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1. 개요
暗算 / mental arithmetic어떤 계산할 문제가 있을 때 연필을 써서 계산하지 않고, 머리 속으로 정확한 답을 계산하는 것을 의미한다. 그러나 단순히 지필 알고리즘을 머리 속으로 수행하는 것이라기보다는 수 체계의 지식을 토대로 다양한 전략을 사용하여 문제를 해결하는 것을 의미한다.
이 문서의 일부는 <암산활동이 수 감각 발달과 수학적 태도에 미치는 영향>[1]을 참고하였다.
2. 특징
Sowder(1988)가 암산의 특징으로서 제시한 네 가지는 다음과 같다.- 암산은 다양하고, 유연하다.
암산을 할 경우 주어진 특정 계산에서 각기 다른 방법을 사용할 수 있고 그 효과도 다르다. 다시 말해 83-26을 계산하는 데에도 서로 다른 방법을 사용할 수 있다는 것이다. 또, 같은 연산에서도 사용되는 전략이 서로 다른데, 예를 들어 83-79와 83-51, 83-7을 계산하는데 있어서도 서로 다른 전략을 사용하게 된다.
- 암산은 활동적이다.
이것은 메타 인지적 관점으로, 의식적이든 무의식적이든 사용자가 자신의 방법을 직접 선택한다는 뜻이다.
- 암산은 전체적이다.
지필 계산처럼 한 자리씩 계산하기보다는 수 전체를 함께 계산한다.
- 암산은 구성적이다.
종종 부분적인 계산이 행해지고 난 후에 다른 부분을 더하거나 뺀다. 예를 들어 36+28을 계산하는 한 가지 방법은 36, 46, 56, 66 그리고 나서 2를 빼면 64가 된다.
이러한 특징 외에도, 암산은 가장 위쪽 자리에서 먼저 계산하므로 근사값을 구할 수 있다는 특징이 있다.
어림과 암산은, 어림은 대략의 답을 구하고 암산은 정확한 답을 구한다는 면에서 다르다.
3. 중요성
암산은 계산 기능을 기르는 데에도 유용하지만 수의 구조를 이해하거나 어림셈 전략을 개발하는데에도 도움이 된다. 뿐만 아니라, 암산을 하는 데에는 개념과 기능을 관련시키고 수와 연산이 어떻게 기능하는지에 대한 인지 구조를 개발할 수 있어야 하기 때문에, 암산하는 능력은 수 감각과 관련이 있으며 암산을 통해서 수 감각의 발달이 가능하다.수 감각은 수의 크기를 상대적으로 보거나 한 수를 다른 수와 관련지어 보고, 대상의 수량이나 계산 결과를 어림으로 파악하는 것이다. 이용률(1997)은 수학의 내용 가운데는 이와 같은 안목 즉, 수 감각을 필요로 하는 내용이 많이 있어 수학의 지도에서 수 감각의 발달에 치중해야 하며, 이런 지도를 초등수학 지도의 기초 · 기본으로 보아야 한다고 하였다.
NCTM(1989)에서는 수 감각은 수학 문제해결에 반드시 필요한 필수 요소로, 학생뿐 아니라 어른들에게도 중요한 수 관계에 대한 직관력이라고 하였다. 또 수학 문제해결에 있어서 수 감각은 해의 합리성에 대한 판단을 내리는데 도움을 주는 중요한 요인으로 작용한다고 하였다. 이와 같은 관점에서 Resnick(1989)은 수 감각의 특성에 대하여 다음과 같이 주장하였다.
- 알고리즘이 아니다.
- 복잡한 경향이 있다.
- 다양한 해결책을 가지고 있다.
- 미묘한 판단과 인용을 필요로 한다.
- 다양한 표준의 적용을 수반한다.
- 불확실성이 있다.
- 사고 과정에서 개인적인 규칙을 만든다.
- 의미를 수반한다.
- 생각하도록 이끈다.
예를 들어 25 × 48을 암산하는데, 25와 동치인 100/4을 사용해서 100/4 × 48 = 100 × 12 = 1200의 순으로 해를 구한 학생은 수 감각이 있는 것으로 보이는 반면[2], 25 × 48을 지필 계산을 하듯 세로셈으로 적어 일의 자리에서 계산하는 학생은 비록 지필 알고리즘을 바르게 적용하였다 할지라도 수 감각이 있는 것으로 보이지 않는다.[3]
이러하듯 효과적으로 암산하기 위해서는 자릿값 개념, 수 관계 및 수의 동치 표현에 대한 지식, 산술 계산의 결과 이해 등이 필요하므로, 수 감각의 주요 측면이 작용된다고 볼 수 있다. 이와 같은 측면에서 암산 기능을 강조하는 것은 수 감각 발달에 도움이 된다.
또한, Hope & Sherill(1987)은 암산에 숙련된 학생과 숙련되지 않은 학생들 사이에는 다음과 같은 네 가지 차이점이 있다고 제시하고 있다.
- 숙련된 학생은 왼쪽에서 오른쪽으로 계산하나, 숙련되지 않은 학생들은 오른쪽에서 왼쪽으로 진행하는 표준 알고리즘을 이용한다.
