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1. 개요 및 정의
漸近 表記法 / asymptotic notation수리과학의 여러 분야에서 함수의 증감 추세를 비교하는 표기법이다. 란다우 표기법(Landau notation)이라 부르기도 한다. [1]
점근 표기법(asymptotic notation)
실함수 [math(f,\,g: [0,\,\infty) \rightarrow \mathbb{R})]에 대해
1. 상수 [math(M>0,\,c>0)]가 존재하여 [math(x>M \Rightarrow |f(x)| \le c g(x) )]를 만족시킬 때, 이를 "[math(x \rightarrow \infty)]에 대해 [math(f(x) = O(g(x)) )]"라 표기한다.
1. 상수 [math(\epsilon>0,\,c>0)]가 존재하여 [math(|x-a|<\epsilon \Rightarrow |f(x)| \le c g(x) )]를 만족시킬 때, 이를 "[math(x \rightarrow a)]에 대해 [math(f(x) = O(g(x)) )]"라 표기한다.
무한대 점근의 정의는 실수열 [math(f,g : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R})]에 대해서도 동일하게 정의될 수 있고, 이 편이 훨씬 많이 쓰인다.실함수 [math(f,\,g: [0,\,\infty) \rightarrow \mathbb{R})]에 대해
1. 상수 [math(M>0,\,c>0)]가 존재하여 [math(x>M \Rightarrow |f(x)| \le c g(x) )]를 만족시킬 때, 이를 "[math(x \rightarrow \infty)]에 대해 [math(f(x) = O(g(x)) )]"라 표기한다.
1. 상수 [math(\epsilon>0,\,c>0)]가 존재하여 [math(|x-a|<\epsilon \Rightarrow |f(x)| \le c g(x) )]를 만족시킬 때, 이를 "[math(x \rightarrow a)]에 대해 [math(f(x) = O(g(x)) )]"라 표기한다.
수식 입력 편의상 이탤릭체를 사용하는 경우가 대부분이나, 흘림체인 [math(\mathcal{O})]를 사용하는 경우도 많이 있다. 다만, [math(O)]를 처음 사용한 바흐만, 란다우의 서적이나 이를 컴퓨터 과학에 본격적으로 들여온 도널드 커누스의 노트도 딱히 글꼴을 지정하진 않았다.
1.1. 연관된 표기법
커누스는 란다우의 표기법을 종합해 다음의 4가지 표기법을 같이 정리하였다.- [math(f(x) = o(g(x)) )]: 임의의 [math(c>0)]에 대해 [math(M)]이 존재하여 [math(x>M \Rightarrow |f(x)| \le c g(x) )]
- [math(f(x) = \Omega(g(x)) )]: [math(M,c>0)]이 존재하여 [math(x>M \Rightarrow |f(x)| > c g(x) )]
- [math(f(x) = \omega(g(x)) )]: 임의의 [math(c>0)]에 대해 [math(M)]이 존재하여 [math(x>M \Rightarrow |f(x)| > c g(x) )]
- [math(f(x) = \Theta(g(x)) )]: [math(f(x)>0)] 중에서 [math(f(x)=O(g(x)) )]이며 [math(f(x)=\Omega(g(x)) )]
이외에도 점근을 나타내는 다음의 다양한 표기가 있다.
- 표기 [math(f \ll g)]는 [math(f=O(g) )]와 동치이다.
- 표기 [math(f \asymp g)]는 [math(f = \Theta(g) )]와 동치이다.
- 표기 [math(f \sim g)]는 [math(\lim_{x\to\infty}\limits (f/g)=1)]과 동치이다.
2. 해석학에서의 활용법
극한과 비슷하게 생각할 수 있지만 세부적인 성질은 달라지는 것들이 많다. 예를 들어서[math(\lim_{x\to\infty}\limits \left|\dfrac fg\right| < \infty \Rightarrow f = O(g) )]
이 명제의 역은 성립하지 않는데, [math((f,\,g) = (\sin(x),\,1) )] 같은 예시처럼 극한이 진동할 수도 있기 때문이다. 다만, 다음은 성립한다.
[math(\displaystyle f =O(g) \Leftrightarrow \limsup \left| \frac{f}{g} \right| < \infty )]
[math(\displaystyle )]
해석학에서의 점근 표기법은 단순히 [math(f=O(g))]꼴뿐만 아니라 굉장히 자유롭게 쓰이는데, 예를 들어서[math(\displaystyle \sum_{i=1}^N \frac1i = \log N + \gamma + O(N^{-1}) )] ([math(N \rightarrow \infty)]일 때)
혹은
[math(e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots + \dfrac{x^k}{k!} + O(x^{k+1}) )] ([math(k)]는 고정된 자연수이고 [math(x \rightarrow 0)]일 때)
와 같은 표기법은 좌우변의 차이인 오차항이 O-표기법을 따르는 함수라는 것을 의미한다. 이런 표기법이 빈번하게 쓰이는 이유 중 하나는 O-표기법이 사칙연산에 비해 비교적 잘 행동하기 때문이다. 예를 들어서 [math(f_1 = O(g_1))], [math(f_2=O(g_2))]이면 [math(f_1 + g_1 = O(g_1+g_2))], [math(f_1 f_2 = O(g_1 g_2))] 등이 성립한다. 다만, 사칙연산에 대해서만 성립할 뿐이고, [math(e^f = O(e^g))] 등이 성립하지는 않는다. 이런 경우에는 [math(f=e^{O(x)})] 같은 표현이 쓰이는데, 이는 [math(g=O(x))]인 함수 [math(g)]가 존재해서 [math(f = e^g)]가 된다는 것을 의미한다.
