폰 망골트 함수

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폰 망골트 함수(Von Mangoldt function)는 특수함수의 하나로, [math(ninN)]에 대해 다음과 같이 정의된다.

[math(\displaystyle \Lambda(n) \equiv
\begin{cases}
\ln p & {\sf if} \,\, n=p^k, \,\, p\in\mathbb{P}, \,\, k\in\N \\
0 & {\sf otherwise}
\end{cases} )]

여기서 [math(\mathbb{P})]는 소수 집합이다. 위 정의식을 한 항으로 압축시켜 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[math(\displaystyle
\Lambda(n) \equiv \dfrac{\ln n \cdot \,({\bf1}_{\{1\}} \circ \omega)(n)}{\Omega(n) +{\bf1}_{\{1\}}(n)}
)]

[유도 과정 보기]: -------
우선 소인수가 1개일 경우 1, 소인수가 1개가 아닌 경우 0인 경우를 정의하기 위해 다음과 같은 합성함수를 정의하자.

[math(( {\bf1}_{\{1\}} \circ \omega)(n))]

그리고 결과값을 내놓을 로그함수를 여기에 곱해주자.

[math(\ln n \cdot \,({\bf1}_{\{1\}} \circ \omega)(n))]

위 정의에 따라 소인수가 1개일 경우에만 그 수의 로그값을 얻는다.

그런데 이 정의에는 문제가 있다. [math(\omega(n))]은 소인수의 제곱수에서도 1의 값을 띠기 때문이다. 이때, 로그의 성질에 의해 [math(\ln a^b = b \ln a)]가 성립하므로, 소인수 멱수 계량 함수를 나누어서 상쇄시킬 수 있다.

[math(\dfrac{\ln n \cdot \,({\bf1}_{\{1\}} \circ \omega)(n)}{\Omega(n)})]

여기까지 봐서는 큰 문제가 없는 듯하지만, [math(\Omega(n)=0)]을 만족하는 자연수가 존재한다. 다름아닌 1로, 위 식에 1을 대입하면

[math(\dfrac{\ln1 \cdot \,({\bf1}_{\{1\}} \circ \omega)(1)}{\Omega(1)} = \dfrac00)]

의 부정형이 되어 잘 정의된 함수가 아니다.[1]

그런데 부정형을 만드는 자연수는 1뿐이므로, 분모에 위에서 정의한 판별 함수를 더해주면 1에서도 잘 정의됨을 알 수 있다.

[math(\dfrac{\ln1 \cdot \,({\bf1}_{\{1\}} \circ \omega)(1)}{\Omega(1) +{\bf1}_{\{1\}}(1)} = \dfrac01 = 0)]

최종적으로 폰 망골트 함수의 정의는 이렇게 유도된다.

[math(\displaystyle \Lambda(n) \equiv \dfrac{\ln n \cdot \,({\bf1}_{\{1\}} \circ \omega)(n)}{\Omega(n) +{\bf1}_{\{1\}}(n)})]

위에서 [math(\omega)], [math(\Omega)]는 소인수 계량 함수, [math({\bf1}_{\{1\}})]는 소인수가 하나인 수만을 취하기 위한 1만을 원소로 갖는 집합의 지시함수이다. 분모의 [math({\bf1}_{\{1\}}(n))]은 [math(Omega(n)=0)][2]인 상황에서도 잘 정의하기 위한 것이다.

정의에 따라 소수이거나 소수의 거듭제곱으로 정의된 수인 경우 해당 소인수의 자연로그값을 띠며[3], 나머지 경우에는 [math(0)]이다.

[1] 여기에 로피탈의 정리를 갖다 붙이려는 사람이 있을 수 있는데, 정의에 사용한 [math({\bf1}_{\{1\}}(n), \omega(n), \Omega(n))] 모두 도함수가 없기 때문에 로피탈의 정리를 쓸 수가 없다.[2] [math(\Omega(n)=0)]를 만족하는 자연수는 딱 하나 있다. 다름 아닌 [math(1)].[3] 예컨대 [math(\Lambda(2)=\Lambda(4)=\Lambda(8)=\cdots=\Lambda(2^n)=\ln 2)]가 성립한다.

폰 망골트 함수

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