x^3}\dfrac{d \left\{\dfrac{8x^3}{(x^2+1)^{-\frac{1}{2}}} \right\}}{d r} \right]&= \dfrac{B}{A} 4 \pi G Bx^3\\\\\therefore\dfrac{1}{r^2}\dfrac{d}{d r}\left( {r^2}\dfrac{d \sqrt{x^2+1} }{d r} \right)&=\dfrac{ \pi G B^2x^3}{2A}\end{aligned})] |
[math( \dfrac{1}{r^2}\dfrac{d}{d r}\left( {r^2}\dfrac{d y }{d r} \right)= \dfrac{\pi G B^2}{2A}(y^2-1)^{3/2})]
이제 다음과 같이 정의하자.
[math(\begin{aligned} r&=\alpha \eta\\ y &= y_0 \phi\\\alpha& =\sqrt{\dfrac{2A}{\pi G}} \dfrac{1}{By_0}\\ y_0^2 &=x_0^2 +1\end{aligned})]
이 경우 찬드라세카르 백색왜성 방정식(Chandrasekhar white-dwarf equation) 기본모델
[math( \dfrac{1}{\eta^2}\dfrac{d}{d\eta}\left(\eta^2 \dfrac{d\phi}{d\eta} \right) = \pm \left( \phi^2 - \dfrac{1}{y_0^{2}}\right)^{3/2})]
을 조사할 수 있다. 중력과 열역학에서 별의 중심(core) 방향으로 향하는 전자축퇴압을 물리적으로 계산하기 위해 찬드라세카르 백색왜성 방정식의 우변(RHS)항 부호를 마이너스(-)로 취할 수 있다.[13][14][15]
[math( \dfrac{1}{\eta^2}\dfrac{d}{d\eta}\left(\eta^2 \dfrac{d\phi}{d\eta} \right) = -\left( \phi^2 - \dfrac{1}{y_0^{2}} \right)^{3/2} )]
7. 찬드라세카르 한계
찬드라세카르 한계(Chandrasekhar limit)는 다음과 같이 나타내어진다.[math( M_{limit} = \beta \left( \dfrac{\hbar c }{G} \right)^{3/2} \dfrac{1}{(\mu H)^2} )]
[math( \beta )]는 찬드라세카르 백색왜성 방정식으로 유도되는 항(terms)들로부터 얻어지는 상수(constant), [math(\mu )]는 전자기준 분자량(molecular weight,per electrons), [math(H )]는 양성자(수소 원자)의 질량(the mass of the hydrogen atom)이다. [math( \hbar = \dfrac{h}{2\pi} )]는 플랑크-디랙 상수, [math(h)]는 플랑크 상수, [math(c)]는 광속(light speed), [math(G)]는 중력상수(G force)이다.
7.1. 계산 예
찬드라세카르 한계(Chandrasekhar limit)[math( M_{limit} = \beta \left( \dfrac{\hbar c }{G} \right)^{3/2} \dfrac{1}{\mu^2 H^2} )]
으로부터 [math( \beta, \mu =1)] 그리고 페르미-디랙 통계(Fermi–Dirac statistics)를 따르는 페르미 가스(Fermi gas)를 가정하자. 즉
[math( M_{max} = \left( \dfrac{\hbar c }{G} \right)^{\frac{3}{2}} \dfrac{1}{ H^2} )]
에 대하여 다음과 같이 값이 주어진다고 하자.
[math(\begin{aligned} c&= 3 \times 10^{8} m/s \\ h &= 6.626\,070\,15\times10^{-34}\rm\,J\cdot s \\ G&=6.674\,30(15) \times 10^{－11}\,{\rm N \cdot m^2 kg^{-2}} \\ H&= 1.67 \times 10^{−27} kg \\ \hbar& = \dfrac{h}{2 \pi}\end{aligned})]
그러면 우선 [math(\hbar)]는 다음과 같다.
[math(\begin{aligned} \hbar& = \dfrac{6.626\,070\,15\times10^{-34}\rm\,J\cdot s }{2 \cdot 3.14}\\&= 1.054571818 \times10^{-34}\rm\,J\cdot s\end{aligned})]
[math(\rm J)]는 줄(Joule)이다. 이제 이를 바탕으로 [math(M_{max})]를 계산하면
| [math( \begin{aligned}M_{max} &= \left[\dfrac{ \left(1.054571818 \times10^{-34}N\cdot m \cdot s \right) \cdot \left(3 \times 10^{8} m/s \right)}{6.674\,30(15) \times 10^{－11}\,{\rm N \cdot m^2 kg^{-2}}} \right]^{3/2} \dfrac{1}{ (1.67 \times 10^{−27} {\rm kg})^2}\\&= 3.70045 \times 10^{30} \rm kg \end{aligned})] |
[math( M_{max} = \dfrac{ 3.70045 \times 10^{30} {\rm kg} }{1.98855 \times 10^{30}{\rm kg}} =1.86 M⊙)]
즉, 찬드라세카르 한계가 태양질량(M⊙)의 약1.86배에서 최대치임을 조사할 수 있다.[16]
7.2. 별의 압력과 질량
유체역학적 접근에서 나비에-스토크스 방정식 표준 모델로부터[math( G = \dfrac{Fr^2}{mM} )]
을 얻을 수 있다. 이를 [math(F)]에 대하여 풀면 다음과 같다.
[math( F = \dfrac{Gm^2}{r^2}\;\cdots\;①)]
한편 압력(pressure) [math(P)]는 단면적(area) [math(A)]와 반지름(radius) [math(r)]에 관한 식으로 나타낼 수 있다.
