바퀴 이론

수와 연산 Numbers and Operations
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1. 개요2. 정의와 정리

2.1. 1/0과 0/0의 정의

3. 실수 체계와 달라지는 사칙연산

3.1. ∞ = -∞3.2. ∞+∞ = 2×∞?3.3. 일반화3.4. 유도되는 성질3.5. ∞와 ⊥의 서로의 합

3.5.1. ∞+∞3.5.2. ∞+⊥3.5.3. ⊥+⊥

3.6. ∞와 ⊥의 서로의 곱

3.6.1. ∞×∞3.6.2. ∞×⊥3.6.3. ⊥×⊥

3.7. 0이 아닌 실수 x와 ∞, ⊥ 끼리의 덧셈과 곱셈

3.7.1. x + ∞3.7.2. x + ⊥3.7.3. x × ∞3.7.4. x × ⊥

3.8. 0과 ∞, ⊥ 끼리의 덧셈과 곱셈

3.8.1. 0 + ∞3.8.2. 0 + ⊥3.8.3. 0 × ∞3.8.4. 0 × ⊥

3.9. 연산표

4. 이외의 연산들

4.1. 역수

4.1.1. 역수와의 곱연산

4.2. 거듭제곱

4.2.1. 정의4.2.2. 계산4.2.3. 연산표

5. 바퀴 이론의 수학적 의미6. 둘러보기

1. 개요

wheel theory/바퀴 이론

[math(displaystyle {1 / 0})] 과 [math(displaystyle {0 / 0})]를 대수적으로 정의하는 이론으로, 이 이론의 수의 순서 구조를 위상적으로 표현해 보면 마치 바퀴처럼 기저 원소로 된 중심과 실사영직선으로 된 외곽이라는 구조로 이루어져 있어서 붙여진 이름이다.[1] 즉, 전순서 집합인 기존 실수 체계와는 다르게, [math(\pm \infty)]를 한 점으로 콤팩트화시키고, 여기에 위상구조에 포함되지 않는 특이점 하나를 추가한 형태가 된다.

2. 정의와 정리

바퀴 구조는 다음과 같이 표현되는 대수 구조이다. [math(\displaystyle (W,0,1,+,\cdot ,/))]
여기서 [math(\displaystyle W)]는 실수와 [math(\displaystyle {1 / 0})]과 [math(\displaystyle {0 / 0})]을 뜻하는 [math(∞)]와 [math(⊥)]를 포함하는 집합(set)이다. 0과 1은 각각 덧셈, 곱셈의 항등원이다.

또한 나눗셈(division) 연산 [math(÷)]은 역수(reciprocal) 연산 [math(/)]으로 대체되며, 나눗셈식은 [math(\displaystyle {a ÷ b})]가 아닌, 역수와의 곱셈식 [math(\displaystyle {a \times /b = /b \times a = a /b})]의 형태로 표현되며, 기본적으로는 실수체와 같이 [math(\displaystyle { a \neq 0, /a = a^{-1} })]이 성립하지만, 0과 특이점을 포함해서 생각한다면 해당 연산은 다음의 성질을 가진다.

1. 연산 /는 1을 -1로 만드는 부호 변환 연산자 [math(-)]와 같이 단항(unary) 연산자이다.

2. 자기 자신이 역연산인[2] 대합(involution) 연산이다. [math(\displaystyle {//x = x})]

3. 연산 내부의 곱셈이 보존되는 곱셈적(multiplicative) 연산이다. [math(\displaystyle {/(xy) = /x/y})]

참고로 해당 방식으로 역수 연산으로 나눗셈을 대체하고 곱셈을 생략한다고 가정하면, 많은 사람들을 괴롭힌 계산식이 다음과 같이 간단하게 계산이 된다.

[math(\displaystyle {48/2(9+3)} = {48 \times /2 \times (9+3) = 24 \times 12 = 288})]

만약 역수 연산을 오른쪽까지 걸고 싶으면 괄호가 하나 더 필요하다.

[math(\displaystyle {48/(2(9+3))} = {48 \times /(2 \times (9+3)) = 48 \times /24 = 2})]

또한 [math(\displaystyle {x - x = 0})]이 항상 성립하지는 않기 때문에, 뺄셈 및 부호 반전 연산 [math(-)]은 덧셈에 대한 역원으로 정의하지 않고, 다음과 같이 정의한다.

[math(\displaystyle {1 + a = 0})]인 a[3]에 대해, [math(\displaystyle {- x = ax}, {x - y = x + (-y)})]

2.1. 1/0과 0/0의 정의

첫번째로 [math(1 / 0)]는 리만 구의 무한 원점같이, 방향이 정의되지 않는 확장된 복소수의 원소인 ∞이다.[4]

두번째로 [math(0 / 0)]은 부정(undefined), 모순(contradiction)을 뜻하는 [math(⊥)](Nullity)을 사용하여 표현한다. ~~욕 아니다~~

실제로 [math(0 / 0)](이하 [math(⊥)])의 위상학적 구조는 순서가 존재 하지 않는, 실수 체계를 벗어난 수이다.

3. 실수 체계와 달라지는 사칙연산

앞서 살펴봤듯이, 바퀴는 덧셈과 곱셈의 역원이 일반적으로는 존재하지 않는 구조이므로, 계산식을 역연산으로 없애서 상쇄(cancel) 한다는 상식이 통하지 않기 때문에 기본적인 분배법칙도 성립하지 않고 0항이라는 것이 발생한다.

