| 특수함수 Special Functions | ||
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1. 정의
beta function베타 함수는 감마 함수와 밀접한 관련이 있는 이변수함수로, [math(\Beta(x,y))]로 표기하며 정의는 다음과 같다. 단, [math(x)]와 [math(y)]는 [math(operatorname{Re}(x);)][math(>0)]와 [math(\operatorname{Re}(y)>0)]를 만족하는 복소수이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\Beta(x, y) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} \,{\rm d}t
\end{aligned} )]
2. 성질
- 베타 함수는 대칭함수[1]이다. 즉, [math(\Beta(x,y) = \Beta(y,x))]이다. (단, [math(\operatorname{Re}(x)>0)], [math(\operatorname{Re}(y)>0)])
[math(\displaystyle \int_0^a f(x) \,{\rm d}x = \int_0^a f(a-x) \,{\rm d}x)]가 성립하므로
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\Beta(x,y) &= \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} \,{\rm d}t \\
&= \int_0^1 (1-t)^{x-1} (1-(1-t))^{y-1} \,{\rm d}t \\
&= \int_0^1 t^{y-1} (1-t)^{x-1} \,{\rm d}t \\
&= \Beta(y,x)
\end{aligned} )]
}}}||
- 다음 식이 성립한다. (단, [math(\operatorname{Re}(x)>0)], [math(\operatorname{Re}(y)>0)])
\Beta(x,y) = \int_0^\infty \!\frac{t^{y-1}}{(1+t)^{x+y}} \,{\rm d}t = \int_0^\infty \!\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}} \,{\rm d}t
\end{aligned} )]}}}||
[math(t = \dfrac1{1+u})]로 치환하면 [math({\rm d}t = \dfrac{-1}{(1+u)^2} \,{\rm d}u)]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\Beta(x,y) &= \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} \,{\rm d}t \\
&= \int_\infty^0 \biggl( \frac1{1+u} \biggr)^{\!x-1} \biggl( 1-\frac1{1+u} \biggr)^{\!y-1} \dfrac{-1}{(1+u)^2} \,{\rm d}u \\
&= \int_0^\infty \!\frac1{(1+u)^{x-1}} \frac{u^{y-1}}{(1+u)^{y-1}} \dfrac1{(1+u)^2} \,{\rm d}u \\
&= \int_0^\infty \!\frac{u^{y-1}}{(1+u)^{x+y}} \,{\rm d}u \\
&= \int_0^\infty \!\frac{t^{y-1}}{(1+t)^{x+y}} \,{\rm d}t \qquad \blacksquare
\end{aligned} )]
또한, [math(\Beta(x,y) = \Beta(y,x))]이므로 다음도 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_0^\infty \!\frac{t^{y-1}}{(1+t)^{x+y}} \,{\rm d}t = \int_0^\infty \!\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}} \,{\rm d}t \qquad \blacksquare
\end{aligned} )]
}}}||
- 베타 함수는 감마 함수와 밀접한 관련이 있다. (단, [math(\operatorname{Re}(x)>0)], [math(\operatorname{Re}(y)>0)])
{{{#!wiki style="text-align:center"
[math(\displaystyle
\Beta(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
)]}}}
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\Gamma(x) \Gamma(y) &= \int_0^\infty \!e^{-t} t^{x-1} \,{\rm d}t \int_0^\infty \!e^{-u} u^{y-1} \,{\rm d}u \\
&\qquad {\sf Let}: t=uw \quad \Rightarrow \quad {\rm d}t = u\,{\rm d}w \\
&= \int_0^\infty \!e^{-uw} (uw)^{x-1} u\,{\rm d}w \int_0^\infty \!e^{-u} u^{y-1} \,{\rm d}u \\
&= \int_0^\infty \!w^{x-1} \biggl( \int_0^\infty \!e^{-u(w+1)} u^{x+y-1} \,{\rm d}u \biggr) {\rm d}w \\
&\qquad {\sf Let}: u = \frac t{w+1} \quad \Rightarrow \quad {\rm d}u = \frac{{\rm d}t}{w+1} \\
