1. 개요
찬드라세카르 한계(Chandrasekhar limit)란 천체물리학자 수브라마니안 찬드라세카르가 발견한, 백색왜성이 가질 수 있는 최대 질량을 말한다. 만약 이 한계보다 큰 질량의 백색왜성이 존재한다면, 그 별은 머지 않아 스스로의 중력으로 인해 붕괴하여[1] 중성자별이 된다. 찬드라세카르 한계값은 화학적 조성에 따라 태양 질량의 약 1.4~1.7배로 계산되고 있다.이 한계에 대해 정확히 이해하려면
그런데, 만약 충분히 뭉쳐지게 된다면 원자핵[5]과 전자는 붕괴하여 중성자가 되어 중성자별이 되는데, 이 중성자 또한 페르미온이다. 그렇기 때문에 똑같은 계산을 중성자별에도 할 수 있고 이것이 톨만-오펜하이머-볼코프 한계이다. 이 한계를 넘어서면 블랙홀이 되는데, 자세한 내용은 항목 참조.
2. 유도 과정
2.1. 레인-엠든 방정식
찬드라세카르 백색왜성 방정식(Chandrasekhar white-dwarf equation)(6)P135[math( \dfrac{1}{\eta^2}\dfrac{d}{d\eta}\left(\eta^2 \dfrac{d\phi}{d\eta} \right) = - \left( \phi^2 - \dfrac{1}{y_0^{2}} \right)^{\frac{3}{2}} )]
으로부터 다음의 레인-엠든 방정식(Lane-Emden equation)을 기술한다.(17')P325
[math( \dfrac{1}{\xi^2}\dfrac{d}{d\xi}\left(\xi^2 \dfrac{d\theta}{d\xi} \right) = - \theta^3)]
자세한 내용은 그의 논문을 참조하도록 하자.
2.2. 별의 밀도
우선, 별이 균일한 밀도를 가진 구형의 물체라고 가정하자.[math(
)]
M = \rho \times M = \rho \times \frac4 3 \pi r^3
)]
양 변을 [math(r)]에 대해 미분하면
[math(\begin{aligned}\dfrac{dM}{dr}&= \rho 4 \pi r^2\end{aligned} )]
을 얻을 수 있다.
2.3. 힘의 평형
별에 대해서 또 다른 가정을 해야하는데, 그것은 바로 별이 평형상태에 있다는 것이다. 즉, 별은 커지거나 줄어들지 않고, 내부 구조가 바뀌는 등의 변화도 겪지 않는 정적인 상태에 있는 것이다.중심으로부터 [math(r)]만큼 떨어진 거리에 위치한, 별 내부의 한 부분을 생각하자. 별 전체가 평형상태이려면 이 일부분 또한 평형상태여야 한다. 우리는 앞서 별이 균질한 구라는 가정을 하였기 때문에 수평방향으로의 힘은 없고 수직방향으로의 힘만 존재하는 상황이다[6]. 합력이 0이라는 것을 이용하기 위해 이 별의 조각에 가해지는 수직방향 힘들을 살펴보자.
우선, 이 조각 윗부분에서 이 조각을 누르는 힘이 있을 수 있다[7]. 이 힘을 [math(F)]라고 하자. 또한, 이 조각과 그 윗부분이 아랫부분을 누르는 힘이 있고, 그 힘은 작용 반작용의 원리에 의해 이 조각에 윗방향으로 작용한다. 이 조각의 부피를 [math(\textrm{d}V = A\textrm{d}r)]이라고 했을 때, 이 조각에 작용하는 중력 관련한 힘의 합력은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(
\sum F_G = -F + \left(F + G\dfrac{M \times \rho A \textrm{d}r}{r^2}\right) = \rho A \dfrac{GM}{r^2} \textrm{d}r
)]또한, 아래에서 위로 밀어올리는 압력들을 생각할 수 있다. 우선은 이 조각이 윗부분에 작용하는 압력의 반작용과 이 조각의 아래에서 이 조각에게 작용하는 압력의 차이를 [math(\textrm{d}P)]라고 하자. 그렇다면 힘은 압력과 그것이 작용하는 면적을 곱한 것이기 때문에 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(
\sum F_P = \textrm{d}P \times A = \sum F_G = \rho \dfrac{GM}{r^2} \textrm{d}r \times A
)][math(
\therefore \dfrac{\textrm{d}P}{\textrm{d}r} = \rho \dfrac{GM}{r^2}
)]2.4. 찬드라세카르 백색왜성 방정식
질량미분방정식[math( \dfrac{dM}{dr}= \rho 4 \pi r^2 \;\cdots\;①)]
힘의 평형
[math( \dfrac{d P}{d r} = \rho \dfrac{GM}{r^2}\;\cdots\;②)]