3.1. ∞ = -∞

앞서 말했듯이, ∞의 방향이 정의되지 않으므로 0과 같이 부호를 취하더라도 ∞는 항상 자기 자신이 된다.

[math(\displaystyle -∞ = -{1 / 0})]

[math(\displaystyle = 1 / (- 0 / 1))]
[math(\displaystyle = {1 / 0})]
[math(=∞)]

∴ [math(∞ = -∞)]

참고로, wolfram alpha를 이용해서 [math(\tilde{∞})]에 실수부 함수[math(\Re(\tilde{∞}))], 허수부 함수[math(\Im(\tilde{∞}))], 부호 함수[math(\rm sgn(\tilde{∞}))] 등을 씌워보면 모두 (undefined) 즉, [math(⊥)]라는 결과가 나오는데 이는 우리가 알고 있는 부호가 있는 무한대, 해석학에서 사용되는 [math(∞)] 기호를 통해 설명되는 무한대와는 다른 무한대이다. 따라서 매우 불안정한 수이기 때문에 어떠한 연산을 해도 [math(⊥)]가 튀어나와버린다는 생각을 자주 하게 될 것이다.

3.2. ∞+∞ = 2×∞?

연산을 하다 보면 알겠지만, [math(∞+∞)] 는 [math(⊥)]이지만 [math(2 × ∞)]는 [math(∞)]이다.

우리가 생각하기에 같은 꼴의 둘을 더하는 것은 2를 해당 수에 더하는 것과 같은 연산이다. 하지만 바퀴에선 특이점을 포함해서 계산을 일반화해야 하기에 모든 연산이 골아파진다. 일단 두 결과의 차이를 이해하는 방법은, 바퀴의 무한이 방향에 관계가 없다는 것을 이해해야 된다. 따라서 이를 직관적으로 받아들이는 방법은 두개의 방향이 다른 무한을 더한다면, 해당 수치는 부정형이 되고, 한개의 무한을 2배를 하게 되면 그냥 해당 방향의 2배 수치인 무한이 된다고 생각하는 방법이다. 따라서 각각 기저 원소와 무한이라는 다른 결과를 도출하게 된다.

보다 일반적으로 설명하기 위해 식으로 나타내자면 바퀴 내의 모든 원소를 포함하여 등식을 세워보자면 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle {x + x = 2x + 0x})] 혹은, 일반화하여 [math(\displaystyle {xz + yz = (x + y)z + 0z})]

즉, 같은 수를 더한 결과를 한쪽에 몰아준 뒤에 [math(+)]가 사라지지 않는 이유는 일반적으로 실수에서 성립하는 [math(\displaystyle {0z = 0})]이 특이점에선 성립하지 않기 때문이다.

3.3. 일반화

⊙ 바퀴 안의 수 [math(x)]에 대해, 분수 표현형 [math(\displaystyle {x = x_1/x_2})], [math(\displaystyle {x_1, x_2 ∈ \mathbb {R} })]을 이용하여 분수식을 행렬식 계산과 비슷하게 생각한다면 다음과 같은 식들을 유도할 수 있다. 참고로, [math(x_2, x_1)]는 적당한 0이 아닌 실수 [math(s)]가 존재해서, 북극점 [math((1,0) = ∞)]에서 원점을 중심으로 하는 단위원 위의 점[math((sx_2, sx_1))]에 내린 사영이 [math(x)]축과 만나는 점의 [math(x)]좌표를 나타낸다. 물론 기저 원소 ⊥[5]에 내린 사영은 가로축 전체에 해당하며, 북극점 ∞에서 ∞로의 사영은 북극점을 지나는 단위원 위로의 접선을 의미하기 때문에 [math(x)]축과 만나지 않지만, 무한히 뻗은 직선과 원은 위상동형이기에 만난다면 확장된 실수의 양 극단에 존재하는 무한 원점에 해당한다.

해당 방식의 연산은 매우 독특한데, 이것을 바퀴 대수학(Wheel Algebra)라고 부르기도 한다. 사실 바퀴 이론의 핵심 쟁점은 기저 원소와 무한의 도입보다 해당 대수학이 시사하는 바가 더 크다. 덧셈과 곱셈의 가환 모노이드이며, 실수체와 같은 모든 가환환을 확장하여 만들 수 있는 구조이기 때문에, 대수학을 연구하는 수학자에게는 0으로 나누기의 표준을 정하는 의미가 있으며, 0으로 나누기와 무한을 포함하는 시스템을 엄밀하게 정의하고 만들 경우 편리해지는 경우도 있기 때문에 실용성이 있을 가능성도 있다. 다만 앞서 말한대로, 0으로 나누기를 포함하기 위해 잃는 것이 많다. 덧셈과 곱셈의 역연산이 일반적으로 정의되지 않아 단순한 계산도 깔끔하게 진행되지 않아서 일반적인 대수학과는 거리가 많이 멀어진다.

