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1. 개요
無理數 / irrational number수학에서 유리수가 아닌 실수(집합 표현으로 [math(\mathbb R \setminus \mathbb Q)] 또는 [math(\mathbb I)]), 즉 [math(0)]이 아닌 정수비로 나타낼 수 없는 수를 가리키는 말이다. 따라서, 무리수는 두 정수 [math(p)], [math(q)][math((q \ne 0))]에 대하여 [math(\dfrac pq)] 의 형태로 나타낼 수 없다.
수 체계에서 유일하게 완전한 이해를 위해선 무한이라는 개념이 반드시 필요한 수이다.
허수와는 다르며, 무리수이면서 동시에 허수인 경우는 없다. 다만 허수 없이 표기할 수 없는 무리수는 있다(환원 불능).
대수적 무리수 또는 초월수의 개수, 수효는 수학적으로 불가능하다. [1] 다만 표준편차로 나타내면 제곱해서 유리수가 되는 무리수일수는 있다.
무리수는 소수로 나타내면 무한소수이며, 이 중에서 비순환소수에 해당한다. 교육과정에서는 순환하지 않는 무한소수라고 가르친다.
2. 관련 개념
유한 개 항의 정수 다항식의 근이 되는 대수적 무리수와 그렇지 않은 초월수가 있다. 예를 들어, 무리수 [math(\sqrt 2)]는 정수 다항식 [math(x^2 -2=0)]의 근이 되므로 대수적이지만, 원주율 [math(\pi =3.141592 \cdots\cdots)]와 자연로그의 밑 [math(e = 2.71828 \cdots\cdots)]는 이러한 방정식이 존재하지 않는 대표적인 초월수이다. 참고로 유리수 [math(\dfrac pq)] [math((q \ne 0))]는 방정식 [math(qx - p = 0)]의 해이므로 항상 대수적 수다. 즉, 유리수는 절대로 초월수가 될 수 없으며, 실수인 초월수는 항상 무리수다.확장으로 무리함수라는 것도 있다. 다항식에 제곱근이 들어가 있는 형태로, 무리함수를 적분하는 것은 치환적분을 동원해야 할 정도로 악랄하다. 무리방정식은 제곱근 안에 미지수가 들어가 있는 것을 가리킨다.
2.1. 환원 불능
무리수 가운데 허수단위 [math(i)]를 이용해야만 표기할 수 있는 무리수이다.
3. 성질
허수와 마찬가지로 무리수의 집합은 사칙연산 모두에 대해서 닫혀 있지 않다. 심지어 항등원조차 존재하지 않는다. 단 여기서 주의할 점은 무리수만의 집합이라는 것이다. 상위 집합인 실수로 올라갈 경우 실수의 항등원은 당연히 존재한다. [math(\sqrt 2+0 = \sqrt 2)], [math(\sqrt 2 \times 1 = \sqrt 2)]가 거짓이냐며 따지지 말자.- 무리수의 집합에는 덧셈의 항등원이 없다. [math(0)] 은 유리수이다.
- 무리수의 집합에는 곱셈의 항등원이 없다. [math(1)] 은 유리수이다.
- 무리수의 집합은 덧셈에 대해서 닫혀 있지 않다. [math(\sqrt 2 + \left(-\sqrt 2\right) = 0)]
- 무리수의 집합은 뺄셈에 대해서 닫혀 있지 않다. [math(\sqrt 2 - \sqrt 2 = 0)]
- 무리수의 집합은 곱셈에 대해서 닫혀 있지 않다. [math(\sqrt 2 \times \sqrt 2 = 2)]
- 무리수의 집합은 나눗셈에 대해서 닫혀 있지 않다. [math(\sqrt 2 \div \sqrt 2 = 1)]
모든 유리수는 유한소수이거나 순환소수이고, 그 역도 성립하므로 무리수의 소수표현은 항상 비순환소수가 된다. 역으로 비순환소수는 무리수이지만, 소수점 아래의 자릿수가 무한대이기 때문에 비순환소수인지를 엄밀하게 밝힐 수 없어 이 성질로 무리수인지를 판별하는 건 사실상 불가능하다.
무리수에 유리수를 더하거나 빼거나 0이 아닌 수를 곱하거나 나누어도 여전히 무리수이다. 무리수의 거듭제곱은 유리수가 될 수 있지만, 거듭제곱근은 반드시 무리수이다.