압력 [math(P)]에 대하여 페르미 기체(Fermi gas)를 만족시키는 압력상수 [math(A)]
[math(\begin{cases}P&= A\cdot f(x)\\f(x)&=\dfrac{8x^3}{(x^2+1)^{-\frac{1}{2}} }\end{cases}\;\cdots\;③)]
[math(y^2=x^2+1\;\cdots\;④)]
[math(y^2=x^2+1\;\cdots\;④)]
밀도 [math(\rho)]에 대한 밀도상수 [math(B)]
[math(\rho= Bx^3\;\cdots\;⑤)]
를 고려하자. ②를 변형하면
[math( \dfrac{d}{d r}\left( \dfrac{r^2}{ \rho}\dfrac{d P}{d r} \right)= G \dfrac{d M}{d r} )]
①을 도입하면
[math(\begin{aligned}\dfrac{d}{d r}\left( \dfrac{r^2}{ \rho}\dfrac{d P}{d r} \right)&= G \rho 4 \pi r^2\\ \therefore\dfrac{1}{r^2}\dfrac{d}{d r}\left( \dfrac{r^2}{ \rho}\dfrac{d P}{d r} \right)&= 4 \pi G \rho\end{aligned})]
③과 ⑤를 도입하면
| [math(\begin{aligned}\dfrac{1}{r^2}\dfrac{d}{d r}\left[\dfrac{r^2}{ Bx^3}\dfrac{d Af(x)}{d r} \right]&= 4 \pi G Bx^3\\\\\therefore\dfrac{1}{r^2}\dfrac{d}{d r}\left[\dfrac{r^2}{x^3}\dfrac{d f(x)}{d r} \right]&=\dfrac{B}{A} 4 \pi G Bx^3\\\\\rightarrow\dfrac{1}{r^2}\dfrac{d}{d r}\left[\dfrac{r^2}{ x^3}\dfrac{d \left\{\dfrac{8x^3}{(x^2+1)^{-\frac{1}{2}}} \right\}}{d r} \right]&= \dfrac{B}{A} 4 \pi G Bx^3\\\\\therefore\dfrac{1}{r^2}\dfrac{d}{d r}\left( {r^2}\dfrac{d \sqrt{x^2+1} }{d r} \right)&=\dfrac{ \pi G B^2x^3}{2A}\end{aligned})] |
[math( \dfrac{1}{r^2}\dfrac{d}{d r}\left( {r^2}\dfrac{d y }{d r} \right)= \dfrac{\pi G B^2}{2A}(y^2-1)^{3/2})]
이제 다음과 같이 정의하자.
[math(\begin{aligned} r&=\alpha \eta\\ y &= y_0 \phi\\\alpha& =\sqrt{\dfrac{2A}{\pi G}} \dfrac{1}{By_0}\\ y_0^2 &=x_0^2 +1\end{aligned})]
이 경우 찬드라세카르 백색왜성 방정식(Chandrasekhar white-dwarf equation) 기본모델
[math( \dfrac{1}{\eta^2}\dfrac{d}{d\eta}\left(\eta^2 \dfrac{d\phi}{d\eta} \right) = \pm \left( \phi^2 - \dfrac{1}{y_0^{2}}\right)^{3/2})]
을 얻을 수 있다. 중력과 열역학에서 별의 중심 방향으로 향하는 전자축퇴압을 물리적으로 계산하기 위해 위 방정식의 우변의 부호를 마이너스([math(-)])로 취할 수 있다.[8][9][10]
[math( \dfrac{1}{\eta^2}\dfrac{d}{d\eta}\left(\eta^2 \dfrac{d\phi}{d\eta} \right) = -\left( \phi^2 - \dfrac{1}{y_0^{2}} \right)^{3/2} )]
2.5. 찬드라세카르 한계
찬드라세카르 한계는 다음과 같이 나타내어진다.[math( M_{limit} = \beta \left( \dfrac{\hbar c }{G} \right)^{3/2} \dfrac{1}{(\mu H)^2} )]
[math( \beta )]는 찬드라세카르 백색왜성 방정식으로 유도되는 항들로부터 얻어지는 상수, [math( \mu )]는 전자 당 분자량(molecular weight per electrons), [math(H )]는 수소 원자의 질량[11]이다. [math( \hbar = \dfrac{h}{2\pi} )]는 플랑크-디랙 상수, [math(c)]는 광속, [math(G)]는 중력상수이다. 상수들의 값은 아래와 같다.