[math(\displaystyle {(x + y)z + 0z = xz + yz})]

[math(\displaystyle {(x + y)z + 0z})]
[math(\displaystyle { = (x_1/x_2 + y_1/y_2) \times z_1/z_2 + 0 \times z_1/z_2})]
[math(\displaystyle { = (x_1y_2 + x_2y_1)/(x_2y_2) \times z_1/z_2 + 0/z_2})]
[math(\displaystyle { = (x_1y_2z_1 + x_2y_1z_1)/(x_2y_2z_2) + 0/z_2})]
[math(\displaystyle { = (x_1y_2z_1z_2 + x_2y_1z_1z_2)/(x_2y_2z_2^2)})]
[math(\displaystyle { = (x_1z_1 \times y_2z_2 + x_2z_2 \times y_1z_1)/(x_2z_2 \times y_2z_2)})]
[math(\displaystyle { = xz + yz})]

위에서 사용한 성질이다. 즉, 분배법칙을 사용하더라도 0항이 남아서 계산이 복잡해진다. 유도과정이 복잡해 보이지만, 분모를 일치시키기 위해 더해준 [math(0z)]를 제외하면 딱히 어려운 점은 없다. 이 성질이 시사하는 바는, 분배법칙을 적용할 때, 곱하는 공통인수의 0항이 항상 붙어야 한다는 점이다.

[math(\displaystyle {(x + yz)/y = x/y + z + 0y})]

[math(\displaystyle {(x + yz)/y})]
[math(\displaystyle { = (x_1/x_2 + y_1z_1/y_2z_2) \times y_2/y_1})]
[math(\displaystyle { = (x_1y_2z_2 + x_2y_1z_1)/x_2y_2z_2 \times y_2/y_1})]
[math(\displaystyle { = (x_1y_2^2z_1 + x_2y_1y_2z_1)/(x_2y_1y_2z_2)})]
[math(\displaystyle { = (x_1y_2z_1 + x_2y_1z_1)/(x_2y_1z_2) + 0/y_2})]
[math(\displaystyle { = x/y + z + 0y})]

해당 계산식에서 괄목할 만한 점은, [math(yz)]에서 자연스레 [math(z)]가 도출되었다는 것이다. 일반적으로 다항식을 [math(y)]로 깔끔하게 나누는 방법은 존재하지 않는데, 해당 성질을 이용하면 바퀴에서도 자연스레 유리함수를 표현할 수 있다. 다만 분모가 y가 아닌 복잡한 수식이면 정리가 배로 어려워지는 것은 당연하다.

[math(\displaystyle {(x + 0y)z = xz + 0y})]

[math(\displaystyle {(x + 0y)z})]
[math(\displaystyle { = (x_1/x_2 + 0/y_2) \times z_1/z_2})]
[math(\displaystyle { = (x_1y_2)/(x_2y_2) \times z_1/z_2})]
[math(\displaystyle { = (x_1y_2z_2 + x_2y_2z_1)/(x_2y_2z_2)})]
[math(\displaystyle { = (x_1z_1 + x_2z_1)/(x_2z_2) + 0/y_2})]
[math(\displaystyle { = xz + 0y})]

[math(\displaystyle {/(x + 0y) = /x + 0y})]

[math(\displaystyle /{(x + 0y)})]
[math(\displaystyle { = /(x_1/x_2 + 0/y_2)})]
[math(\displaystyle { = /((x_1y_2)/(x_2y_2))})]
[math(\displaystyle { = (x_2y_2)/(x_1y_2)})]
[math(\displaystyle { = x_2/x_1 + 0/y_2})]
[math(\displaystyle { = /x + 0y})]

위 두개의 결과로부터 알 수 있는 사실은, 0항은 곱연산이나 역수 연산에 대해 면역이라는 사실이다. 또한 잘 살펴보면, 바퀴 대수학에서 분모와 분자에 [math(y_2)]가 약분되는 과정에 0항인 [math(0y)]가 추가되는 것을 알 수 있는데, 역으로 [math(y_1)]로 약분하려면 [math(0/y)]를 추가하면 된다. 0항이 뜬금없어 보일지라도, 약분을 했다는 증거가 되어 기존 대수학의 사칙연산과 차이가 나는 것이다. 실수체에서는 0으로는 약분을 할 수 없기 때문에 0, ∞, ⊥ 3가지 경우를 제외하면 항상 약분이 되어 0항이 사라지지만, 3가지 경우에는 각각 [math(0/y)]꼴, [math(0y)]꼴, 모든 0항이 ⊥가 되어 해당 식을 무의미하게 만들어버린다.

3.4. 유도되는 성질

[math(\displaystyle {0x + 0y = 0xy})]

[math(\displaystyle {0x + 0y})]
[math(\displaystyle { = (0 + 0y)x})]
[math(\displaystyle { = 0xy})]

0항이 곱셈에 보존된다는 사실을 잘 활용해보면 자명하게 도출할 수 있다. 0항끼리의 합은 곱으로 병합되는 성질인데, 바퀴에서의 0항은 사라지지 않지만 항상 하나의 0항으로 붙는 것은 계산 편의성 면에서 매우 감사히 생각해야 된다.

[math(\displaystyle {x/x = 1 + 0x/x})]

[math(\displaystyle {x/x})]
[math(\displaystyle { = (0 + 1x)/x})]
[math(\displaystyle { = 0/x + 1 + 0x})]
[math(\displaystyle { = 1 + 0x/x})]

역시 바퀴에서의 분배법칙을 생각하면 자명하다. 0항끼리 병합시키면 최종적인 식이 유도된다. 여기서 일반적으로 [math(\displaystyle {0x = 0/x = 0})] 즉, [math(\displaystyle {0x/x = 0})]일 때, [math(\displaystyle {x/x = 1})]이 자연스럽게 유도된다. 또한 해당 조건은 [math(x)]가 0이 아닌 실수일 조건의 판별식으로 자주 활용된다.