- 숙련된 학생들은 전형적으로 받아올림이나 받아내림 전략을 기피하지만, 숙련되지 않은 학생은 그렇지 않다.
- 숙련된 학생들은 수의 구조에 대한 지식을 탐구하여 답을 구한다. 예를 들면, 645 + 123은 600과 100을 더하고, 다시 40+20을 700에 더하고, 마지막에 5+3을 760에 더한다. 숙련되지 않은 학생들은 자릿값이나 수들의 관계에 대한 고려 없이 낱낱의 자리 수를 더하는 경향이 있다.
- 숙련된 학생들은 다양한 전략을 유연하게 이용하고, 숙련되지 않은 학생들은 표준 알고리즘을 모든 상황에 적용한다.
결국 암산의 중요성을 요약하면 다음과 같다.
- 암산은 알고 있는 수 사이의 관계와 수의 특징 및 연산의 성질에 기초한 숙련되고 유연한 계산을 의미하며, 암산의 중요한 측면은 계산의 정확성 뿐만 아니라 사고의 유연성이다.
- 암산은 사고의 유연성을 발달시키고, 수 감각을 증진시키며, 수를 효과적으로 다루는 창의적 활동을 돕는 것으로서 교수 · 학습에서 중요하다.
- 암산은 알고리즘화 되어 있는 현 수학 교육의 문제해결 방식에서 벗어나, 체계적으로 수 감각을 발달시킬 수 있는 활동 중 하나이다.
4. 암산 방식
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, [[]]4.1. 필산식
머리 속에서 아라비아 숫자를 써가면서 하는 암산 방법.4.2. 주판식
주판의 사용에 익숙해졌을 때 할 수 있는 방법. 머리속에 '가상의 주판'을 만들어놓고 가상의 주판을 움직여서 암산을 행하는 방법이다. 주판식 암산의 위력은 생각보다 굉장하다.필산식 암산의 경우 백의 자리만 암산해도 대단한 경우가 많은 반면, 주판식 암산의 경우에는 천의 자리 정도는 해야 좀 한다 하는 소리를 듣고, 잘한다 라는 소리를 들으려면 만의 자리 정도는 가뿐히 계산해 주어야 한다. 초등부 대회에서도 고난이도 레벨은 천의 자리를 넘어가는 경우가 흔하다.
장점으로는 주판을 까먹을 리가 없으므로 반영구적인 암산이 가능하며, 정수에 한해서는 연습량에 따라 한계가 없는 계산이 가능하다.
반면에 단점으로는 초기 주판을 외우는 시간이 오래 걸린다는 점이며, 필산식 암산이나 암기식 암산과는 달리 자릿수를 한자리씩 올리는 데 상당한 노력이 필요하다는 점이다. 또한, 나눗셈의 경우에는 약간 방식이 특이하여 전문적인 선생이 아닌 이상 추후에는 제각기 방식이 달라진다.
리처드 파인만의 경우는 주판식 암산은 손을 쓰는 테크닉에 불과하기 때문에 수를 이해하는 데는 큰 도움이 되지 않는다고 한다. [4]
4.3. 암기식
미리 다수의 계산값을 암기하여 암산에 응용하는 방법이다.- 구구단을 뛰어넘어 19×19단의 값을 외우는 19단을 강조하는 경우가 있다. 수학자 John Leslie는 25×25단을 외우는 것이 좋다고 주장했다.
- 로그표 : 리처드 파인만의 자서전 (Surely You are Joking, Mr. Feynman, 1985, Richard Feynman)에 따르면 노벨 물리학상 수상자 한스 베테는 로그표를 암기하여 곱셈을 쉽게 덧셈으로 바꿔서 풀었다고 한다.
- 마찬가지로 리처드 파인만은 각종 수의 루트값, 승수값, 로그값, 나눗셈값을 암기하여 활용하였다. 존 폰 노이만도 같은 방법을 썼다고 한다.
5. 단점
- 기억력에 크게 의존하기 때문에, 암산에 필요한 식을 잊어버리면 낭패다.[5]
- 풀이 과정이 시각적 기호(= 수식)상으로 명시되지 않기 때문에 풀이를 도중에 틀리기 쉽다.
- 풀이의 대상이 복잡하면 복잡할수록 손으로 푸는 것에 비해 시간 대비 효율이 떨어진다. 당장 3×3 행렬의 역행렬을 암산만으로 계산해 보라.[6][7][답]
6. 기타
- 서구권으로 유학간 동양인 학생들이 이 때문에 많은 컬쳐쇼크를 받는다. 서구권에서는 계산기를 사용해서 하나하나 다 계산하기 때문에 남들에 비해 매우 빠른 속도로 숙제나 과제를 끝내기 때문이다.[9] 서구권 대학에서 수학관련 교수들이 동양인이면 서양인 학생들이 수강하기 매우 꺼리는 수업 1순위. 그 이유는 수식을 하나하나 다 설명해서 진행하는 서양인 교수들과 달리, 동양인 교수들은 암산으로 계산해도 되는 부분들은 중간에 수식을 다 건너뛰면서 설명하기 때문이다. 같은 암산법을 배운 동양인 학생들은 어느 정도 따라가지만 그렇지 않은 서양인 학생들은 말그대로 죽을 맛.
