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1. 개요
Gaussian integral · 가우스 積分가우스 함수[1] [math(f(x)=e^{-x^{2}})]의 실수 전체값에 대한 이상적분이며, 그 값은 아래와 같다.
[math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x=\sqrt{\pi} )]
2. 상세
2.1. 값 유도
2.1.1. 방법 1: 극좌표계 변환
위 적분의 값은 극좌표계를 통한 적분으로 구할 수 있다. 우선적으로 다음과 같은 중적분을 고려하자.[math(\displaystyle \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x \biggr)\biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^{2}}\,{\rm d}y \biggr) =\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}e^{-y^{2}}\,{\rm d}x{\rm d}y )]
그런데, [math(x)], [math(y)]는 적분 시 사라지는 더미변수로써 위 값은
[math(\displaystyle \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x \biggr)\biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^{2}}\,{\rm d}y \biggr)=\biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x \biggr)^{2} )]
으로 생각할 수 있다. 적분을 간단히하면,
[math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^{2}+y^{2})}\,{\rm d}x{\rm d}y )]
이것을 극좌표계로 변환하면, [math({\rm d}x{\rm d}y \to r\, {\rm d}r {\rm d}\theta)], [math(x^2+y^2 \to r^{2})]으로 쓸 수 있고, 적분 구간은 [math(r)]이 [math([0, ∞))], [math(\theta)]가 [math([0, 2\pi])]가 됨에 따라
[math(\displaystyle \begin{aligned} &\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} r e^{-r^{2}}\,{\rm d}r {\rm d}\theta \\&= \int_{0}^{2\pi} {\rm d}\theta \int_{0}^{\infty} r e^{-r^{2}}\,{\rm d}r \end{aligned} )]
이 때, [math(s=-r^2)]으로 치환하면[다른풀이] [math({\rm d}r \to -{{\rm d}s}/{2r})]로 쓸 수 있고, 적분 구간은 [math([0, \,-\infty))]가 됨에 따라
[math(\displaystyle \begin{aligned} &\int_{0}^{2\pi} {\rm d}\theta \int_{0}^{-\infty} -\frac{1}{2} e^s \,{\rm d}s \\ &\int_{0}^{2\pi} {\rm d}\theta \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{2} e^s \,{\rm d}s \\ &=2\pi \biggl[ \frac{e^x}{2} \biggr]_{-\infty}^{0} \\ &=2\pi \biggl(\frac{1}{2}-0 \biggr) \\&=\pi \end{aligned} )]
이상에서
[math(\displaystyle \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x \biggr)^{2} =\pi )]
임에 따라
[math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x=\sqrt{\pi} )]
이 증명된다. 적분값을 양수로 취하는 것은 모든 실수 [math(x)]에 대하여 [math(f(x)=e^{-x^2}>0)]이어서 정적분의 값 또한 양수이어야 하기 때문이다.
마지막으로 [math(f(x)=e^{-x^2})]에 대하여 [math(f(x)=f(-x))][3]가 성립하므로
[math(\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x=\int_{-\infty}^{0} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x=\frac{\sqrt{\pi}}{2} )]
가 된다.
2.1.2. 방법 2: 기하학적 방법[4]
함수 [math(f(x)=e^{-x^2})]을 [math(y)]축을 회전축으로 하여 회전하면 곡면 [math(f(x,\,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})})]을 얻는다. 이 곡면과 [math(xy)]평면으로 둘러싸인 영역의 부피를 구해보자. 이때, [math(0<e^{-x^{2}} \leq 1)]임을 상기하고,[math(\displaystyle e^{-x^2}=y \quad \to \quad [x(y) ]^{2}=-\ln{y} )]
로 부터 회전체의 부피 공식을 사용하면,
[math(\displaystyle \pi \int_{0}^{1} [x(y) ]^{2}\,{\rm d}y=\pi )]
로 구해진다. 한편, 곡면 [math(z=f(x,\,y))]를 평면 [math(x=a)]로 잘라서 생기는 단면의 넓이를 적분해서도 구할 수 있으며, 그 단면의 넓이를 우선적으로 구하면,
[math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(y^2+a^2)}\,{\rm d}y=e^{-a^2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,{\rm d}y )]
이제 이 면적을 [math(a)]에 대해 적분하면,
[math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a^2} \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,{\rm d}y \biggr) {\rm d}a= \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a^2}\,{\rm d}a \biggr) \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,{\rm d}y \biggr) )]
그런데 [math(y)], [math(a)]는 각각 적분 시 상쇄되는 더미변수로서 이 값을
[math(\displaystyle \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a^2}\,{\rm d}a \biggr) \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,{\rm d}y \biggr)=\biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,{\rm d}y \biggr)^{2} )]
으로 생각해도 무방하다.