[math(\displaystyle {xz = yz ⇒ x + 0z/z = y + 0z/z})]

[math(\displaystyle {xz = yz})]
[math(\displaystyle { ⇒ xz/z = yz/z})]
[math(\displaystyle { x(1 + 0z/z) = y(1 + 0z/z)})]
[math(\displaystyle { x + 0z/z = y + 0z/z})]

일반적으로 실수체에서 0으로 나누기를 예외 취급하여 [math(xz = yz)] 꼴에서 [math(z)]를 제거할 수 없었던 것을 생각하면, 해당 식이 이해가 빠르게 갈 것이다. [math(z)]가 0이라면, [math(x)], [math(y)]값에 상관없이 해당 등식이 성립하는데, 이는 어떠한 [math(x)]와 [math(y)]에 ⊥를 더하더라도 항상 ⊥가 도출되므로 해당 성질이 항상 성립함을 알 수 있다.

[math(\displaystyle {x - x = 0x^2})]

[math(\displaystyle { x - x = x + ax})][6]
[math(\displaystyle { = (1 + a)x + 0x = 0x + 0x})]
[math(\displaystyle { = 0x^2})]

위의 분배법칙에 따라 0항이 또 발생하고, 0항 2개를 합했으므로 병합하여 하나의 0항으로 만들면 위와 같이 변하는데, 이게 바퀴 이론 중에서도 굉장히 난해한 부분이다. 바퀴 대수학을 만지다보면 전혀 의미가 없어보이는 [math(\displaystyle {0x^2})]같은 항이 뜬금없이 튀어나와서 당황스러울 수 있는데, 일반적인 실수체를 기반으로 한 바퀴에서는 의미가 없을 수 있지만, 일반적인 바퀴에서는 [math(\displaystyle {0x^2 \neq 0x})]인 경우가 존재한다.

3.5. ∞와 ⊥의 서로의 합

해당 항목에선 [math(\displaystyle{a / b}+{c / d}=({{a \times d}+{b \times c}) / ({b \times d}}))]임을 이용한다.

3.5.1. ∞+∞

[math(\displaystyle ∞+∞ = {1 / 0}+{1 / 0})]

[math(\displaystyle = {(1 \times 0 + 1 \times 0) / (0 \times 0)})]

[math(\displaystyle = {0 / 0})]

[math(\displaystyle = ⊥)]

3.5.2. ∞+⊥

[math(\displaystyle ∞+⊥ = {1 / 0}+{0 / 0})]

[math(\displaystyle ={({1 \times 0}+{0 \times 0}) / ({0 \times 0})})]
[math(\displaystyle ={({0 + 0}) / 0})]
[math(=⊥)]

3.5.3. ⊥+⊥

[math(\displaystyle ⊥+⊥ = {0 / 0}+{0 / 0})]

[math(\displaystyle ={({0 \times 0}+{0 \times 0}) / ({0 \times 0})})]
[math(\displaystyle ={({0 + 0}) / 0})]
[math(=⊥)]

3.6. ∞와 ⊥의 서로의 곱

해당 항목에선 [math(\displaystyle {{a / b} \times {c / d}}={({a \times c}) / ({b \times d})})]임을 이용한다

3.6.1. ∞×∞

[math(\displaystyle {∞ \times ∞} = {{1 / 0} \times {1 / 0}})]

[math(\displaystyle ={({1 \times 1}) / ({0 \times 0})})]
[math(\displaystyle ={1 / 0})]
[math(=∞)]

3.6.2. ∞×⊥

[math(\displaystyle {∞ \times ⊥} = {{1 / 0} \times {0 / 0}})]

[math(\displaystyle ={({1 \times 0}) / ({0 \times 0})})]
[math(\displaystyle ={0 / 0})]
[math(=⊥)]

3.6.3. ⊥×⊥

[math(\displaystyle {⊥ \times ⊥} = {{0 / 0} \times {0 / 0}})]

[math(\displaystyle ={({0 \times 0}) / ({0 \times 0})})]
[math(\displaystyle ={0 / 0})]
[math(=⊥)]

3.7. 0이 아닌 실수 x와 ∞, ⊥ 끼리의 덧셈과 곱셈

3.7.1. x + ∞

[math(\displaystyle { x + ∞ } = {x / 1} + {1 / 0})]

[math(\displaystyle ={({{x \times 0} + {1 \times 1}}) / ({1 \times 0})})]
[math(\displaystyle ={({0 + 1}) / {0}})]
[math(\displaystyle ={1 / 0})]
[math(=∞)]

3.7.2. x + ⊥

[math(\displaystyle { x + ⊥} = {x / 1} + { 0 / 0})]

[math(\displaystyle ={({{x \times 0} + {1 \times 0}}) / ({1 \times 0})})]
[math(\displaystyle ={({0 + 0}) / {0}})]
[math(\displaystyle ={0 / 0})]
[math(=⊥)]

