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1. 정의
체비쇼프 함수(Chebyshëv function)는 소수와 관련된 두 가지 특수함수로, 제1종 체비쇼프 함수 [math(\vartheta(x))]와 제2종 체비쇼프 함수 [math(\psi(x))]가 있으며 정의는 다음과 같다.[math(\displaystyle \begin{aligned}
\vartheta(x) &\equiv \sum_{p\le x} \ln p = \sum_{n=1}^{\lfloor x\rfloor} \bold{1}_{\mathbb{P}}(n) \ln n \\ \psi(x) &\equiv \sum_{p^k\le x} \ln p = \sum_{n=1}^{\lfloor x\rfloor} \Lambda(n) \qquad (k\in\N)
\end{aligned} )]
위에서 [math(p)]는 소수, [math(\bold{1}_{\mathbb{P}}(n))]은 지시함수, [math(\Lambda(n))]은 폰 망골트 함수, [math(\lfloor x\rfloor)]는 바닥함수이다.
정의대로 제1종 체비쇼프 함수는 소수의 자연로그값을 합하며, 제2종 체비쇼프 함수는 소수와 소수의 거듭제곱수의 소인수 자연로그값을 합한다.[1]
함수 표기에 주의할 필요가 있다. 각각 세타 함수[2]와 디감마 함수와 겹치기 때문에, 사전에 이것이 체비쇼프 함수라고 알려주어야 혼동이 없다.
2. 소수 계승
소수 계승(primorial[3][4])은 다음과 같이 정의되는 함수이다.[math(\displaystyle \begin{aligned}
n\# = e^{\vartheta(n)} = \prod_{p\leq n, \,p\,\in\,{\mathbb P}} p
\end{aligned} )]
즉, 소수 계승 [math(n\#)]은 자연수 [math(n)] 이하의 모든 소수를 곱한 값이다.
소수 정리에 의해, 체비쇼프 함수는 [math(\lim\limits_{n\to\infty} \vartheta(n)/n = 1)]을 만족시킨다. 따라서 양 변에 [math(\rm exp)] 함수[5]를 취하면 소수 계승은 [math(\lim\limits_{n\to\infty} (n\#)^{1/n} = e)]를 만족시킨다.
2.1. 리만 제타 함수와의 관계
[math(p_n)]을 [math(n)]번째 소수라고 하자. 소수 계승은 [math(s=2, 3, \cdots)]일 때 다음과 같은 리만 제타 함수와의 관계를 만족시킴이 알려져 있다.[math(\displaystyle \begin{aligned}
\zeta(s) &= \frac{2^s}{2^s-1} +\sum_{n=2}^\infty \frac{(p_{n-1}\#)^s}{J_s(p_n\#)} \qquad \cdots(1) \\
J_s(n) &= n^s \prod_{p|n} \biggl( 1-\frac1{p^s} \biggr)
\end{aligned} )]
여기서 [math(J_s)]는 Jordan's totient function이라고 부른다. [math(s=1)]일 때 [math(J_s)]는 오일러 파이 함수와 같아진다.
[math(s=1)]이면 좌변 [math(\zeta(s))]는 당연히 양의 무한대로 발산하고, 우변 또한 양의 무한대로 발산한다. [math(s=1)]일 때 우변이 발산한다는 사실은 다음과 같이 증명된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{n=2}^\infty \frac{p_{n-1}\#}{J_1(p_n\#)} &= \sum_{n=2}^\infty \frac{p_{n-1}\#}{p_n\# \cdot \displaystyle\prod_{k=1}^n \biggl( 1-\frac1{p_k} \biggr)} \\
&= \sum_{n=2}^\infty \frac1{p_n} \cdot \frac1{\displaystyle\prod_{k=1}^n \biggl( 1-\frac1{p_k} \biggr)} \\
&\ge \sum_{n=2}^\infty \frac1{p_n}
\end{aligned} )]
소수의 역수의 합은 발산하므로, 따라서 [math(\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{p_{n-1}\#}{J_1(p_n\#)})]도 비교판정법에 의해 발산한다.
