최근 수정 시각 : 2018-08-09 21:53:57

뢰벤하임-스콜렘 정리


1. 개요2. 왜 중요한가?3. 함의

1. 개요

뢰벤하임-스콜렘 정리(Löwenheim-Skolem Theorem)는 일상언어로 설명하자면 '같은 문장에 대한 논리적으로 동일한 다양한 해석이 있을 수 있다'는 정리이다. 이때 해석의 의미는 자연언어의 의미 해석이라기보다는 수리 논리학에서 말하는 해석과 모형이론에 관한 문제라 할 수 있지만, 자연언에서의 해석으로 이해해도 받아들이는데는 큰 문제가 없다. 해석과 모형의 의미가 궁금하다면 양화 논리 문서를 참조하면 좋다. 이 정리를 조금 더 엄밀하게 정의하면 다음과 같다.
모형을 갖는 임의의 문장 집합은 가산 가능한 논의영역을 갖는 논리적 구조가 동일한 모형을 갖는다.
이것은 뢰벤하임-스콜렘 정리의 가장 기본적인 형태다. 이 기본적인 형태의 정의만으로도 이 정리의 개략적인 내용을 충분히 이해하는데는 큰 문제가 없다.

일단 모형을 갖는 임의의 문장 집합이라는 것은 논리적으로 거짓이 아닌 문장 집합, 즉 일관성이 성립하는 문장 집합이라는 것이다. 만약 일관성이 성립하지 않는다면 그 문장 집합은 모형을 갖지 않는다. '소크라테스는 죽었으며 동시에 죽지 않았다'라는 문장을 참으로 만들 수 있는 모형은 없는 것과 같다.

만약 문장 집합이 모형을 가진다면, 그 문장 집합은 가산 가능한 논의 영역을 지닌 논리적 구조가 동일한 모형을 가질 수 있다. 그리고 논리적 구조가 동일한 모형이라는 것은 다음과 같은 두 모형을 말한다.

모형 I'이 모형I와 논리적 구조가 같다.(I'이 I의 부해석이다.)
iff
모형 I와 모형 I'이 기초 동치이다.(이것은 I가 문장 ϕ\phi의 모형일 때, 오직 그 경우에만 I'이 문장 ϕ\phi의 모형이라는 뜻이다.)
iff
(1) I'의 논의영역은 I의 논의영역의 부분집합이다.
(2) I'과 I는 모든 개체상항에 같은 지시체를 할당한다.
(3) I'과 I는 모든 술어에 같은 지시체를 할당한다.(술어가 문장문자라면 같은 진리치를 할당한다. 사실 문장문자의 지시체는 일반적으로 진리치로 여겨지니 굳이 부연할 필요가 없기는 하다.)

2. 왜 중요한가?

뢰벤하임-스콜렘 정리의 중요성은 바로 모든 모형이 가산 가능한 논의 영역을 갖는 기초 동치인 모형에 의해 대체될 수 있다는 것을 보여준다는 점에 있다.

사람들은 흔히 인간이 무한히 많은 이름을 만들 수 있다고 생각한다. 그리고 그런 생각은 옳다. 인간은 유한한 문자의 유한한 길이를 지니는 조합으로 무한히 많은 이름을 만들 수 있다. 문제는 그렇게 만들어낼 수 있는 이름의 집합의 기수이다. 그렇게 생성되는 이름의 집합의 기수는 0\aleph_0를 넘을 수 없다는 것이 증명되어 있으며, 어떤 식으로 이름을 만들더라도 비가산 집합의 원소와 일대일 대응을 시킬 수 없다. 따라서 논의 영역의 농도가 가산 무한을 초과하는 경우, 그러한 해석에 대해 완전한 해석(개체상항에 논의 영역의 모든 원소가 할당되는 해석)이 존재할 수 없다는 것을 알 수 있다.

뢰벤하임-스콜렘 정리는 비가산 집합을 논의 영역으로 갖는 모형이 가산 모형으로 대체될 수 있다는 것을 보여줌으로써, 가산 가능한 논의영역만으로도 1차 술어논리 및 명제 논리를 해석하기에 충분하다는 것을 보여준다. 즉, 완전 해석이 불가능한 해석을 그와 동치인 완전 해석으로 변형할 수 있다는 것이다.

3. 함의

한편 뢰벤하임-스콜렘 정리는 수리 논리학적 정리로서 정리 그 자체의 중요성만큼이나 그것이 함의하는 바의 중요성이 큰 정리이기도 하다. 뢰벤하임-스콜렘 정리를 응용해 철학적인 문제들을 다룬 대표적인 수리철학자가 콰인이다. 윌러드 밴 오먼 콰인 문서에 서술되어 있는 '번역 불확정성' 문제가 바로 이 뢰벤하임-스콜렘 정리로부터 비롯되는 것이다. 우리는 어떤 문장에 대해 그 논리적 구조가 완전히 같은 서로 다른 해석을 생각할 수 있으며, 따라서 번역의 불확정성이 발생한다는 것이 번역 불확정성 문제의 논리학적 근거였다.

그리고 이 번역 불확정성 문제는 과학철학에서 말하는 미결정성 문제로 이어진다. 어떤 현상에 대해 똑같은 설명력을 제공하는 논리적 구조가 동일한 이론 T와 T'이 제시될 수 있다는 발상 역시, 뢰벤하임-스콜렘 정리로부터 시작되는 논의의 연장인 것이다.