3.7.3. x × ∞

[math(\displaystyle {x \times ∞} = {x / 1} \times {1 / 0})]

[math(\displaystyle ={1 / ({1 / x})} \times {1 / 0})]

[math(\displaystyle ={({1 \times 1}) / {({1 / x} \times 0)}})]

[math(\displaystyle ={1 / 0})]

[math(=∞)][7]

3.7.4. x × ⊥

[math(\displaystyle {x \times ⊥} = {x / 1} \times {0 / 0})]

[math(\displaystyle ={1 / ({1 / x})} \times {0 / 0})]

[math(\displaystyle ={{1 \times 0} / ({{1 / x} \times 0})})]

[math(\displaystyle ={0 / 0})]

[math(=⊥)][8]

3.8. 0과 ∞, ⊥ 끼리의 덧셈과 곱셈

3.8.1. 0 + ∞

[math(\displaystyle 0 + ∞ = 0 + {1 / 0})]

[math(\displaystyle ={{0 / 1} + {1 / 0}})]

[math(\displaystyle ={({0 \times 0 + 1 \times 1}) / ({1 \times 0})})]

[math(\displaystyle ={({0 + 1}) / {0}})]

[math(\displaystyle ={1 / 0})]

[math(=∞)]

3.8.2. 0 + ⊥

[math(\displaystyle 0 + ⊥ = 0 + {0 / 0})]

[math(\displaystyle ={{0 / 1} + {0 / 0}})]

[math(\displaystyle ={({0 \times 0 + 1 \times 0}) / ({1 \times 0})})]

[math(\displaystyle ={({0 + 0}) / {0}})]

[math(\displaystyle ={0 / 0})]

[math(=⊥)]

3.8.3. 0 × ∞

[math(\displaystyle 0 × ∞ = 0 \times {1 / 0})]

[math(\displaystyle ={{0 / 1} \times {1 / 0}})]

[math(\displaystyle ={({0 \times 1}) / ({1 \times 0})})]

[math(\displaystyle ={0 / 0})]

[math(=⊥)]

3.8.4. 0 × ⊥

[math(\displaystyle 0 × ⊥ = 0 \times {0 / 0})]

[math(\displaystyle ={{0 / 1} \times {0 / 0}})]

[math(\displaystyle ={({0 \times 0}) / ({1 \times 0})})]

[math(\displaystyle ={0 / 0})]

[math(=⊥)]

3.9. 연산표

([math(a, b \in \mathbb{R})])

<colbgcolor=#fff> [math(+)]	[math(b)]	[math(0)]	[math(\infty)]	[math(⊥)]	<colbgcolor=#000>	<colbgcolor=#fff> [math(\times)]	[math(b)]	[math(0)]	[math(\infty)]	[math(⊥)]
[math(a)]	[math(a+b)]	[math(a)]	[math(\infty)]	[math(⊥)]		[math(a)]	[math(ab)]	[math(0)]	[math(\infty)]	[math(⊥)]
[math(0)]	[math(b)]	[math(0)]	[math(\infty)]	[math(⊥)]		[math(0)]	[math(0)]	[math(0)]	[math(⊥)]	[math(⊥)]
[math(\infty)]	[math(\infty)]	[math(\infty)]	[math(⊥)]	[math(⊥)]		[math(\infty)]	[math(\infty)]	[math(⊥)]	[math(\infty)]	[math(⊥)]
[math(⊥)]	[math(⊥)]	[math(⊥)]	[math(⊥)]	[math(⊥)]		[math(⊥)]	[math(⊥)]	[math(⊥)]	[math(⊥)]	[math(⊥)]

해당 연산표를 통해 바퀴 위의 수 [math(x)]에 대해, [math(\displaystyle {x + ⊥ = ⊥}, {x \times ⊥ = ⊥})]임을 도출할 수 있으며, 이는 아래처럼 바퀴 분수 계산법을 통해서도 쉽게 도출할 수 있는 결론이다. 따라서 모든 수는 ⊥와의 사칙연산에 대해 ⊥라는 값을 도출하며, ⊥는 계산식의 어느 위치에 들어가더라도 항상 자기자신만을 도출하는 특이한 수가 된다.

[math(\displaystyle {x + ⊥ = ⊥})]

[math(\displaystyle {x + ⊥})]
[math(\displaystyle { = x + 0/0 = x_1/x_2 + 0/0})]
[math(\displaystyle { = (0x_1+0x_2)/(0x_2) = 0/0})]
[math(\displaystyle { = ⊥})]

[math(\displaystyle {x \times ⊥ = ⊥})]

[math(\displaystyle {x \times ⊥})]
[math(\displaystyle { = x \times 0/0 = x_1/x_2 + 0/0})]
[math(\displaystyle { = (0x_1)/(0x_2) = 0/0})]
[math(\displaystyle { = ⊥})]

4. 이외의 연산들

4.1. 역수

[math(\displaystyle {1 / ∞})]

[math(\displaystyle {{1 / ∞} = {1 / ({1 / 0})}})]

[math(\displaystyle {1 / ⊥})]

[math(\displaystyle {{1 / ⊥} = {1 / ({0 / 0})}})]

4.1.1. 역수와의 곱연산

[math(\displaystyle {∞ / ∞})]

[math(\displaystyle {{∞ / ∞} = {∞ \times / ∞}})]
[math(\displaystyle {= {∞ \times 0}})]
[math(\displaystyle {= ⊥})]

