최근 수정 시각 : 2018-10-10 01:10:43

잘 정의됨


Well-definedness

1. 개요2. 예시
2.1. 잘 정의되지 않은 함수2.2. 잘 정의된 표기
3. 여담

1. 개요

어떤 개념이나 표기가 잘 정의되었다는 것은, 말 그대로 그것이 애매하게 정의되지 않고 정의되었다는 뜻이다.
반대로 잘 정의되지 않은 경우는, 그 정의를 만족하는 것이 유일하지 않은 경우, 또는 정의 자체에서 뭔가를 가정하고 있는데 그 가정이 잘못된 경우 등이 있다.

만약 자신이 어떤 개념이나 표기를 정의했을 때는 항상 그것이 잘 정의되어있는지 잘 확인해야 한다. 이거 때문에 수십 년 연구가 통째로 날라가기도 한다.
자세한 것은 밑에 여담 항목 참조.
사실 예시를 보면 훨씬 더 이해가 빠르다.

2. 예시

2.1. 잘 정의되지 않은 함수

함수가 잘 정의되지 않은 경우는 흔히 한 원소에 대한 함수값이 2개 이상이 나오는 경우나 함숫값이 존재하지 않는 경우, 정의역에 있어야 할 원소가 정의역에 있지 않은 경우 등이 있다.
  • f:QZf : \mathbb Q \rightarrow \mathbb Z f(ba)=a+b f({b \over a}) = a+b (이 때, a,ba, b는 정수)는 well-defined 되지 않은 함수이다. f(12)=36=f(24)f({1 \over 2}) = 3 \neq 6 = f({2 \over 4}) 이기 때문이다.
  • 정수 nn에 대해 n¯\bar {n} 를 "nn 1010으로 나눈 나머지가 같은 수들의 집합"이라고 정의할 때[1], f(n¯)=nf(\bar {n}) = n 라 한다면 ff는 잘 정의되지 않은 함수이다. 1¯=11¯ \bar {1} = \bar {11} 인데 f(1¯)=111=f(11¯) f(\bar {1}) = 1 \neq 11 = f(\bar {11})이기 때문. 만약 f(\bar {n}) = n\mod 10처럼 정의한다면 잘 정의된다. n¯ \bar {n} 표기 때문에 처음 보면 헷갈릴 수 있으니 주의. 이런 표기를 쓸 때는 항상 잘 정의됨을 생각해야 한다.
  • f:P(Rn)Zf : \mathbb P(R^{n}) \rightarrow \mathbb Zf(U)={1,U is open1,U is closed0,else f(U) = \begin{cases} 1, & U\ is\ open \\ -1, & U\ is\ closed \\ 0, & else \end{cases}라 정의하면, \emptyset 은 열린 집합이면서 닫힌 집합이므로 ff는 잘 정의되지 않았다.
  • 유계함수 f:RR f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R 에 대해 m(f)= m(f) = "ff의 최솟값"라 하면 mm은 잘 정의되지 않은 함수이다. ff의 최솟값이 존재하지 않을 수도 있기 때문. m(f)=inf(f(R)) m(f) = inf(f(\mathbb R))과 같이 정의하면 잘 정의된다.
  • 벡터 공간 VV차원을 "기저의 원소의 개수(또는 cardinality)"라고 정의했을 때도, 잘 정의되었는지 확인해야 한다. VV의 기저는 여러 개 있을 수 있고, 그 중 원소의 개수가 다른 것이 있을 수 있기 때문. 물론 이 경우엔 기저들의 원소의 개수가 같음을 증명할 수 있다.

2.2. 잘 정의된 표기

  • 새로운 연산 \heartsuit를 정의했을 때초등학교 때 많이 봤다, abca\heartsuit b\heartsuit c 와 같은 표기를 쓰기 전에는 항상 \heartsuit결합법칙을 만족하는지 확인해봐야 한다. 예를 들어 ab=2a+ba\heartsuit b = 2a+b라 하면 ((12)3)(1(23)) ((1\heartsuit 2)\heartsuit 3) \neq (1\heartsuit (2\heartsuit 3))가 되므로 결합법칙을 만족하지 않아, abca\heartsuit b\heartsuit c의 표기를 쓸 수 없다. 또한 이는 a/b/c a/b/c 같은 표기를 쓸 수 없는 이유이기도 하다. [2]

3. 여담

  • 잘 정의된 표기의 중요성을 간과했을 때 벌어지는 재밌는 일 중 하나로, "가장 짧은 표현의 단어 개수가 세상에서 가장 큰 것"을 생각해보자. 즉, 존재하는 모든 것들에 대해 "가장 짧은 표현"을 생각해보고, 그것의 단어의 개수가 가장 많은 것을 생각해보자.[3] 그런데 우리는 방금 그것을 "가장 짧은 표현의 단어 개수가 세상에서 가장 많은 것"이라는 11단어[4]만으로 표현했으므로, 모든 것의 "가장 짧은 표현"은 9단어 이내여야 한다. 즉 모든 것은 11단어 이내로 표현 가능해야 한다! 따라서 존재하는 단어를 대충 넉넉히 1000만 개라고 하면, 이 세상에 존재하는 건 10^77개 이하이다.[5]
  • 출석부 게임을 할 때 자기가 부른 것에 해당하는 사람이 여러 명이면 잘 정의되지 않았다고 까인다. 아 병신은 BGM도 없어요

[1] 즉, 1¯={...,19,9,1,11,21,...}\bar {1} =\left\{..., -19, -9, 1, 11, 21, ...\right\}[2] 실제로 집합론 같은 변태같은 과목들을 보면 +,×+, \times (우리가 아는 그 덧셈, 곱셈 맞다!) 같은 연산을 쓸 때도 결합법칙을 만족하는 것을 증명한 후에 a+b+ca+b+c와 같은 표기를 쓴다.[3] 여기서 오류가 발생한다.[4] 어절은 9개[5] 더 깊숙히 파고 들자면 well-definedness 말고 다른 문제도 있다. 애초에 '표현'이라는 말이 애매할 뿐더러, 단어도 무한히 많이 만들어낼 수 있다. 당장 1부터 100,000,000까지는 1억개의 단어가 존재한다. 따라서 이 논증은 주로 언어의 애매성이나 언어의 한계를 깔 때 사용된다.

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