| 수학상수 Mathematical Constants | |||||
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1. 개요
Glaisher-Kinkelin constant글레이셔-킨켈린 상수는 다음과 같이 정의되는 상수로, 잉글랜드의 수학자 제임스 위트브레드 리 글레이셔와 스위스의 수학자 헤르만 킨켈린의 이름을 따서 지어졌다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
A &= \lim_{n\to\infty} \frac{\prod_{k=1}^n k^k}{n^{\frac{n^2}2+\frac n2+\frac1{12}} e^{-\frac{n^2}4}} \\
&\approx 1.2824271291
\end{aligned} )]
로그를 취하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \ln A &= \lim_{n\to\infty} \Biggl[ \sum_{k=1}^n k\ln k -\!\biggl( \frac{n^2}2 +\frac n2 +\frac1{12} \biggr) \!\ln n +\frac{n^2}4 \Biggr] \\ &\approx 0.248754477 \end{aligned} )] |
2. 항등식
- 제타 함수의 미분값 중 일부는 이 상수를 이용해 표현할 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align:center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\zeta'(-1) &= \dfrac1{12} -\ln A \\
&\approx -0.1654211437
\end{aligned} )]}}}
- 일부는 로그 함수를 사용한 급수로도 표현할 수 있다. 여기서 [math(\gamma)]는 오일러-마스케로니 상수이다.
\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^2} = -\zeta'(2) &= \frac{\pi^2}6 (12\ln A -\gamma -\ln(2\pi)) \\
&\approx 0.9375482543
\end{aligned} )]}}}||
- 위 급수에 지수함수를 취하면 다음과 같다. 홀수 버전도 있다.
{{{#!wiki style="text-align:center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\prod_{n=1}^\infty n^{^{\small\frac1{n^2}} } &= \biggl( \frac{A^{12}}{2\pi e^\gamma} \biggr)^{\!\!\normalsize\frac{\pi^2}6} \\
&\approx 2.5537126827 \\
\prod_{n=1,3,5,\cdots}^\infty n^{^{\small\frac1{n^2}} } &= \biggl( \frac{A^{36}}{2^4\pi^3e^{3\gamma}} \biggr)^{\!\normalsize\frac{\pi^2}{24}} \\
&\approx 1.5190966334
\end{aligned} )]}}}
- 소수를 사용한 비슷한 식도 있다. 아래에서 [math(p_n)]은 [math(n)]번째 소수이다.
{{{#!wiki style="text-align:center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\prod_{n=1}^\infty {p_n}^{\small\frac1{{p_n}^2-1}} &= \frac{A^{12}}{2\pi e^\gamma} \\
&\approx 1.7681980782
\end{aligned} )]}}}
- 로그 감마 함수 관련 적분에도 이 상수가 등장한다.
\int_0^{1/2} \ln\Gamma(x) \,{\rm d}x &= \frac32\ln A +\frac5{24}\ln2 +\frac14\ln\pi \\
&\approx 0.8037198496 \\
\int_0^{1/2} \ln\Gamma(x+1) \,{\rm d}x &= \frac32\ln A -\frac7{24}\ln2 +\frac14\ln\pi -\frac12 \\
&\approx -0.04285374065
\end{aligned} )]}}}||
- 기타 적분
\int_0^1 \frac{x\ln x}{e^{2\pi x}-1} \,{\rm d}x = \frac12\,\zeta'(-1) &= \frac1{24} -\frac12\ln A \\
&\approx -0.08271057185
\end{aligned} )]}}}||
3. 벤더스키-아담칙 상수
글레이셔-킨켈린 상수는 일반화될 수 있다. 이를 일반화된 글레이셔-킨클린 상수(generalized Glaisher-Kinkelin constants) 또는 벤더스키-아담칙 상수(Bendersky-Adamchik constants)라고 부른다. 미국의 수학자 Victor S. Adamchik와 벨기에의 수학자 L. Bendersky의 이름을 따서 지어졌다. 정의는 복잡하므로 두 논문 링크로 대체한다. 이 논문의 "5. Generalized Glaisher's constants" 문단과 이 논문의 "2 Bendersky-Adamchik constants" 문단을 참고하라.몇몇 예시는 아래와 같다. 편의를 위해 로그를 취한 상태로 나열했다. 아래에서 [math(A_0 = \sqrt{2\pi})]은 흔히 스털링 상수라고 불리고, [math(A_1)]이 바로 글레이셔-킨켈린 상수이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \ln A_0 &= \lim_{n\to\infty} \Biggl[ \sum_{k=1}^n \ln k -\!\biggl( n +\frac12 \biggr) \!\ln n +n \Biggr] \!= \frac12\ln(2\pi) \\ \ln A_1 &= \lim_{n\to\infty} \Biggl[ \sum_{k=1}^n k\ln k -\!\biggl( \frac{n^2}2 +\frac n2 +\frac1{12} \biggr) \!\ln n +\frac{n^2}4 \Biggr] \\ \ln A_2 &= \lim_{n\to\infty} \Biggl[ \sum_{k=1}^n k^2\ln k -\!\biggl( \frac{n^3}3 +\frac{n^2}2 +\frac n6 \biggr) \!\ln n +\frac{n^3}9 -\frac n{12} \Biggr] \\ \ln A_3 &= \lim_{n\to\infty} \Biggl[ \sum_{k=1}^n k^3\ln k -\!\biggl( \frac{n^4}4 +\frac{n^3}2 +\frac{n^2}4 -\frac1{120} \biggr) \!\ln n +\frac{n^4}{16} -\frac{n^2}{12} \Biggr] \\ \end{aligned} )] |
4. 여담
- 아직까지 글레이셔-킨켈린 상수와 벤더스키-아담칙 상수가 무리수인지 아닌지에 대한 논의는 없는 실정이다.