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1. 개요
phonon결정의 격자의 진동을 준입자 개념으로 설명한 것이다. 그리스어로 소리를 뜻하는 포네φωνή에 입자particle를 뜻하는 어미인 -on을 붙여 만든 단어다.
결정 내부의 원자들은 전자기력으로 서로 상호작용을 한다. 결정 안에 있는 모든 원자에 의한 상호작용을 고려할 경우 결정의 성질을 계산하기가 매우 어렵다. 대신 원자의 이웃한 격자점 간의 상호작용만 고려하여도 결정의 성질을 어느 정도 잘 설명할 수 있다. 이 설명을 좀 더 간단하게 하기 위해서 긴 고무줄 위에 공이 일정한 간격으로 늘어서 있다고 가정하자. 이 경우 공이 바로 격자점이 되는 것이고 공과 고무줄은 결정 전체를 뜻한다.
이때 공 하나를 잡고 왼쪽이나 오른쪽으로 당기고 놓게 되면 고무줄의 탄성력에 의해 건드린 공은 좌우로 흔들리게 된다. 그러나 그 흔들리는 공의 바로 옆에 있는 공들도 마찬가지로 진동으로 인해 흔들릴 것이고, 곧 고무줄 위에 있는 공 전체가 좌우로 흔들릴 것이다. 이러한 격자 내 진동을 그 점에서의 정상파로 표현하게 되면 양자역학에 따라 정상파들이 가질 수 있는 배열 조합이 2차 양자화되어 있다는 사실을 확인할 수 있다. 전자기파의 양자화된 알갱이를 광자라 하는 것처럼, 이 양자화된 역학적 진동이 바로 포논의 정체이다.
2. 상세
포논은 결정이 가진 열에너지가 어떤 식으로 퍼져나가는지 설명하는데 가장 중요한 역할을 한다. 결정 내에서 열에너지는 위에서 설명한 고무줄과 공의 예시처럼, 열에너지가 포논으로 바뀌어서 결정 전체로 퍼져나가는 현상을 서술할 수 있게 된다. 결정의 열전도를 설명하는데 포논은 빼놓을 수 없다.포논은 보스-아인슈타인 분포를 따르는 보손 입자이다. 파울리 배타원리를 따르지 않기 때문에 어떤 계 내의 포논들이 동일한 상태를 갖는 것이 가능하다. 또, 포논의 숫자를 보존하는 대칭성이 없기 때문에 격자내의 포논 밀도 혹은 숫자는 온도와 상태밀도 따라 결정된다. 따라서 계가 바닥상태가 되는 절대영도에서는 포논이 존재하지 않는다.
금속 내부의 포논은 자유전자와 산란을 일으켜 자유전자의 흐름을 방해한다. 따라서 금속의 온도가 올라 포논의 밀도가 증가하면 전기 저항이 커지게 된다. 포논과 자유전자의 산란은 자유 전자 모형에서 예측한 비저항이 실제 값과 달라지게 되는 요인 중 하나이기도 하다.
3. 분석
아주 간단한 분석을 위해 1차원에 기본 셀에 입자가 2개 있는 결정 상수가 [math(a)]인 1차원 물질을 고려하자.이제 [math(j)]번째 입자 1의 변위를 [math(u_{j})], [math(j)]번째 입자 2의 변위를 [math(s_{j})]라 하자.