&= \int_0^\infty \!w^{x-1} \biggl( \int_0^\infty \!e^{-t} \frac{t^{x+y-1}}{(w+1)^{x+y-1}} \,\frac{{\rm d}t}{w+1} \biggr) {\rm d}w \\
&= \int_0^\infty \!\frac{w^{x-1}}{(w+1)^{x+y}} \biggl( \int_0^\infty \!e^{-t} t^{x+y-1} \,{\rm d}t \biggr) {\rm d}w \\
&= \int_0^\infty \!\frac{w^{x-1}}{(w+1)^{x+y}} \,{\rm d}w \int_0^\infty \!e^{-t} t^{x+y-1} \,{\rm d}t \\
&= \Beta(x,y) \,\Gamma(x+y) \\
\therefore \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} &= \Beta(x,y)
\end{aligned} )]
\Gamma(x) \Gamma(y) &= \int_0^\infty \!e^{-t} t^{x-1} \,{\rm d}t \int_0^\infty \!e^{-u} u^{y-1} \,{\rm d}u \\
&\qquad {\sf Let}: t=uw \quad \Rightarrow \quad {\rm d}t = u\,{\rm d}w \\
&= \int_0^\infty \!e^{-uw} (uw)^{x-1} u\,{\rm d}w \int_0^\infty \!e^{-u} u^{y-1} \,{\rm d}u \\
&= \int_0^\infty \!w^{x-1} \biggl( \int_0^\infty \!e^{-u(w+1)} u^{x+y-1} \,{\rm d}u \biggr) {\rm d}w \\
&\qquad {\sf Let}: u = \frac t{w+1} \quad \Rightarrow \quad {\rm d}u = \frac{{\rm d}t}{w+1} \\
&= \int_0^\infty \!w^{x-1} \biggl( \int_0^\infty \!e^{-t} \frac{t^{x+y-1}}{(w+1)^{x+y-1}} \,\frac{{\rm d}t}{w+1} \biggr) {\rm d}w \\
&= \int_0^\infty \!\frac{w^{x-1}}{(w+1)^{x+y}} \biggl( \int_0^\infty \!e^{-t} t^{x+y-1} \,{\rm d}t \biggr) {\rm d}w \\
&= \int_0^\infty \!\frac{w^{x-1}}{(w+1)^{x+y}} \,{\rm d}w \int_0^\infty \!e^{-t} t^{x+y-1} \,{\rm d}t \\
&= \Beta(x,y) \,\Gamma(x+y) \\
\therefore \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} &= \Beta(x,y)
\end{aligned} )]
}}}||
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\Gamma(x)\Gamma(y) &= \int_0^\infty \!e^{-s} s^{x-1} \,{\rm d}s \int_0^\infty \!e^{-t} t^{y-1} {\rm d}t \\
&= \int_0^\infty \!\int_0^\infty \!s^{x-1} t^{y-1} e^{-s-t} \,{\rm d}s \,{\rm d}t
\end{aligned} )]
\Gamma(x)\Gamma(y) &= \int_0^\infty \!e^{-s} s^{x-1} \,{\rm d}s \int_0^\infty \!e^{-t} t^{y-1} {\rm d}t \\
&= \int_0^\infty \!\int_0^\infty \!s^{x-1} t^{y-1} e^{-s-t} \,{\rm d}s \,{\rm d}t
\end{aligned} )]
여기서 [math(s=uv)], [math(t=u(1-v))]라 하자. 그러면 [math(v = \dfrac s{s+t})]이므로 [math(0\le v\le1)]이고, [math(u=s+t)]이므로 [math(0\le u<\infty)]이다. 그리고 [math({\rm d}s \,{\rm d}t)]는 아래와 같이 야코비안 [math(J)]에 의해 [math(u \,{\rm d}u \,{\rm d}v)]로 바뀐다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
{\rm d}s \,{\rm d}t &= J \,{\rm d}u \,{\rm d}v = \biggl| \frac{\partial(s,t)}{\partial(u,v)} \biggr| \,{\rm d}u \,{\rm d}v = \begin{Vmatrix} \dfrac{\partial s}{\partial u} & \dfrac{\partial s}{\partial v} \\\\ \dfrac{\partial t}{\partial u} & \dfrac{\partial t}{\partial v} \end{Vmatrix} {\rm d}u \,{\rm d}v \\
&= \begin{Vmatrix} v&u\\1-v&-u \end{Vmatrix} {\rm d}u \,{\rm d}v = |(-uv) - u(1-v)| \,{\rm d}u \,{\rm d}v \\
&= |-u| \,{\rm d}u \,{\rm d}v = u \,{\rm d}u \,{\rm d}v
\end{aligned} )]
따라서 위 정적분은 다음과 같이 진행 가능하다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\Gamma(x) \Gamma(y) &= \int_0^\infty \!\int_0^\infty \!s^{x-1} t^{y-1} e^{-s-t} \,{\rm d}s \,{\rm d}t \\