4. 무리수임을 증명하기
[math(\sqrt 2)]가 무리수임을 증명하는 방법이 있다. 이 증명은 유클리드의 원론 13권에 나오는 유구한 증명이다. 단, 기존의 수학 이론을 집대성하려는 목적으로 쓰여진 원론이라는 책의 특성상 유클리드가 발견한 방법일 가능성은 낮다.1. [math(\sqrt 2)]를 무리수가 아닌 유리수라 가정하고, [math(\sqrt 2 = \dfrac pq)]로 놓는다. 이 때 [math(p)]와 [math(q)]는 서로소인 정수이다.
1. 양변을 제곱하여 [math(p^2 = 2q^2)]로 만든다.
1. [math(p^2=2q^2)]이므로 [math(p^2)]은 짝수이며, 따라서 [math(p)]도 짝수다. [math(p = 2k)]로 놓고, 위의 식에 대입한다.
1. [math(4k^2 = 2q^2)]에서 [math(q^2 = 2k^2)]이며 같은 논리로 [math(q)] 역시 짝수다. [math(p)]와 [math(q)]가 모두 짝수면 서로소라는 가정에 모순된다. 가정에 모순이 발생했으므로 가정은 거짓이며 [math(\sqrt 2)]는 유리수가 아니다.
이 문제가 서울대학교 대학별고사에서 맨 처음 나왔을 때는 전국적인 관광 플레이를 선사했다. 시간이 지난 지금은 해법이 잘 알려져있다.1. 양변을 제곱하여 [math(p^2 = 2q^2)]로 만든다.
1. [math(p^2=2q^2)]이므로 [math(p^2)]은 짝수이며, 따라서 [math(p)]도 짝수다. [math(p = 2k)]로 놓고, 위의 식에 대입한다.
1. [math(4k^2 = 2q^2)]에서 [math(q^2 = 2k^2)]이며 같은 논리로 [math(q)] 역시 짝수다. [math(p)]와 [math(q)]가 모두 짝수면 서로소라는 가정에 모순된다. 가정에 모순이 발생했으므로 가정은 거짓이며 [math(\sqrt 2)]는 유리수가 아니다.
참고로 [math(n \ge 3)]인 정수에 대해 [math(2)]의 [math(n)]제곱근 [math(\sqrt[n] 2)]이 무리수인 것을 증명하는 것은 위의 방법과 같다. 서로소인 정수 [math(p)], [math(q)]에 대해 [math(\sqrt[n] 2 = \dfrac p q)]라 가정하고 양변을 [math(n)]제곱하면 [math(2 = \dfrac{p^n}{q^n} \Leftrightarrow 2q^n = p^n)]이므로 [math(p)]는 짝수, [math(p = 2k)]로 놓은 다음 [math(2q^n = 2^n k^n)], [math(q^n = 2^{n-1} k^n)]이므로 [math(q)]가 짝수, [math(p)], [math(q)]는 서로소라는 가정에 모순. 따라서 [math(\sqrt[n] 2)]는 무리수.
그리고 자연수의 [math(n)]제곱근의 실수해는 정수가 아닌 유리수인 경우가 존재하지 않는다. 증명법은 동치 명제인 정수가 아닌 유리수의 자연수 제곱이 자연수가 될 수 없다는 것을 증명하는 방법이다. 이것은 정수가 아닌 유리수를 기약분수로 나타낸 후 분자와 분모를 소인수분해하면 지수법칙만으로도 간단하게 증명할 수 있다.[2]
그렇지만 무리수인지 유리수인지 증명되지 않은 실수도 있다. 예를 들어 [math(\pi)]와 [math(e)]는 무리수 임이 증명되었지만, 이 두수의 합 또는 차인 [math(\pi+e)]나 [math(\pi-e)]는 무리수인지 아닌지 증명되지 않았다. 다만 둘 중 적어도 하나가 무리수라는 사실은 알 수 있다.[3] 이는 유리수에서 실수로 확장하는 과정이 연산의 자유화를 위한 대수적인 확대(extension)가 아니라 수를 빼곡히 채워 넣고자 하는데서 온 완비화(completion)의 과정이기 때문이다.[4] 연산과는 영 관련없는 방식으로 추가되었기 때문에 연산과의 관계를 알아내기가 정말 정말 어렵다.[5]
원주율 [math(pi)]가 무리수임은 1761년에 람베르트[6]에 의해 처음 증명되었다.
5. 인식
| [math(i)]: 무리수 좀 두지 마. [math(\pi)]: 헛수고 좀 하지 마. 일반인들에게는 이렇게 허수와 덩달아 까인다. |
무리수는 엄연히 '실존하는(實) 수'인 실수의 부분집합이지만, 일반인의 시각에서 봤을 때 '수학 시간에만 있는 무언가'로 취급된다. 이는 시그마 대수, 쉽게 말하면 본능과 직관으로는 무리수의 존재성과 유일성을 밝힐 수 없기 때문이다.