또한, 실수부가 1보다 큰 임의의 복소수 [math(s)]에 대해 다음과 같은 관계가 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \zeta(s) &= \frac{2^s}{2^s-1} +\sum_{n=2}^\infty \frac{(p_{n-1}\#)^s \cdot\zeta_n(s)}{(p_n\#)^s} \qquad \cdots(2) \\ \zeta_n(s) &= \prod_{i=1}^n \frac1{1-{p_i}^s} \end{aligned} )] |
두 식의 출처는 이곳이다. 여기에서 [math((2))]번 식의 유도 과정을 알아볼 수 있다.
[math((1))]번 식은 [math((2))]번 식에 비해 [math(s)]의 범위가 상당히 제한되어 있다는 단점이 있다. 그러나 이는 다른 [math(s)]값들에 대해 증명이 안 됐을 뿐일 수도 있다. 왜냐하면 실제로 계산해봤을 때 자연수가 아닌 실수 [math(s)]에 대해서도 해당 식이 성립하는 것처럼 보이기 때문이다. 아래 Mathematica 코드를 통해 직접 계산해볼 수 있다.[6]
| p[0]=1; p[n_]:=p[n-1]*Prime[n] J[k_,n_]:=p[n]^k*Product[1-1/Prime[i]^k,{i,1,n}] z1[k_,n_]:=Sum[p[r-1]^k/J[k,r],{r,2,n}]+2^k/(2^k-1)//N | p[0]=1; p[n_]:=p[n-1]*Prime[n] zeta[s_,n_]:=Sum[1/i^s,{i,1,n}] z2[k_,n_]:=Sum[p[r-1]^k*zeta[k,r]/p[r]^k,{r,2,n}]+2^k/(2^k-1)//N |
| [math((1))] | [math((2))] |
[math((1))]번 식을 증명한 논문[7]이 사라져 있다. 해당 저널을 들어가 보면 다른 논문이 있고, 저자 사이트의 해당 논문 링크로 들어가보면 오류가 뜬다. 위키피디아와 위 출처에서 해당 논문을 인용하고 있는 것을 보면 어느 순간 내려간 듯한데, 이 부분에 대해서는 자세한 확인이 필요하다.
2.2. 목록
| [math(n)] | [math(p_n\#)] | 식 |
| 1 | 2 | 2 |
| 2 | 6 | 2×3 |
| 3 | 30 | 2×3×5 |
| 4 | 210 | 2×3×5×7 |
| 5 | 2,310 | 2×3×5×7×11 |
| 6 | 30,030 | 2×3×5×7×11×13 |
| 7 | 510,510 | 2×3×5×7×11×13×17 |
| 8 | 9,699,690 | 2×3×5×7×11×13×17×19 |
| 9 | 223,092,870 | 2×3×5×7×11×13×17×19×23 |
| 10 | 6,469,693,230 | 2×3×5×7×11×13×17×19×23×29 |
[1] 제2종 체비쇼프 함수는 [math(x)] 이하의 모든 자연수에 대한 최소공배수의 자연로그값에 해당한다.[2] 세타 함수는 이변수 함수이기 때문에 그나마 혼동이 적은 편. 참고로 이 세타 함수의 풀네임은 '야코비 세타 함수(Jacobi theta function)'이다.[3] prime(소수)과 factorial(계승)을 합친 단어다.[4] 기호인 [math(#)]은 위상수학에서 연결합(Connected sum)을 나타내는 용도로 쓰이므로 헷갈리지 않도록 주의.[5] 밑이 [math(e)]인 지수함수[6] 아래 코드를 복붙하여 실행한 이후 [math(z1)], [math(z2)] 함수의 값을 보면 된다. [math(z1)], [math(z2)]의 변수 [math(k)]에는 [math((1))]번 식과 [math((2))]번 식의 [math(s)] 값을 입력해주고, 변수 [math(n)]에는 몇 번째 항까지 계산해줄지를 입력해주면 된다.[7] Mező, István (2013). "The Primorial and the Riemann zeta function". The American Mathematical Monthly. 120 (4): 321.