&= \int_0^1 \int_0^\infty \!(uv)^{x-1} (u(1-v))^{y-1} e^{-u} u \,{\rm d}u \,{\rm d}v \\
&= \int_0^1 \int_0^\infty \!v^{x-1} (1-v)^{y-1} e^{-u} u^{x+y-1} \,{\rm d}u \,{\rm d}v \\
&= \int_0^1 v^{x-1} (1-v)^{y-1} \,{\rm d}v \int_0^\infty \!e^{-u} u^{x+y-1} \,{\rm d}u \\
&= \Beta(x,y) \,\Gamma(x+y) \\
\therefore \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} &= \Beta(x,y)
\end{aligned} )]
}}}||
[math(x)]와 [math(y)]가 각각 자연수 [math(m)]과 [math(n)]이라고 하면, 감마 함수와 계승의 관계에 따라 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align:center"
{{{#!wiki style="text-align:center"
[math(\displaystyle
\Beta(m,n) = \frac{(m-1)! \cdot (n-1)!}{(m+n-1)!}
)]}}}
[math(x)]와 [math(y)]가 자연수일 때에 한정한 증명이다. [math(x=m)], [math(y=n)]이라고 하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\Beta(x, y) &= \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} \,{\rm d}t \\
\Rightarrow \Beta(m,n) &= \Beta(n,m) = \int_0^1 t^{n-1} (1-t)^{m-1} \,{\rm d}t \\
&= \biggl[ \frac{t^n}n (1-t)^{m-1} \biggr]_0^1 -\!\int_0^1 \frac{t^n}n (-(m-1)(1-t)^{m-2}) \,{\rm d}t \\
&= \frac{m-1}n \int_0^1 t^n (1-t)^{m-2} \,{\rm d}t = \frac{m-1}n \,\Beta(n+1,m-1) \\
&= \frac{m-1}n \,\Beta(m-1,n+1) \\
&= \frac{(m-1)(m-2)}{n(n+1)} \,\Beta(m-2,n+2) \\
&= \cdots \\
&= \frac{(m-1)(m-2)\cdots2\cdot1}{n(n+1)\cdots(n+m-3)(n+m-2)} \,\Beta(1,n+m-1) \\
&= \frac{(m-1)!}{n(n+1)\cdots(n+m-3)(n+m-2)} \int_0^1 t^{n+m-2} \,{\rm d}t \\
&= \frac{(m-1)!}{n(n+1)\cdots(n+m-3)(n+m-2)} \biggl[ \frac{x^{n+m-1}}{n+m-1} \biggr]_0^1 \\
&= \frac{(m-1)!}{n(n+1)\cdots(n+m-3)(n+m-2)(n+m-1)} \\
&= \frac{(n-1)!}{(n-1)!} \cdot \frac{(m-1)!}{n(n+1)\cdots(n+m-3)(n+m-2)(n+m-1)} \\
&= \frac{(n-1)! \cdot (m-1)!}{(n+m-1)!} \\
&= \frac{(m-1)! \cdot (n-1)!}{(m+n-1)!}
\end{aligned} )]
\Beta(x, y) &= \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} \,{\rm d}t \\
\Rightarrow \Beta(m,n) &= \Beta(n,m) = \int_0^1 t^{n-1} (1-t)^{m-1} \,{\rm d}t \\
&= \biggl[ \frac{t^n}n (1-t)^{m-1} \biggr]_0^1 -\!\int_0^1 \frac{t^n}n (-(m-1)(1-t)^{m-2}) \,{\rm d}t \\
&= \frac{m-1}n \int_0^1 t^n (1-t)^{m-2} \,{\rm d}t = \frac{m-1}n \,\Beta(n+1,m-1) \\
&= \frac{m-1}n \,\Beta(m-1,n+1) \\
&= \frac{(m-1)(m-2)}{n(n+1)} \,\Beta(m-2,n+2) \\
&= \cdots \\
&= \frac{(m-1)(m-2)\cdots2\cdot1}{n(n+1)\cdots(n+m-3)(n+m-2)} \,\Beta(1,n+m-1) \\
&= \frac{(m-1)!}{n(n+1)\cdots(n+m-3)(n+m-2)} \int_0^1 t^{n+m-2} \,{\rm d}t \\
&= \frac{(m-1)!}{n(n+1)\cdots(n+m-3)(n+m-2)} \biggl[ \frac{x^{n+m-1}}{n+m-1} \biggr]_0^1 \\
&= \frac{(m-1)!}{n(n+1)\cdots(n+m-3)(n+m-2)(n+m-1)} \\
&= \frac{(n-1)!}{(n-1)!} \cdot \frac{(m-1)!}{n(n+1)\cdots(n+m-3)(n+m-2)(n+m-1)} \\
&= \frac{(n-1)! \cdot (m-1)!}{(n+m-1)!} \\
&= \frac{(m-1)! \cdot (n-1)!}{(m+n-1)!}
\end{aligned} )]
}}}||
- 베타 함수는 분모와 분자의 위치를 바꾸어 이항계수를 복소수 범위로 확장한 것이라 볼 수 있다. 따라서 다음이 성립한다.
