사건(확률론)

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1. 개요2. 표본공간3. 종류

3.1. 곱사건3.2. 공사건3.3. 독립사건3.4. 배반사건3.5. 여사건3.6. 영사건3.7. 전사건3.8. 합사건

1. 개요

事件 · Event

간단히는, 실험이나 시행(試行, Experiment)에서 일어날 수 있는 결과.

동일한 조건을 가지고서 실험을 반복했을 때, 일어날 수 있는 모든 결과들의 집합을 표본공간(sample space)이라 하고 이를 그리스 문자 [math(\Omega)]로 표기하는데, 그러면 사건(event)이란 '전체 표본공간 [math(\Omega)] 중에서 전체 또는 일부를 모은 집합'이라고 할 수 있다. 일반적으로 어떤 사건이 일어나지 않을 확률은 1에서 그 사건이 일어날 확률을 빼서 구한다.

2. 표본공간

標本空間 · Sample space

어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 경우를 [math(e_1)], [math(e_2)], [math(…)]로 나타낼 때, 집합 [math(\{e_1, e_2, …\})]를 그 시행의 표본공간이라 한다.

3. 종류

가나다순으로 정렬한다. 합사건과 곱사건처럼 함께 설명해야 좋은 개념들이 있지만, 목차나 Ctrl+F로 원하는 내용을 찾아 읽기 바란다.

3.1. 곱사건

곱事件 · Product event

둘 이상의 사건이 동시에 일어나는 사건을 해당 사건들의 곱사건이라고 한다. 사건 [math(A)]와 사건 [math(B)]의 곱사건은 기호로 [math(A\cap{B})]로 나타내며, 기호로는 '캡(cap)'이라고 읽는다. 교집합에 해당한다.

3.2. 공사건

空事件 · Empty event

어떤 시행에서, 시행 결과로 나올 수 없는 사건. '정육면체 주사위를 던졌을 때 7의 눈이 나올 사건'은 공사건이다. 공사건은 공집합 기호 [math(\emptyset)]으로 나타낸다. 공사건이 일어날 확률은 0이지만, 확률이 0이라고 무조건 공사건은 아니며 그러한 사건들은 밑의 영사건에 들어간다. 이에 대해서는 후술. 공사건의 여사건은 전사건이다. 공집합에 해당한다.

3.3. 독립사건

獨立事件 · Independent event

독립사건이란, 어떤 한 사건이 발생했을 때 이 사건이 이후의 다른 사건이 일어날 확률에 영향을 주지 않는 것을 말한다. 확률적으로 각각의 사건들이 서로 독립적으로 발생하는 것이다.

예시로 주사위 던지기가 있다. 주사위를 2번 던지는 게임을 가정할 때, 첫 번째 주사위에서 4가 나왔다고 해서 다음 번 주사위의 특정 눈이 나올 확률이 달라지지 않는다. 즉, 앞선 사건이 뒤의 사건에 아무런 영향을 주지 않는 독립사건이다.

3.4. 배반사건

排反事件 · Exclusive event

두 개의 사건이 동시에 일어날 수 없으면 그 두 사건은 서로 배반사건이다. 곧, 배반사건들은 한쪽이 일어날 때 다른 쪽이 절대 일어나지 않는 관계에 있다. 이에 따라 두 사건 중 적어도 하나가 공사건이면 두 사건은 배반사건이다. 서로소이기에, 사건 A 또는 사건 B가 일어날 확률을 구한다면, 두 확률을 더하면 된다. 두 사건 중 하나가 일어나면 나머지 하나는 절대로 일어나지 않기 때문에, 모든 배반사건은 극단적으로 명백한 종속사건이다. 독립사건과는 전혀 다른 이야기이며, 배반사건과 독립사건은 절대로 양립할 수 없다. 즉 배반사건과 독립사건을 연관지은 내용은 깊게 따질 필요도 없는, 무조건 틀린 문장이다. 물론 두 사건이 모두 공사건이라면 얘기가 달라지겠지만, 일반적으로 사건의 독립, 종속 여부는 공사건에 대해서는 따지지 않는다.

