최근 수정 시각 : 2026-07-15 08:18:49

이데알


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1. 개요2. 정의3. 이데알의 생성원4. 특별한 이데알들
4.1. 소 이데알(prime ideal)
4.1.1. 정의4.1.2. 관련된 정리들
4.2. 으뜸 이데알(primary ideal)
4.2.1. 정의
4.3. 극대 이데알(maximal ideal)4.4. 관련된 정리들

1. 개요

이데알은 부분과 비슷하지만,[1] 특별한 조건을 가지는 부분구조이다.

부분환과 이데알의 이런 관계는 론에서의 부분군정규부분군의 관계와도 닮았다. 실제로, 군을 정규부분군으로 나누어 몫군을 얻듯이 환을 이데알로 나누어 몫환을 얻는다. 하지만, 부분군과 부분환으로는 이런 분할이 잘 정의되지 않는다.

ideal을 독일식으로 읽은게 이데알, 영어식으로 읽은게 아이디얼이다.

2. 정의

[math(R)]에 대해 덧셈 부분군 [math(I \sub R)]이
  1. [math(R I \sub I)]을 만족한다면, [math(I)]를 좌이데알(left ideal)이라고 한다.
  2. [math(I R \sub I)]을 만족한다면, [math(I)]를 우이데알(right ideal)이라고 한다.
  3. 좌이데알인 동시에 우이데알인 이데알을 양쪽 이데알(two side ideal), 또는 그냥 이데알이라고 한다.

가환환이면 좌 이데알과 우 이데알의 구분이 없다.

다음이 성립한다.[2]
  • 임의의 [math(\alpha \in A)]에 대해, [math(I_\alpha)]가 [math(R)]의 이데알이라 하자.[3] [math(\bigcap_\alpha I_\alpha)]도 [math(R)]의 이데알이다.

3. 이데알의 생성원

[math(X \subset R)]에 대해, [math(X)]를 포함하는 [math(R)]의 가장 작은(smallest) 이데알을 [math(X)]가 생성하는 이데알(ideal generated by [math(X)])이라 하고, [math((X))] 로 적는다.[4] [math(X)]는 [math((X))]의 생성원이라 한다. smallest가 아니고 minimal로 정의하기도 하는데, smallest로 정의하면 존재성이, minimal로 정의하면 유일성이 문제되나……
이러한 부분환 [math((X))]의 존재성과 유일성은 [math((X) = \bigcap_{X \subset I \le R} I)]를 증명하면 보일 수 있다. 증명은 부분환의 교집합이 다시 부분환인 것만 보이면 충분한데, 앞에서 이미 보였다. 이하 과정은 부분환의 그것과 동문이다.

4. 특별한 이데알들

이하에서, 환 [math(R)]은 가환이고, 단위원 [math(1)]을 갖는다고 가정한다.

4.1. 소 이데알(prime ideal)

4.1.1. 정의

[math(R)]의 이데알 [math(P \subsetneq R)]가 [math(R)]의 소 이데알이라 함은 다음 유클리드 보조정리가 성립하는 것이다.
임의의 [math(a, b \in R)]에 대해, [math(a b \in P)]이면, [math(a \in P)] 또는 [math(b \in P)]이다.[5]

소 이데알의 몫환은 정역이다.

4.1.2. 관련된 정리들

  • Eisenstein's criterion
[math(R)]이 정역, [math(P)]가 [math(R)]의 소 이데알이라 하자. [math(f = \sum a_i x^i)]에 대해,
* [math(\forall i < n \quad a_i \in P)]
* [math(a_n \notin P)]
* [math(a_0 \notin P^2)]
이면, [math(f)]는 irreducible이다.
  • 소원의 이데알은 소 이데알이다.

4.2. 으뜸 이데알(primary ideal)

으뜸 이데알은 소이데알의 조건을 약화시킨 것이다.

4.2.1. 정의

[math(R)]의 이데알 [math(Q)]가 [math(R)]의 으뜸 이데알이라 함은 다음이 성립하는 것이다.
임의의 [math(a, b \in R)]에 대해, [math(a b \in P)]이면, [math(a \in P)] 또는 [math(\exists n \ge 1 \quad b^n \in P)]이다.

4.3. 극대 이데알(maximal ideal)

[math(R)]의 이데알 [math(M \subsetneq R)]이 [math(R)]의 극대 이데알이라 함은 다음이 성립하는 것이다.
임의의 이데알 [math(M \subset I \subset R)]에 대해, [math(I = R)]또는, [math(I = M)]이다.[6]
일반적으로 Maximal은 더 이상 큰 것이 없다는 뜻이지만, 이데알에서 이런 식으로 정의하면 그냥 원래 환 [math(R)]이 되어버려 아무 의미가 없어지기 때문에 [math(R)]은 빼놓고 생각하는 것이다. [math(1)]을 소수가 아니라고 하는 것과 같은 이치이다.

또한 선택공리를 가정하면 [math(1)]을 포함하는 가환환은 극대 이데알을 가진다. 라는 결론을 내릴 수 있다.

4.4. 관련된 정리들

  • 극대 이데알의 몫환은 체이다.
  • 어떤 이데알이 극대 이데알이면 그 이데알은 소 이데알이기도 하다.
  • 체의 극대 이데알은 [math(\{ 0 \})]이다. 즉 체의 이데알은 [math(\{ 0 \})]과 자기 자신뿐이다.
  • 어떤 환의 극대 이데알이 [math(\{ 0 \})]이면 그 환은 체이다.
  • (비가환 환에서도) 모든 이데알은 극대 이데알의 부분집합이다.[7]
  • (비가환 환에서도) 극대 이데알을 갖는다.
  • PID 위에서, 기약원의 이데알은 극대 이데알이다.


[1] 맥락마다 환 및 부분환의 구체적인 정의에 따라 이데알이 부분환이 될 수도 있고 아닐 수도 있는데, unital할 필요가 없다면 모든 이데알은 부분환이 된다. 반대로 unital ring, 즉 부분환에서도 [math(1)]을 보존해야 하는 환이라면 모든 proper ideal이 전부 부분환이 아니게 된다.[2] 좌-, 우-, 양쪽- 이데알에 대해[3] 즉, [math(\{ I_\alpha \})]은 [math(R)]의 이데알들 중 일부를 모은 것이다.[4] 책에 따라 [math(\langle X \rangle)]로 적기도 한다.[5] 이는 정수환에서, 소수 [math(p)]에 대해, [math(p \mathrel| a b)]이면 [math(p \mathrel| a)] 또는 [math(p \mathrel| b)]인 것과 연관지어 생각해 볼 수 있다. 실제로 정수환 [math(\Z)]의 소 이데알은 [math(p)]가 소수일 때, [math(p \Z)]들 그리고 [math(\{ 0 \})]뿐이다.[6] 이는 정수환에서, 소수 [math(p)]에 대해, [math((p) \subset I \subset \Z)]이면 [math(I = (p))]또는 [math(I = (1) = \Z)]인 것과 연관지어 생각해 볼 수 있다.[7] 선택공리와 동치이다.


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