O-표기법은 다변수함수, 벡터함수, 복소함수 등에서 쓰이기도 한다. 예를 들어서, 다변수 테일러 정리의 표현식을 다음처럼 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle f(x+h) = \sum_{|\alpha| \le m} \frac{\partial^{\alpha} f(x)}{\alpha_1! \cdots \alpha_n!}h^{\alpha} + O(\|h\|^{m+1}) )]
3. 컴퓨터 과학에서의 점근 표기법
일반적으로 알고리즘의 시간복잡도를 나타내는데 사용된다. Big-O 표기법은 알고리즘이 해당 차수이거나 그보다 낮은 차수의 시간복잡도를 가진다는 의미이다. 물론 공간복잡도에 대해서도 사용될 수 있다. 사실 공간복잡도의 이론적인 상한은 시간복잡도이기 때문에 [2] 시간복잡도가 공간복잡도보다 조금 더 중요하게 취급받는다.사실 현업에서는 알고리즘이 2배, 3배, 상수배 빨라지는 것도 의미가 있고, 당연히 계산 Step의 개수를 정확히 센 결과가 Asymptotic보다 더 정확한 지식이다.
하지만 이걸 쓰는 이유는 [math(n)]이 커지면 커질수록 언젠가는 Big-O 복잡도가 큰 알고리즘이 Big-O 복잡도가 작은 알고리즘을 역전한다는 수학적인 사실이 있기 때문에 생기는 원론적인 구분이 가능하다는 것이다.
예를 들면 극단적으로 [math(9999n)]개의 step이 필요한 알고리즘이 [math(0.001n^2)] 보다 느려 보이더라도 [math(n)]이 커질 때 언젠가는 [math(0.001n^2)]의 알고리즘이 역전한다는 것이다. 이건 다항 알고리즘과 지수 알고리즘의 차이에서도 존재하고 [math(2^{0.001n})]처럼 아무리 상수항이 작은 지수 알고리즘이라도 언젠가는 [math(n^{9999})]보다 빨라지는 시점이 올 수밖에 없다.
이 때문에 수많은 수학자들이 최대한 선형 알고리즘을 찾거나 그게 아니더라도 다항 알고리즘을 찾으려고 고생하는 이유이기도 하고, P-NP 문제가 중요한 이유이기도 하다.
Big-O 계산의 예시로는 [math(O(5n+7)=O(5n)=O(n))]이 되고, [math(O(n^2+25)=O(n^2))]을 들 수 있다. 여기서 등호 기호([math(=)])를 '같다(equals)'는 뜻이 아니라 '~이다(is)', '~쯤 된다(approx)'라고 해석하면 기호의 혼란을 피할 수 있다. 경우에 따라 [math(O(g(n)) )]을 하나의 집합으로 보고 [math(f(n) \in O(g(n)) )]으로 표기하기도 하는데, 과거보다 현대로 올수록 많은 알고리즘, 미적분학, 해석학 교과서들이 이 집합 개념을 사용하고 있다. 보다 수학적으로 엄밀해지고, asymptotic tight bound를 정확히 특정하는 Big-θ 표기법에서는 [math(\theta(g(n)) )]을 간단히 [math(O(g(n))\cap\Omega(g(n)) )]으로 정의할 수 있다. [math(f(n)=O(g(n)) )]에서 등호는 [math(\in)]의 의미를 imply하며 동시에 직관성을 얻는다. 이 '같다'의 직관성은 Big-O notation의 오용을 초래[3]했고, Big-Theta notation을 탄생하게 한 배경이 되었다.
간단한 예를 한번 들어보자. 디스크에 있는 파일을 다른 지역에 살고 있는 친구에게 보낸다고 가정해보자. 그림에서 파일 크기가 작다면, 즉 [math(n)]이 작다면 [math(O(n))]의 시간이 걸리는 온라인 전송이 빠르다. 하지만 파일이 아주 크다면 비행기를 통해 물리적으로 배달하는 게 더 빠를 수 있다(비용은 고려하지 않는다면).[4] 파일이 아무리 커도, 즉 [math(n)]이 아무리 커도 비행기를 통한 파일 전송은 [math(O(1))]로 항상 일정한 시간이 소요되기 때문이다. 이것이 바로 점근적 실행 시간이며, 빅오는 점근적 실행 시간을 표기하는 방법 중 하나다.
4. 참고
5. 관련 문서
[1] 이 표기법을 처음 사용한 것은 파울 바흐만이었으나, 실제로 이 표기법이 수학계에서 대중화된 것은 란다우가 자신의 책에서 지속적으로 이 표기법을 사용하였기 때문에 란다우 표기법이라는 별칭으로도 불린다.[2] 메모리를 할당하는 것도 일종의 명령어이기 때문에 컴퓨터는 시간을 초월한 넓이의 공간을 접근하지 못한다. 튜링 머신에서 테이프를 옮기는 동작과 연산을 하는 동작 사이에 원론적이 구분이 없다는 점을 들어 이해할 수 있다.[3] 선형대수학에서 생성기저에 대해 다루는 경우에도 이와 같은 등호 기호의 오남용을 볼 수 있다.[4] 실제로 구글 및 NASA 등 PB 단위로 데이터를 취급하는 단체, 업체들이 이렇게 데이터를 항공 운반하는 경우가 자주 있다.