[math(\displaystyle {∞ / ⊥})]

[math(\displaystyle {{∞ / ⊥} = {∞ \times / ⊥}})]
[math(\displaystyle {= {∞ \times ⊥}})]
[math(\displaystyle {= ⊥})]

[math(\displaystyle {⊥ / ∞})]

[math(\displaystyle {{⊥ / ∞} = {⊥ \times / ∞}})]
[math(\displaystyle {= {⊥ \times 0}})]
[math(\displaystyle {= ⊥})]

[math(\displaystyle {⊥ / ⊥})]

[math(\displaystyle {{⊥ / ⊥} = {⊥ \times / ⊥}})]
[math(\displaystyle {= {⊥ \times ⊥}})]
[math(\displaystyle {= ⊥})]

4.2. 거듭제곱

실수의 지수와 로그 연산을 제대로 정의하기 위해서는 사실 복소해석학의 개념이 필요하다. 특히 바퀴에서의 ∞는 리만 구의 무한 원점, 즉 확장된 복소수에서의 ∞와 같은 성질을 보이기 때문에, 지수와 로그 연산에서는 ∞와의 연산이 ⊥와 거의 같은 움직임을 보인다. 실수체를 확장한 바퀴에서 ∞는 양단의 2개의 무한을 의미하지만, 복소수체를 확장한 바퀴에서는 복소평면을 덮는 거대한 바퀴와 같이 모든 방향으로 존재한다.

한편 ⊥는 덧셈과 곱셈에서도 항상 자기자신만을 결론으로 도출했듯이, 제곱 연산에서도 밑, 지수, 로그에 상관없이 ⊥를 도출한다. 한편으론 당연해 보이더라도, 사실 실수체에서 지수함수와 로그함수는 일대일 대응이 아니기에 같은 ⊥가 아니게 되지만, 복소함수 영역으로 확장하면 해석연해 보이더라도, 사실 실수체에서 지수함수와 로그함수는 정의역이나 치역이 실수 전체가 아니기에 같은 ⊥가 아니게 되지만, 복소함수 영역으로 확장하고 0과 ∞까지 도입한 수 체계에서는 해석 함수는 상수함수를 제외하고 모든 복소수 영역에서 정의가 되며, 주기함수의 경우 편각을 한정하기만 하면 항상 역함수를 가진다. 즉, 지수와 로그까지 확장한다면 ⊥가 복소수체를 확장한 바퀴 전체를 의미한다는 사실이 더욱 명확해지며, 해당 기호가 항상 일관적인 의미를 가질 수 있게 된다.

4.2.1. 정의

바퀴에서의 제곱의 정의는 역시 분수꼴로 정의되는데, 특히 밑이 양의 실수 [math(a)]인 경우 유리수 지수와 비슷하게 다음과 같이 정의된다.

[math(\displaystyle {a^{x} = a^{x_1/x_2} = \sqrt[x_2]{a^{x_1}}})]

일반적으로, 어떠한 밑에 대해서도 0제곱근은 복소수 범위에서도 정의되지 않는다. 따라서 ∞와 ⊥를 지수로 가지는 지수 연산은 항상 정의되지 않으며, ⊥가 되는 것을 알 수 있다. 또한 0과 ∞는 역수관계이므로, 두 수는 밑에 있을 때 정확히 반대의 성질이 성립해야 한다. 또한 지수법칙은 밑이 양수인 경우에만 자유롭게 성립하기에 일반적으로 잘 성립하지 않지만, 지수 연산을 다음과 같이 로그를 사용해서 재정의하면 복소수 범위에서도 자연스럽게 정의를 확장할 수 있다. 다만 특수한 케이스에는 극한을 사용하지 않고 일반적인 실수 체계에서 연산이 정의되지 않는 경우, 다음과 같이 로그를 이용해서 간접적으로 정의할 수 있다.

[math(\displaystyle {a^b = e^{b \ln{a}}})]

해당 정의를 이용하면, 밑이 잘 정의되지 않는 상황에서도 곱셈과 무한급수로 쉽게 치환이 되어 일반적인 수처럼 다룰 수 있다. 참고로 ∞는 다항식으로 다루게 되면 바로 ⊥로 계산되므로, 간접적 정의를 통해 다항식 전개를 사용해야 하는 상황이 오게 된다면 항상 ⊥로 정의된다.

4.2.2. 계산

[math(\displaystyle {\exp(⊥), \ln(⊥)})]
테일러 급수를 통해 ⊥에 대한 다항식 전개로 표현할 수 있으므로 ⊥와 같다. 따라서 정의에 의해, [math(\displaystyle {\exp(⊥) = \ln(⊥) = ⊥})]

[math(\displaystyle {\ln{0}})]
테일러 급수를 통해 [math(\displaystyle {\ln{0} = - \Sigma_{k = 1}^{∞} {(1/k)} = -∞ = ∞})]임을 보일 수 있다.
참고로, 바퀴에서의 무지향인 [math(1/0)]과 달리 극한을 통해 구해보면 음의 무한대[math(-∞)]가 된다.