[math(j)]번째 입자 1의 운동 에너지는
[math(\displaystyle T_{j}^{(1)}=\frac{1}{2}m_{1}\dot{u}_{j}^{2} )]
[math(j)]번째 입자 1의 퍼텐셜 에너지는
[math(\displaystyle U_{j}^{(1)}=\frac{1}{2}C(u_{j}-s_{j})^2+\frac{1}{2}C(u_{j}-s_{j-1})^{2} )]
[math(C)]는 힘 상수이다. 따라서 [math(j)]번째 입자 1의 라그랑지언은
[math(\displaystyle L_{j}^{(1)}=\frac{1}{2}m_{1}\dot{u}_{j}^{2}-\frac{1}{2}C(u_{j}-s_{j})^2-\frac{1}{2}C(u_{j}-s_{j-1})^{2} )]
유사한 방법으로 [math(j)]번째 입자 2의 라그랑지언은
[math(\displaystyle L_{j}^{(2)}=\frac{1}{2}m_{1}\dot{s}_{j}^{2}-\frac{1}{2}C(s_{j}-u_{j+1})^2-\frac{1}{2}C(s_{j}-u_{j})^{2} )]
오일러-라그랑주 방정식을 통해 입자의 운동 방정식을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} m_{1}\ddot{u}_{j}&=C[s_{j}+s_{j-1}-2u_{j}] \\ m_{2}\ddot{s}_{j}&=C[u_{j+1}+u_{j}-2s_{j}] \end{aligned})]
이때, 진동 해가 예상되므로 [math(u_{j}=u e^{ikja}e^{-i \omega t})], [math(s_{j}=s e^{ikja}e^{-i \omega t})]를 대입한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} -\omega^{2}m_{1}u&=Cs[1+e^{-ika}]-2Cu \\ -\omega^{2}m_{2}s&=C[1+e^{ika}]-2Cs \end{aligned})]
이것을 행렬 꼴로 바꾸면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \begin{bmatrix}
2C-\omega^2 m_{1} & -C[1+e^{-ika}] \\
-C[1+e^{ika}] & 2C-\omega^{2}m_{2} \\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
u \\
s \\
\end{bmatrix} s \\
=\begin{bmatrix}
0 \\
\end{bmatrix} \end{aligned})]0 \\
이 방정식이 해를 갖기 위해선 다음의 영년 방정식을 만족시켜야 한다.
[math(\displaystyle \begin{vmatrix}
2C-\omega^2 m_{1} & -C[1+e^{-ika}] \\
-C[1+e^{ika}] & 2C-\omega^{2}m_{2} \\
\end{vmatrix}=0 )]
즉,
[math(\displaystyle m_{1}m_{2}\omega^{4}-2C(m_{1}+m_{2})\omega^{2}+4C^{2}\sin^{2}{\frac{ka}{2}}=0 )]
이는 [math(\omega^{2})]에 대한 이차 방정식으로, 그 해는
[math(\displaystyle \omega^{2}=\frac{C[(m_{1}+m_{2}) \pm \sqrt{m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2m_{1}m_{2}\cos{ka} }]}{m_{1}m_{2}} )]
이때, [math(+)]해를 [math(\omega_{+})], [math(-)]해를 [math(\omega_{-})]라 하면, 항상 [math(\omega_{+}>\omega_{-})]인데, 전자의 경우 광 포논(optical phonon), 후자의 경우 음향 포논(acoustic phonon)이라 한다.
위 그래프는 1차 브릴루앙 영역에서 주파수-파수 분산 관계를 나타내었다. 위 그림과 같이 허용되지 않은 주파수들이 있음을 알 수 있다.
광 포논의 경우 인접한 입자가 서로 반대 방향으로 진동한다. 음향 포논의 경우 인접한 입자가 서로 같은 방향으로 진동한다. 아래는 입자의 변위를 세로축에 나타낸 입자들의 변위 분포이다.
이곳에서 쉽게 이해할 수 있다.
광 포논의 경우 전자기파와의 상호 작용이 되며, 음향 포논의 경우 전자기파와의 상호 작용이 없다. 그러나 열의 전도 기여는 음향 포논의 경우가 더 크게 작용한다.
이때문에 전자기파와 상호작용하는 포논의 경우, 광 포논이라는 이름이 붙었고, 음향 포논은 음향과 같은 방식으로 운동함에서 그 이름이 붙었다.
3.1. 모드의 개수
일반적으로 [math(N)]개의 입자가 고체 내에 있다면, 자유도는 차원의 수에 [math(N)]을 곱한 것과 같다.이때, 포논 모드의 개수는 위의 자유도의 개수와 같다.
3.2. 최대 주파수
위에서 주파수-파수와의 분산 관계에서 보듯, 포논이 가질 수 있는 최대 주파수가 존재한다. 따라서 광자 기체를 다룰 때와 다르게 포논은 최대 진동수가 존재함을 고려해줘야 한다.4. 고체의 열용량
이제 양자 통계역학을 이용하여 포논 기체의 열용량을 구해보고자 한다.고전적으로는 모든 고체의 열용량은 온도에 관계 없이 [math(3Nk_{B})]로 예측되었다. 그러나 정밀한 실험을 통해 저온 영역에 대해서는 그것이 맞지 않음이 드러났고, 이에 대하여 두 명의 물리학자 아인슈타인과 드바이는 양자 통계역학을 이용하여 서로의 모형을 통해 이 현상을 규명하고자 하였다.