자연수는 자연스레 무언가를 셈으로써 유도되고, 정수는 아무것도 없음과 무언가를 빼는 것에서부터, 유리수는 어떤 것을 몇 개로 나눔으로써 그 존재를 본능적으로, 직관적으로 알 수 있다. 그러나 무리수부터는 이러한 본능과 직관과는 거리가 먼, 무한과 해석이라는 방법으로써만 그 존재성과 유일성을 밝힐 수 있다.
대표적인 무리수인 [math(pi)]을 예로 들면, 아래 식으로부터 구체적인 값을 구할 수 있는데
| [math(\displaystyle \pi \triangleq \sum_{n=0}^\infty\dfrac{4(-1)^n}{2n+1} = 4 - \frac43 + \frac45 - \frac47 + \cdots\cdots)] |
더구나 이런 방법론은 18세기[7]에서야 이루어졌고, 그 이전에는 정사각형의 대각선이나 정삼각형의 높이 등 특수한 상황에서만 그 존재성을 겨우 확인할 수 있었을 뿐이었다.
가장 큰 이유로는 측정으로는 무리수를 얻을 수 없다는 점이 있다. 측정 기구의 불확도에 의해 자릿수가 끊어지는, 다시 말해 강제로 유리화하는 과정이 들어가게 되는 것이다. 그렇기 때문에 무리수의 존재성을 체감할 수 없는 것이다.
5.1. 피타고라스와 히파소스의 √2에 얽힌 일화
유리수만을 수로 생각한 피타고라스는 한 변의 길이가 [math(1)]인 정사각형의 대각선의 무리수 길이 [math(\sqrt 2)]를 수로 인정하지 않고 비밀로 부쳤으나 히파소스가 그 비밀을 대중 앞에서 폭로하자 히파소스를 암살했다는 일화가 있다.[8] 또는 히파소스 자신이 신념에 어긋나는 발견을 한 것에 상심하여 자살했다는 설도. 반대로 무리수를 발견하고 기쁜 마음에 감사의 제물을 바쳤다는 주장도 있다. 하여튼 무리수의 발견으로 그리스의 수학은 수론 연구에서 기하학 연구로 전환했다고 한다.5.2. '무리수'는 오역인가?
'무리수'라는 명칭은 잘못된 번역이라는 주장이 있다.이 단어는 일본 수학계에서 무리수의 영어 명칭인 'irrational number'를 사전적인 의미[9] 그대로 번역한 無理数가 중역되어 대한민국으로 넘어온 것인데, 단순히 사전적인 의미에 의존하여 번역하는 것은 잘못된 것이고 'ir[10]-ratio[11]-nal'로 나누어 번역해 '무비수'라고 해야 한다는 것이 이쪽의 주장. 심지어 일본 수학계에서조차 無理数라는 용어에 어감적으로 '억지스러운(無理な) 수'라는 인상이 있어 무비수(無比数)로 개정할 필요가 있다는 목소리가 꾸준히 제기[12]되어오고 있다. 무리수란 비(분수꼴)로 나타낼 수 없는 수를 뜻하므로 이쪽도 일리있는 주장이다. 유리수도 똑같은 이유로 '유비수'라고 해야 한다는 것.
다만 서구에서 작명된 역사를 따르면 '무리수'라는 명칭이 완전히 오역인 것은 아니다. 영어 irrational의 어원인 라틴어 irratiōnālis의 역사에서 더 명확히 드러나는데, 고대 그리스 시대에 아리스토텔레스가 [math(\displaystyle \sqrt 2)]는 비로 나타낼 수 없음(incommensurable)을 증명하고 이를 'irratiōnālis'(도리에 어긋난, 비합리적인)이라고 한 것이 최초이기 때문이다.[13] 즉, 아리스토텔레스 시기에 'irratiōnālis'에는 '비로 나타낼 수 없는'이라는 뜻이 없었다. 나중에 피타고라스 학파 출신 아르키타스(Archytas)의 제자 에우독소스(Eudoxus)[14]가 irratiōnālis라는 단어에 '비로 나타낼 수 없는'이라는 뜻을 재정립[15]한 것이다.출처 이와 더불어 라틴어 ratiō, ratiōnālis에도 '비'와 관련된 의미가 추가되긴 했지만 학문적 필요성에 의해 재정립된 의미이다보니 중세 시대까지도 라틴어 화자들은 '비'를 의미하는 단어로서 ratiō를 쓰지 않고 prōportiō[16]를 썼었다.