- 가끔 미분방정식 같은 걸 암산하는 괴물도 있다.
- 중화권에서는 心算(xīnsuàn)이라고 한다. 도리어 暗算(ànsuàn)이 한국어에서의 '심산'과 비슷한 뜻으로 쓰인다.
- 암산을 하면 두뇌 활동이 활성화되며 스트레스가 감소한다고 한다.[10] 해당 연구에서는 암산을 종이와 연필을 사용하지 않는 단순한 계산으로 정의했기 때문에 수학적 문제 해결 전략의 수립 및 선택이라는 넓은 의미에서 암산을 정의한다면 그 효과는 더욱 크다고 말할 수 있다. 즉 암산을 수학 활동으로서의 목적이 아닌 심리적 안녕감을 획득하기 위한 도구로 사용하였으며 활동을 통한 인지 능력 및 수학적 능력의 향상은 그 부가적인 효과로 보았다. 이러한 관점에서 본다면 명상 및 집단상담 프로그램을 대체할 프로그램으로서 암산을 활용해 볼 수 있다.[11]
7. 같이보기
[1] 정우익. (2015). 석사학위논문, 광주교육대학교. http://www.riss.kr/link?id=T13857075[2] 이렇게 배양된 수 감각은 특히 과학이나 공학에서 단위 변환을 해야 할 때 그 진가를 발휘한다.[3] Hope & Sherrill(1987)[4] 실제로는 초등학교 저학년까지의 경우, 주산을 배우면서 보수의 개념과 곱셈, 나눗셈에 대한 새로운 방향에서의 개념이 잡히므로 도움이 안 될 수가 없을 것이다. 그러나 중학생 이상 정도의 수학 지식을 갖고 있는 경우 파인만의 말이 꼭 틀린 것만은 아니다. 주판은 어디까지나 자연수(그리고 소수점 아래 몇 자리 이내의 소수)만을 계산하려고 만든 도구이지, 수 체계 교육용 교구가 아니기 때문.[5] 예능프로에서도 보면 알겠지만 '구구단을 외자' 게임만 하더라도 틀리는 경우가 많다. 물론 시간제이기 때문에 시간에 쫓기는 점도 있겠지만 막상 풀려면 기억에 혼란이 생기기 때문이다.[6] 참고로 일반적인 크기의 행렬 [math(A)]가 가역일 때 [math(\displaystyle A^{-1}=\frac{\mathrm{adj}\,A }{\det{A}})]인데, 3×3 행렬의 역행렬을 각 성분에 대해 풀어 쓴 공식은 [math(\displaystyle \begin{bmatrix} x_{11} \quad x_{12} \quad x_{13} \\ x_{21} \quad x_{22} \quad x_{23} \\ x_{31} \quad x_{32} \quad x_{33} \end{bmatrix}^{-1} = {1 \over x_{11}x_{22}x_{33} - x_{11}x_{23}x_{32} - x_{12}x_{21}x_{33} + x_{12}x_{23}x_{31} + x_{13}x_{21}x_{32} - x_{13}x_{22}x_{31}} \begin{bmatrix} x_{22}x_{33} - x_{23}x_{32} \quad x_{13}x_{32} - x_{12}x_{33} \quad x_{12}x_{23} - x_{13}x_{22} \\ x_{23}x_{31} - x_{21}x_{33} \quad x_{11}x_{33} - x_{13}x_{31} \quad x_{13}x_{21} - x_{11}x_{23} \\ x_{21}x_{32} - x_{22}x_{31} \quad x_{12}x_{31} - x_{11}x_{32} \quad x_{11}x_{22} - x_{12}x_{21} \end{bmatrix} )] 이다(...). 다만, 실제로 3×3 행렬을 풀 때에는 가우스-조르당 소거법, 즉 3×3 항등행렬을 첨가해 3×6으로 만든 뒤 왼쪽 3×3 행렬을 기본행연산을 사용하여 항등행렬로 만드는 방법을 쓴다. 공식이 더 복잡하고 느리다![7] 예제를 들고 왔으니 직접 계산해 보아라. [math(displaystyle begin{bmatrix} 1 & 19 & 37 \ 23 & 101 & 3 \ 7 & 41 & 31 end{bmatrix}^{-1} )][답] [math(\displaystyle \begin{bmatrix} -47/22 & -44/29 & 115/44 \\ 173/352 & 57/352 & -53/88 \\ -59/352 & -23/352 & 21/88 \end{bmatrix} )][9] 서구권에선 계산기를 써도 되는 대신에 계산 과정을 하나하나 다 적어야 한다. 사실 어느 나라던 기본적으로 수학, 과학, 공학 쪽은 이런 식으로 공부한다.[10] 성경은(2007)[11] 송재경. (2019). <초등학교에서 암산학습 프로그램이 학습자의 수학 학습동기와 수학 학업성취도에 미치는 영향>; 석사학위논문, 서울교육대학교. http://www.riss.kr/link?id=T15342882