[math(\begin{aligned}
H &= 1.67 \times 10^{-27} \rm kg \\
\hbar &= 1.054571818 \times10^{-34} \rm\,J\cdot s \\
c &= 3 \times 10^{8} \rm m/s \\
G &=6.674\,30(15) \times 10^{－11}\,{\rm N \cdot m^2 kg^{-2}} \\
\end{aligned})]\hbar &= 1.054571818 \times10^{-34} \rm\,J\cdot s \\
c &= 3 \times 10^{8} \rm m/s \\
G &=6.674\,30(15) \times 10^{－11}\,{\rm N \cdot m^2 kg^{-2}} \\
한편, [math( m_P = \sqrt{\dfrac{\hbar c}{G} } )]는 플랑크 질량으로, 이를 이용하면 아래와 같이 간단하게 나타낼 수 있다.
[math( M_{limit} = \beta \dfrac{m_P^3}{(\mu H)^2} )]
2.5.1. 계산 예
위의 식에서 [math( \beta, \mu =1)] 그리고 페르미 가스(Fermi gas)[12]를 가정하자. 즉[math( )]
이를 바탕으로 [math(M_{max})]를 계산하면
| [math( \begin{aligned} M_{max} &= \left( \dfrac{\hbar c }{G} \right)^{\frac{3}{2}} \dfrac{1}{ H^2}\\ )] M_{max} &= \left[\dfrac{ \left(1.054571818 \times10^{-34}N\cdot m \cdot s \right) \cdot \left(3 \times 10^{8} m/s \right)}{6.674\,30(15) \times 10^{－11}\,{\rm N \cdot m^2 kg^{-2}}} \right]^{3/2} \dfrac{1}{ (1.67 \times 10^{-27} {\rm kg})^2}\\ &= 3.70045 \times 10^{30} \rm kg = 1.86 M_⊙ \end{aligned} |
3. 관련 문서
[1] 이를 중력붕괴(gravitational collapse)라고 한다.[2] 후술하겠지만 정확히는 힘들이 아니라 에너지들이다. 양자역학이 필요할 정도로 미시적이거나 상대성 이론이 필요할 정도로 거시적인/빠른 환경에서는 힘이나 가속도 등을 분석하는 것보다 에너지와 운동량 등을 분석하는 것이 편하다.[3] h3의 부피를 갖는 6차원 위상공간 안에는 같은 운동량을 갖는 전자가 스핀방향이 반대인 것 하나씩 2개까지만 존재할 수 있다. 따라서 단위부피당 존재할 수 있는 단위 운동량당 전자 개수밀도에 상한이 생긴다.[4] 관심이 있다면 찬드라세카르 본인의 논문, 그의 글2, 그리고 그의 글3이나 한국천문연구원의 설명을 읽어보도록 하자.[5] 정확히는 원자핵 내의 양성자[6] 혹은 통계역학적으로 수평방향의 힘이 존재는 하지만 평균적으로 0이라고 생각하여도 된다[7] 물론 전체 구에 대해서 적분하면 0이 된다.[8] The Highly Collapsed Configurations of a Stellar Mass. (Second Paper.) S.Chandrasekhar, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Volume 95, Issue 3, January 1935, Pages 207–225, https://doi.org/10.1093/mnras/95.3.207 Published: 01 January 1935[9] ON STARS, THEIR EVOLUTION AND THEIR STABILITY ,Nobel lecture, 8 December, 1983 by SUBRAHMANYAN CHANDRASEKHAR,The University of Chicago, Chicago, Illinois 60637, USAhttps://web.archive.org/web/20101215092618/http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1983/chandrasekhar-lecture.pdf[10] A hacker's guide to the Chandrasekhar limit , David Wakeham https://hapax.github.io/physics/hacks/chandra/[11] 수소 원자는 평균적으로 양성자 1개에 전자 1개이므로 대략적으로 양성자의 질량으로 봐도 무방하다.[12] 페르미-디랙 통계를 따르는 기체를 말한다. 자세한 설명은 통계역학 항목 참조.