| 특수함수 Special Functions | ||
| {{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="letter-spacing: -1px" {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px; word-break: keep-all" | [math(^\ast)] 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다. | |
| <colbgcolor=#383B3D> 적분 | 오차함수(error function)(가우스 함수 · 가우스 적분 함수) · 베타 함수(불완전 베타 함수) · 감마 함수(불완전 감마 함수 · 로그 감마 함수) · 타원 적분 · 야코비 타원 함수 · 지수 적분 함수 · 로그 적분 함수 · 삼각 적분 함수 · 쌍곡선 적분 함수 · 프레넬 적분 함수 · 구데르만 함수 | |
| 미분방정식 | 르장드르 함수[math(^\ast)] (구면 조화 함수) · 베셀 함수 · 에르미트 함수 · 라게르 함수 · 에어리 함수 | |
| 역함수 | 브링 근호 · 람베르트 W 함수 · 역삼각함수 | |
| 급수 | 제타 함수 · 후르비츠 제타 함수 · 세타 함수 · 초기하함수 · 폴리로그함수 · 폴리감마 함수 · 바이어슈트라스 타원 함수 | |
| 정수론 | 소수 계량 함수 · 소인수 계량 함수 · 뫼비우스 함수 · 최대공약수 · 최소공배수 · 약수 함수 · 오일러 피 함수 · 폰 망골트 함수 · 체비쇼프 함수 · 바쁜 비버 함수 | |
| 기타 | 헤비사이드 계단 함수 · 부호 함수 · 테트레이션(무한 지수 탑 함수) · 지시함수 · 바닥함수 / 천장함수 · 허수지수함수 · 혹 함수 | |
1. 개요
log gamma function감마 함수와 자연로그의 합성함수. 보통 [math(\ln \Gamma(x))] 또는 [math({\rm Log}\,\Gamma(z))]로 쓰인다.
아래는 [math(y: {\mathbb R} \to {\mathbb C})]의 그래프이다. 적색 선은 해당 함수의 실수부, 청색 선은 해당 함수의 허수부이다.
2. 무한급수 표기
무한급수 표기가 가능하다. 하지만 수렴이 매우 느리다.[math(\displaystyle {\rm Log} \,\Gamma(z) = -\gamma z -{\rm Log}\,z -\sum_{k=1}^\infty \biggl\{ \frac zk -{\rm Log} \biggl( 1+\frac zk \biggr) \!\biggr\})]
[math(\gamma)]는 오일러-마스케로니 상수이다.
3. 미적분
3.1. 도함수
- [math( [{\rm Log}\,\Gamma(z) ]' = \psi(z) = \dfrac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} )]
3.2. 역도함수
- [math(\displaystyle \int {\rm Log}\,\Gamma(z) \,{\rm d}z = \psi^{(-2)}(z) + {\sf const.})]
3.3. 정적분
- [math(\displaystyle \int_0^1 {\rm Log}\,\Gamma(z) \,{\rm d}z = \ln\sqrt{2\pi})]
4. 기타
- 엑셀에서는 이 함수를 GAMMALN이라고 칭한다. 반면에 매스매티카에서는 이 함수를 LogGamma라고 칭한다.
- 이 함수를 이용하면 소프트웨어에서 계산이 불가능한 값도 값이 어느정도인지 추산할 수 있다. 예를 들어서 [math(\Gamma(10000))]은 엑셀의 최대 범위를 넘어가나 [math(\ln\Gamma(10000))]은 약 82099.7175이다.이 값을 [math(ln 10)]으로 나눈 값은 약 35655.45427이다. 밑이 10이고 지수가 약 35655.45427인 실수가 대략적인 [math(\Gamma(10000))]의 값임을 추측할 수 있고 따라서 [math(\Gamma(10000))]이 약 임을 알 수 있다.
- 이곳에 좀 더 많은 정보가 담겨있다.