[math(\displaystyle {\ln{∞}})]

[math(\displaystyle {\ln{∞}})]
[math(\displaystyle { =\ln{(/0)} = - \ln{0} = -∞})]
[math(\displaystyle { =∞})]

[math(\displaystyle {a^⊥})]

[math(\displaystyle {a^⊥ = e^{⊥ \times \ln{a}}})]
[math(\displaystyle {= e^{⊥}})]
[math(\displaystyle {= ⊥})]

[math(\displaystyle {1^∞})]

[math(\displaystyle {1^∞})]
[math(\displaystyle { = e^{∞ \times \ln{1}}})]
[math(\displaystyle { = e^{⊥}})]
[math(\displaystyle { = ⊥})]

[math(\displaystyle {a^∞})]

[math(\displaystyle {a^{∞} = {(a \times 1)}^{∞}})]
[math(\displaystyle { = a^{∞} \times 1^{∞}})]
[math(\displaystyle { = a^{∞} \times ⊥})]
[math(\displaystyle { = ⊥})]

[math(displaystyle {0^0})]

[math(\displaystyle {0^0})]
[math(\displaystyle {= e^{0 \ln {0}} = e^{0 \times ∞} = e^⊥})]
[math(\displaystyle {= ⊥})]

[math(\displaystyle {∞^0})]

[math(\displaystyle {∞^0 = e^{0 \ln {∞}} = e^{0 \times ∞} = e^⊥})]
[math(\displaystyle {= ⊥})]

[math(\displaystyle {⊥^0})]

[math(\displaystyle {⊥^0 = e^{0 \times \ln(⊥)} = e^{0 \times ⊥} = e^⊥})]
[math(\displaystyle {= ⊥})]

[math(\displaystyle {∞^∞})]

[math(\displaystyle {∞^∞ = e^{∞ \times \ln ∞} = e^∞})]
[math(\displaystyle {= ⊥})]

[math(\displaystyle {∞^⊥})]

[math(\displaystyle {∞^⊥ = e^{⊥ \times \ln ∞} = e^⊥})]
[math(\displaystyle {= ⊥})]

[math(\displaystyle {⊥^∞})]

[math(\displaystyle {{⊥^∞} = e^{∞ \times \ln ⊥} = e^⊥})]
[math(\displaystyle {= ⊥})]

[math(\displaystyle {⊥^⊥})]

[math(\displaystyle {{⊥^⊥} = e^{⊥ \times \ln ⊥} = e^⊥})]
[math(\displaystyle {= ⊥})]

4.2.3. 연산표

([math(a, b (> 0) \in \mathbb{R})])

<colbgcolor=#fff> [math(^)]	[math(b)]	[math(0)]	[math(-b)]	[math(∞)]	[math(⊥)]
[math(a)]	[math(a^b)]	[math(1)]	[math(1/{a^b})]	[math(⊥)]	[math(⊥)]
[math(0)]	[math(0)]	[math(⊥)]	[math(∞)]	[math(⊥)]	[math(⊥)]
[math(-a)]	[math(e^{i \pi b}a^b)]	[math(1)]	[math(e^{-i \pi b}/{a^b})]	[math(⊥)]	[math(⊥)]
[math(∞)]	[math(∞)]	[math(⊥)]	[math(0)]	[math(⊥)]	[math(⊥)]
[math(⊥)]	[math(⊥)]	[math(⊥)]	[math(⊥)]	[math(⊥)]	[math(⊥)]

실수인 밑과 지수에 대해서만 도식화했지만, 0이나 [math(∞)]의 경우 복소지수 연산에서도 실수부만 관심가지기 때문에 큰 의미는 없으며, 복소수 사이에서의 지수 연산은 부호 [math(-)]대신에 [math(e^{i \pi \theta})]를 대입하면 되기 때문에 밑이 음수인 지수 연산과 크게 다르지 않다.

5. 바퀴 이론의 수학적 의미

바퀴 이론은 기존의 사칙연산이 거의 성립하지 않는 체계이지만, 두가지 특이점을 제외하면 기존의 실수체와 비슷해진다. 위에서 보았듯이 [math(⊥)]이 연산에 들어가면 무조건 [math(⊥)]이 튀어나온다. 따라서 0을 0으로 나눈 수를 추가했지만, 이 수는 어떠한 연산을 해도 자기 자신이 되기 때문에 사실상 수 체계로서의 의미는 희소하다.

이와 관련한 논문은 1997년에 나왔지만, 위키피디아의 Wheel theory 문서도 그로 부터 7년이 지난 2004년에 만들어 졌고 나무위키의 바퀴 이론 문서는 논문이 나온지 26년만인 2023년에 만들어졌다는 것만 보아도 수학계에서도 주목을 크게 받지 못했다는걸 알 수 있다.[9][10] 따라서 바퀴 이론은 그저 0으로 나누기를 대수적으로 가능하게 만들려는 시도 중 하나일 뿐, 크게 연구 혹은 기존 수 체계와 병행하여 이용할만한 가치가 있다고 보기는 어렵다.