[math(P=\dfrac{F}{A},\,A=r^2\;\cdots\;②)]
②에 ①을 대입하면
[math( P = \dfrac{Gm^2}{r^2 r^2}\;\cdots\;③)]
양성자질량 [math(H)]와 양성자 물질량 [math(N)]에 대하여 별의 질량을 [math( m = NH)]로 정의해보면 [math( \dfrac{m}{H} =N )]으로 양성자질량당 별의 질량을 부피 [math( \left(V,length^3 \right) )]로 나눈 별의 밀도[math( \dfrac{N}{V} )]와 플랑크-콤프턴 상수(Planck-Compton constant)[math( \hbar c )]로부터 이상기체(ideal gas)의 압력 [math( P = \hbar c \dfrac{N}{V} )]을 얻을 수 있다.
[math( P = \hbar c \dfrac{m/H}{r^3}\;\cdots\;④)]
③과 ④를 상태방정식으로 놓으면
[math( \dfrac{Gm^2}{r^2 r^2} = \hbar c \dfrac{m/H}{r^3} )]
이를 [math(m)]에 대하여 풀면 다음과 같다.
[math( m= \left( \dfrac{\hbar c}{G}\right)^{3/2} \dfrac{1}{ H^{2} } )]
한편 찬드라세카르 한계 [math( m= \left( \dfrac{\hbar c}{G}\right)^{3/2} \dfrac{1}{ H^{2} } )]의 우변 첫 번째 항으로부터 플랑크질량 [math( \left( \dfrac{\hbar c}{G}\right)^{1/2})]을 얻을 수 있다.
7.3. 플랑크 질량
찬드라세카르 한계를 플랑크 질량 [math( P = \sqrt{\dfrac{\hbar c}{G} } )]에 대하여 나타내면 다음과 같다.[math(m=\left( \dfrac{\hbar c}{G}\right)^{3/2} \dfrac{1}{ H^{2} }= \dfrac{P^{3}}{ H^{2} })]
이렇게 질량 덩어리 별의 플랑크 질량(P) 3배수에 대한 양성자 질량(H) 2배수에서 찬드라세카르 한계를 이해해볼 수 있다.
8. 관련 문서
[가] S. Chandrasekhar (1931) XLVIII. The density of white dwarf stars, J. Astrophys. Astr. (1994) 15, 105–109 Reproduced from Philosophical Magazine, 11 (Suppl.Feb.1931), 592-596https://www.ias.ac.in/public/Volumes/joaa/015/02/0105-0109.pdf DOI: 10.1080/14786443109461710[나] Title: Stellar Configurations with Degenerate Cores,Authors: Chandrasekhar, S.,Journal: Journal of Astrophysics and Astronomy, Vol. 15, NO. 2/JUN, P. 133, 1994 (reproduced 1934)https://articles.adsabs.harvard.edu/full/1994JApA...15..133C[다] Title: Some Remarks on the State of Matter in the Interior of Stars,Authors: Chandrasekhar, S.,Journal: Journal of Astrophysics and Astronomy, Vol. 15, NO. 2/JUN, P. 119, 1994(reproduced 1932)https://articles.adsabs.harvard.edu//full/1994JApA...15..119C/0000119.000.html[4] Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid,Richard C. Tolman,Phys. Rev. 55, 364 – Published 15 February 1939 DOI:https://doi.org/10.1103/PhysRev.55.364https://authors.library.caltech.edu/4362/1/TOLpr39.pdf[5] On Massive Neutron Cores, J. R. Oppenheimer and G. M. Volkoff Phys. Rev. 55, 374 – Published 15 February 1939https://doi.org/10.1103/PhysRev.55.374[가] The evolution and explosion of massive stars ,S. E. Woosley, A. Heger,Department of Astronomy and Astrophysics, University of California, Santa Cruz, California 95064,T. A. Weaver,Lawrence Livermore National Laboratory,Livermore, California 94551 ,REVIEWS OF MODERN PHYSICS, VOLUME 74, OCTOBER 2002(Published 7 November 2002)http://users-phys.au.dk/jcd/explosion/reprints/woosley_etal_02.pdf[7] On Dense Matter ,R. H. Fowler, F.R.S.,Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Volume 87, Issue 2, December 1926, Pages 114–122, https://doi.org/10.1093/mnras/87.2.114Published: 10 December 1926[가] [9] \[한국천문연구원\]중성자성 진화과정에 대해서 여쭤봅니다.https://astro.kasi.re.kr/community/post/qna/2688[10] J. H. Lane on the Theoretical Temperature of the Sun. 57 ,ART. IX. -On the Theoretical Temperature of the Sun; under the Hypothesis of a Gaseous Mass maintaining its Volume by its Internal Heat, and depending on the Laws of Gases as known to Terrestrial Experiment; by J. HOMER L.A.NJj:, Washing-ton, D. Chttps://zenodo.org/record/1450030[나] [다] [13] The Highly Collapsed Configurations of a Stellar Mass. (Second Paper.) S.Chandrasekhar, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Volume 95, Issue 3, January 1935, Pages 207–225, https://doi.org/10.1093/mnras/95.3.207 Published: 01 January 1935[14] ON STARS, THEIR EVOLUTION AND THEIR STABILITY ,Nobel lecture, 8 December, 1983 by SUBRAHMANYAN CHANDRASEKHAR,The University of Chicago, Chicago, Illinois 60637, USAhttps://web.archive.org/web/20101215092618/http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1983/chandrasekhar-lecture.pdf[15] A hacker's guide to the Chandrasekhar limit , David Wakeham https://hapax.github.io/physics/hacks/chandra/[16] CASIO fx-350ES PLUS