사족이지만 영어 ratio, rational, irrational 중 수학 용어로서 역사적으로 가장 먼저 등장[17]한 단어는 ratio가 아니고 irrational이다.[18] 영국의 수학자이자 의사인 로버트 레코드[19]가 그의 저서 《지혜로의 길》(The Pathway of Knowledge, 1551)에서 처음으로 이 단어를 썼고[20], 후에 에우클레이데스의 원론을 헨리 빌링슬리(Sir Henry Billingsley)가 최초로 번역(1570)할 때 로버트 레코드가 쓴 어휘를 참고하여 rational[21]을 썼으며, 마지막으로 아이작 배로(Isaac Barrow)가 번역(1660)할 때 ratio를 썼다. 즉, 수학 용어로서는 irrational → rational → ratio 순으로 의미가 재정의된 셈. 참고로 수학 외 분야에서는 rational('합리적인', 1398) → irrational('비합리적인', 1470) → ratio('판결이유'[22], 1636)순으로 등장했다.
그렇게 처음 단어가 만들어졌을 당시에는 '합리성'의 여부에 따라 단어가 만들어진 것이었으나, 이는 무리수를 수로 인정하지 않던 시대의 발상이기 때문에 오늘날의 수학계의 패러다임에서는 받아들이기 어렵다. 특히나 수학 용어에서는 지금 현재 나타내는 의미를 정확하게 나타내는 것이 더 중요하므로, '비'로 재편된 수학적 의미를 따라 번역하는 것이 더 적절할 수 있다.
6. 기타
무리수와 관련된 현재 최고(最古)의 문헌은 기원전 1800~1600년 사이에 제작된 것으로 추정되는 메소포타미아의 점토판으로, [math(30 \sqrt 2 \fallingdotseq 42.42641)]를 [math(42;25,35_{(60)} = 42+\dfrac{25}{60}+\dfrac{35}{60^2} \fallingdotseq 42.42639)]로 계산하였다.이밖에 영미식 단위 일부도 초월수다.
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[1] [math(\sqrt5)]명의 사람, [math(\pi)]마리의 개, 2000[math(\pi)]원의 택시요금 등등[2] 기약분수의 분자와 분모는 공통으로 가진 소인수가 없으므로 자연수 제곱을 해주어도 공통된 소인수가 없어 약분되지 않는다.[3] 둘을 합하면 무리수인 [math(2\pi)]가 되므로 둘 모두 유리수라고 가정하면 유리수끼리의 합은 항상 유리수가 된다는 점에 모순이 되기 때문이다.[4] 오히려 실수에서 복소수로의 확장은 실수의 대수적인 확대로 유리수까지 구성하는 과정과 유사하다.[5] 다만 무리수 중 대수적인 수는 다항식에 뿌리를 두고 있어 연산과 관련이 깊다.[6] 람베르트 W 함수의 그 람베르트다.[7] 테일러 급수와 더불어 그 유명한 엡실론-델타 논법이 나온 게 이때다.[8] 제자들이 지중해 한 가운데에서 히파소스를 떨궜다고 한다.[9] irrational: 이치(理致)에 어긋나는; 도리(道理)가 없는 → 無理[10] 부정(否定) 접두사.[11] 비(比)[12] 대표적인 서적으로는 호리바 요시카즈(堀場 芳数)의 《무리수의 불가사의》(無理数の不思議, 1993), 요시다 타케시(吉田 武)의 《허수의 정서》(虚数の情緒, 2000), 《오일러의 선물》(オイラーの贈物, 2010) 등이 있다.[13] 전술했듯이 [math(\displaystyle \sqrt 2)]는 이처럼 비합리적인 수였기 때문에 발견 당시에 수로 인정받지 못했다.[14] 플라톤의 제자이기도 하다.[15] 에우클레이데스의 원론 제5권에 등장한다.[16] 영어 proportion의 어원이다.[17] 정확히는 라틴어에서 차용한 것이므로 '번역'이 더 알맞은 표현이지만.[18] 이렇게 복잡해보이는 단어에서 간단한 단어가 만들어지는 것을 역성법 또는 역형성이라고 한다. 그렇게 드문 현상은 아니다.[19] 등호 기호(=)를 최초로 쓴 사람이다![20] 당시 철자법이 지금과 달라 irrationall로 기록되어있다.[21] 역시 이 당시 철자는 rationall[22] ratio decidendi의 준말로 엄밀히 따지면 영어가 아니고 라틴어이다.