이상에서 해당 값과 회전체의 부피 공식을 이용해서 구한 부피는 같아야 하므로
[math(\displaystyle \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,{\rm d}y \biggr)^{2}=\pi )]
이에 방법 1과 같은 결과를 얻었음을 알 수 있다.
2.2. 오차함수(error function)
다음과 같은 함수를 고려해보도록 하자.[math(\displaystyle F(t)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-t^{2}} )]
이때,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{\infty} F(t)\,{\rm d}t=1 \end{aligned} )]
으로 규격화시킬 수 있고, 이때 적분의 상한을 변수로 한 함수
[math(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\,{\rm d}t := \mathrm{erf}(x) )]
을 오차함수(error function)라 정의한다. 자세한 사항은 해당 문서를 참고하자.
2.3. 연관된 적분
가우스 적분을 통하여 유도할 수 있다. 단, [math(a)]는 [math(a>0)]인 상수이고, [math(n)], [math(m)]은 자연수이다.- [math(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2} \,{\rm d}x = \sqrt{\frac{\pi}a})]
- [math(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2+bx} \,{\rm d}x = e^{b^2/4a} \sqrt{\frac{\pi}a})]
- [math(\displaystyle \int_0^\infty x^{2n}e^{-ax^2} \,{\rm d}x = \dfrac{Γ(2n)}{2^{n+1}a^n} \sqrt{\dfrac{\pi}a})]
- [math(\displaystyle \int_0^\infty x^{2n-1}e^{-ax^2} \,{\rm d}x = \dfrac{Γ(n)}{2a^n})]
조금 더 심화된 적분으로는 다음이 있다.
- [math(\displaystyle \int_0^\infty x^{n-1} e^{-ax^m} \,{\rm d}x = \dfrac1m a^{-n/m} \,\Gamma \Bigl( \frac nm \Bigr) )]
[math(ax^m=t)]
로 치환하자. 그러면
[math(x = a^{-\frac1m} t^{\frac1m} )]
이고
[math({\rm d}x = \dfrac1m a^{-\frac1m} t^{\frac1m-1}\, {\rm d}t)]
이다. 이를 위의 정적분에 대입하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_0^\infty x^{n-1} e^{-ax^m} \,{\rm d}x &= \int_0^\infty a^{-\frac{n-1}m} t^{\frac{n-1}m} e^{-t} \cdot \frac1m a^{-1/m} t^{\frac1m-1} {\rm d}t \\
&= \frac1m a^{-\frac{n-1}m} a^{-1/m} \int_0^\infty e^{-t} t^{\frac{n-1}m} t^{\frac1m-1} {\rm d}t \\
&= \frac1m a^{-n/m} \int_0^\infty e^{-t} t^{\frac nm-1} {\rm d}t \\
&= \frac1m a^{-n/m} \Gamma \Bigl( \frac nm \Bigr)
\end{aligned} )]
}}}||
3. 기타
- 정규분포를 다룰 때 나오는 중요한 적분이다.
- 양자역학에서 간간히 등장하는 적분이다.
- 프레넬 적분법을 이용하여 [math(\sin{x^2})], [math(\cos{x^2})]를 적분할때 쓰인다.
- 어도비 포토샵의 흐림 효과 중 하나인 '가우시안 흐림 효과'에 이 적분법이 쓰인다. 포토샵 보정에서 애용된다.
- 앞서 제시된 극좌표계 변환을 이용한 증명이 표현된 영상이다.
4. 관련 문서
[1] 여기서는 정규분포를 말한다. 입말로 최대 정수 함수를 '가우스 함수'로 칭하곤 하기 때문에 혼동이 있다.[다른풀이] [math(r e^{-r^{2}}= \dfrac{\rm{d}}{\rm{d}\it{r}}\biggl( -\dfrac{1}{2}e^{-r^{2}}\biggr))]로 치환하면 미분과 적분이 만나 사라지고, 구간 값만 대입하여 [math(\dfrac{1}{2})]을 얻을 수 있다.[3] 즉, [math(f(x))]는 짝함수(우함수; even function)임을 알 수 있다.[4] 출처