'정육면체 주사위를 던졌을 때 1의 눈이 나올 사건'과 '정육면체 주사위를 던졌을 때 2의 눈이 나올 사건'은 배반사건이다. 배반사건인 두 사건이 동시에 일어날 사건은 공사건이고, 일어날 확률은 0이다.

'의리를 저버림'의 뜻인 '배반(背反/背叛)'과는 한자가 다르다. ~~그런데 서로 배반했기 때문에 같이 일어날 수 없는 사건이라고 생각하고 외우는 사람들이 많다~~

3.5. 여사건

餘事件 · Complementary event

특정 사건이 발생하지 않을 사건. 곧, 사건 [math(A)]의 여사건이란 '사건 [math(A)]가 일어나지 않는 사건'이다. '[math(A)]의 여사건'은 기호 [math(\complement A)][1], [math(A^c)], [math(\bar{A})] 등으로 나타낸다. 여집합에 해당한다.

어떤 사건과 그 사건의 여사건은 동시에 일어날 수 없으므로 서로 배반사건이다. 곧, 여사건은 배반사건의 부분집합이며, 배반사건의 특수한 경우에 해당한다. 위에서 예를 든 '정육면체 주사위를 던졌을 때 1의 눈이 나올 사건'과 '정육면체 주사위를 던졌을 때 2의 눈이 나올 사건'과 같이, 서로 배반사건인 두 사건이 모두 일어나지 않을 확률이 0이라는 보장이 없으나[2] 서로 여사건인 두 사건 [math(A)]와 [math(\complement A)]가 모두 일어나지 않을 확률은 무조건 0이다. 즉, 어떤 사건과 그 여사건은 동시에 일어날 수도 없고, 동시에 일어나지 않을 수도 없다. 즉, 둘 중 반드시 하나만이 일어난다.

3.6. 영사건

零事件 · Null event

일어날 확률이 [math(0)]인 사건. 영사건의 예로는 무작위로 선택되는 '[math(0\leq{x}\leq{1})]인 임의의 실수 [math(x)]가 무엇인지 맞힐 사건', '0과 1 사이의 실수에서 유리수를 뽑는 사건' 등이 있다. 얼핏 공사건과 같아 보이지만 공사건은 영사건의 부분집합이다. 곧, 공사건은 영사건이지만 영사건이 꼭 공사건인 것은 아니다. 상술했던 두 사건이 반례.

3.7. 전사건

全事件 · Total event

실험이나 시행에서 일어날 수 있는 모든 사건. 이를테면, '자연수를 임의로 골랐을 때 홀수 또는 짝수가 나올 사건' 이렇게 6개의 사건은 전사건이다. 전사건이 일어날 확률은 1이며, 전사건의 여사건은 공사건이다. 전체집합에 해당한다.

확률이 1이지만 전사건이 아닌 사건을 뜻하는 별도의 용어는 없다. 굳이 쓰자면 영사건의 여사건이라고 할 수 있다. ~~혹은 일사건~~

3.8. 합사건

合事件 · Sum event

어떤 두 사건이 있을 때, 한 사건 또는 또 다른 사건이 일어나는 사건을 두 사건의 합사건이라고 한다. 사건 [math(A)]와 사건 [math(B)]의 합사건은 기호로 [math(A\cup B)]로 나타낸다. 기호로는 '컵(cup)'이라고 읽는다. 합집합에 해당한다.

[1] 전체집합이 표본공간임을 명시하는 [math(\complement_{\Omega} A)]로 표기하기도 한다.[2] 예시에서는 '정육면체를 주사위를 던졌을 때 3 또는 4 또는 5 또는 6의 눈이 나올 사건'이 되므로, 확률은 [math(\displaystyle\frac{4}{6}=\frac{2}{3})]가 된다.