6. 둘러보기

0으로 나누기

[1] 기존 수 체계의 수의 순서 구조를 위상적으로 표현하면 일직선이다. 반면 실사영직선은 0으로 나누기 항목에 언급된 리만구의 2차원버전으로 바퀴에서 중심의 특이점이 빠진 구조다.[2] 혹은 연산을 2번 취하면 자기 자신이 되는[3] 1에 부호 반전 연산자를 통해 음수로 만든 -1을 곱한다고 정의하면 순환논리가 되기 때문에 다소 복잡하게 정의하지만, [math(\displaystyle {1 + a = 0})]이기 때문에 자연스레 실수체로 생각하면 [math(\displaystyle {a = -1})]이 성립한다.[4] [math(\displaystyle {1 / 0})]을 wolfram alpha로 검색해 보면 [math(\tilde {∞})]라는 모양이 나오는데 이는 방향이 정해지지 않은 무한대라는 기호이다. 주로 [math(∞)]는 양의 방향을 가진 확장된 실수 범위의 무한대를 의미하는데, 이와 구별하기 위해 물결표를 올려놓은 것이다. 사실 wolfram alpha를 통해서도 [math(0 / 0)]이나 [math(1 / 0)]을 이용하면 바퀴 대수학을 할 수 있는데, [math(⊥)] 대신 (undefined)라는 기호가 뜨므로 이를 유의해서 계산해보면 정말 아래의 바퀴의 모든 계산들에서 해당 결과들이 도출됨을 알 수 있다. 다만, (undefined)가 나온 이후로는 계산을 포기하므로, 계산식에 부정형이 하나라도 존재한다면 모든 계산식이 부정형이 되어버리는 것이라서 0/0의 바퀴대수학적 특징을 이용해서 (undefined)라는 결과를 도출하는 것이 아님은 주의하자.[5] 우연찮게 사영이 [math(x)]축으로 뻗은 것을 도식화한 느낌이다.[6] 정의로부터 부호 반전 연산 [math(-)]은 [math(\displaystyle {1 + a = 0})]이 되는 [math(a)]를 곱하는 계산이며, 뺄셈은 부호 반전한 수와의 덧셈으로 정의된다.[7] 사실 이상엽 Math 채널에선 [math(\displaystyle {1 / x})]를 이용하여 계산했지만, 일반적으로 리만 구에서 모든 복소수에 대해 [math(\displaystyle {∞ = z/0}, z \neq 0)]으로 정의되기에 굳이 x의 역수를 곱할 필요가 없다.[8] 역시 이상엽 Math 채널에선 [math(\displaystyle {1 / x})]를 이용하여 계산했지만, 당연히 실수 조건에 따라 [math(\displaystyle {0x = 0})]를 이용해서 계산해도 된다.[9] 여기서 한 술 더 뜨자면 바퀴 이론을 다루는 사이트는 미러 위키를 제외 한다면 앞서 서술한 바퀴 이론 논문, 위키피디아의 문서, 나무위키의 본 문서 딱 세개밖에 없다. 그마저도 나무위키의 본 문서는 개요에 달린 이상엽Math의 영상 업로드 이후에 생성된 문서이다.[10] 구글에 바퀴 이론이라고 검색하면 정작 수학에서의 바퀴 이론에 대한 건 거의 없고,
1. 사랑의 발달이란 바퀴처럼 하나의 순환과정으로서 라포형성단계, 자기노출단계, 상호의존단계, 개인욕구충족단계 네 가지 단계를 거친다는 내용의 이론인 사랑의 수레바퀴 이론과,
2. 새로운 형태의 소매점은 시장 진입 초기엔 저가격, 저서비스, 제한적 제품구색으로 시장에 진입하지만 비슷한 소매점이 생겨나고 경쟁하며 고비용, 고가격, 고소비 소매점으로 위치가 확립되고, 그 결과 새로운 유형의 소매점이 저가격, 저서비스, 제한적 제품구성으로 시장에 진입할 수 있는 여지를 제공하고 이것이 수레바퀴 처럼 반복된다는 내용의 소매 수레바퀴 이론이 더 많이 뜬다.
영어로 검색해도 별반 다를 것이 없다. 1페이지엔 바퀴 이론의 내용과 그에 대한 질문을 하는 글이 뜨지만 2페이지로 넘어가 보면 역시 사랑의 수레바퀴 이론과 소매 수레바퀴 이론에 대한 설명 뿐이다.

바퀴 이론

1. 개요

2. 정의와 정리

2.1. 1/0과 0/0의 정의

3. 실수 체계와 달라지는 사칙연산

3.1. ∞ = -∞

3.2. ∞+∞ = 2×∞?

3.3. 일반화

3.4. 유도되는 성질

3.5. ∞와 ⊥의 서로의 합

3.5.1. ∞+∞

3.5.2. ∞+⊥

3.5.3. ⊥+⊥

3.6. ∞와 ⊥의 서로의 곱

3.6.1. ∞×∞

3.6.2. ∞×⊥

3.6.3. ⊥×⊥

3.7. 0이 아닌 실수 x와 ∞, ⊥ 끼리의 덧셈과 곱셈

3.7.1. x + ∞

3.7.2. x + ⊥

3.7.3. x × ∞

3.7.4. x × ⊥

3.8. 0과 ∞, ⊥ 끼리의 덧셈과 곱셈

3.8.1. 0 + ∞

3.8.2. 0 + ⊥

3.8.3. 0 × ∞

3.8.4. 0 × ⊥

3.9. 연산표

4. 이외의 연산들

4.1. 역수

4.1.1. 역수와의 곱연산

4.2. 거듭제곱

4.2.1. 정의

4.2.2. 계산

4.2.3. 연산표

5. 바퀴 이론의 수학적 의미

6. 둘러보기

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