- [math(\Beta(n-k+1, k+1) = \!\left[(n+1)\dbinom nk \!\right]^{-1} = \dfrac1{(n+1)\,{}_n{\rm C}_k})]
증명은 이항정리 문서의 일반화된 이항계수와 뉴턴의 이항정리 문단 참고. - [math(\Beta(x, p) = \dfrac{p-1}{x+p-1} \,\Beta(x, p-1))]
- [math(t)]를 삼각함수로 치환하면, 다음과 같은 꼴이 나타난다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle {\rm B}(x,\,p)=2\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2x-1}{\theta}\cos^{2p-1}{\theta}\,{\rm d}\theta )] }}}
즉, 삼각함수의 적분을 유용하게 나타낼 수 있는 수단이 된다.
- 특수한 경우로 [math(x+p=1)]을 만족시키면 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle {\rm B}(x,\,1-x)=\frac{\pi}{\sin{\pi x}} )] }}}
이것은 베타 함수를 감마 함수로만 바꾸어 증명할 수 있다.
3. 일반화
베타 함수의 정의식은 적분의 상한이 1이다. 이때, 상한을 1이 아닌 상수로 두면 불완전 베타 함수가 된다. 이 함수에 대한 자세한 정보는 해당 문서를 참고하라.4. 함숫값
- [math(\Beta(1,1) = 1)]
- [math(\Beta \biggl( \dfrac12, \dfrac12 \biggr) \!= \pi)]
5. 고등학교 교육과정에서의 활용
| [math(displaystyle begin{aligned} int_alpha^beta (x-alpha)^m (x-beta)^n ,{rm d}x &= dfrac{(-1)^ncdot m!cdot n!}{(m+n+1)!}(beta-alpha)^{m+n+1}end{aligned})] [math(\begin{aligned}\int_0^{\pi/2} \sin^{2m} \theta \cos^{2n+1} \theta \,{\rm d}\theta &= \int_0^{\pi/2} \sin^{2n+1} \theta \cos^{2m} \theta \,{\rm d}\theta \\&= \frac{4^n}{2m+2n+1} \frac{\displaystyle \binom{m+n}{n}}{\displaystyle \binom{2m+2n}{2n} \binom{2n}{n}} \\ \\ \int_0^{\pi/2} \sin^{2m} \theta \cos^{2n} \theta \,{\rm d}\theta &= \frac{\pi}{2^{2m+2n+1}} \frac{\displaystyle \binom{2m}{m} \binom{2n}{n}}{\displaystyle \binom{m+n}{n}} \\ \\ \int_0^{\pi/2} \tan^p \theta \,{\rm d}\theta &= \int_0^{\pi/2} \cot^p \theta \,{\rm d}\theta = \frac\pi2 \sec {\left( \frac\pi2 p \right)} \quad (| p | < 1) \\ \\ \int_0^\infty \frac1{x^k+1} \,{\rm d}x &= \frac{\pi/k}{\sin{(\pi/k)}} \quad (k>1) \\ \\ \int_0^1 \left( \frac1t -1 \right)^x \,{\rm d}t &= \frac{\pi x}{\sin \pi x} \end{aligned} )] |
[1] 변수의 교환에 대해 불변인 함수