결론적으로 말하자면, 아인슈타인 모형보다는 드바이 모형이 더 실험치에 맞았고, 여기서는 드바이 모형만을 살펴보고자 한다.
[math(N)]개의 입자가 고체 내에 있다고 가정하자. 3차원이라면 포논 모드의 개수는 [math(3N)]개가 될 것이다.
포논의 에너지는 다음과 같이 양자화돼있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \varepsilon=\hbar \omega \end{aligned} )]
포논의 운동량을 [math(\mathbf{k})]라 하면, 주기 경계 조건에 의해 고체의 한 변의 길이를 [math(L)], 고체에 포함된 한 축에 대한 입자의 개수를 [math(N)]이라 하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} k_{j}=\frac{2\pi n}{L} \end{aligned} )]
이때, [math(|n| \leq N)]을 만족하는 정수이다. 한편, 에너지는 [math(\hbar v \omega)]로 나타낼 수 있고, 이때문에 상태 밀도는 아래와 같이 구할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{D}(k)=\frac{4\pi k^2}{\dfrac{8\pi^3}{V}}=\frac{Vk^2}{2\pi^2} \end{aligned} )]
위의 정보를 종합하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{D}(\omega)=\frac{V \omega^2}{2\pi^2 v^{3}} \end{aligned} )]
이다. 그런데, 3가지의 다른 상태가 존재할 수 있음을 기억하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{D}(\omega)=\frac{3V \omega^2}{2\pi^2 v^{3}} \end{aligned} )]
따라서 상태 밀도를 최대 주파수까지 적분하면, 포논 모드의 개수가 나오는데,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{\omega_{\sf max}} \mathcal{D}(\omega)\,{\rm d}\omega=3N \end{aligned} )]
따라서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{V}{2 \pi^{2} v^{3}} \omega_{\sf max}^{3}=3N \end{aligned} )]
이상에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \omega_{\sf max}=\biggl(\frac{6\pi^{2}N}{V} \biggr)^{1/3}v \end{aligned} )]
이다.
포논은 보손 입자로써 온도에 따른 분포는 보스-아인슈타인 분포로 주어진다.
[math(\begin{aligned} \mathcal{N}(\varepsilon) =\frac{1}{e^{\beta\hbar \omega }-1}\end{aligned})]
이때, 광자와 같은 이유로 포논의 화학 퍼텐셜은 0이다.
한편, 총 에너지를 참고해보면,
[math(\begin{aligned} U=\sum_{\omega=0}^{\omega_{\sf max}} \hbar \omega \biggl(\frac{1}{2}+n_{\omega} \biggr) \end{aligned})]
이다.
이제 이것을 적분으로 바꾸면,
[math(\begin{aligned} U=\int_{0}^{\omega_{\sf max}} \biggl(\frac{1}{e^{\beta\hbar \omega }-1}+\frac{1}{2} \biggr) \hbar \omega \mathcal{D}(\omega) \,{\rm d} \omega \end{aligned})]
간단히 하면,
[math(\begin{aligned} U=\frac{3V \hbar}{2\pi^2 v^3} \biggl[\int_{0}^{\omega_{\sf max}} \frac{\omega^{3}}{e^{\hbar \omega/k_{B}T} -1}\,{\rm d}\omega+\frac{1}{8}\omega_{\sf max}^{4} \biggr] \end{aligned})]
이제 드바이 온도 [math(\Theta_{D})]를 도입할 것이다.
[math(\begin{aligned} \hbar \omega_{\sf max} \equiv k_{B} \Theta_{D} \end{aligned})]
따라서
[math(\begin{aligned} \omega_{\sf max}&=\frac{k_{B} \Theta_{D}}{\hbar} \\ \Theta_{D}&=\frac{\hbar \omega_{\sf max}}{k_{B}}=\frac{\hbar v}{k_{B}}\biggl(\frac{6\pi^{2}N}{V} \biggr)^{1/3} \end{aligned})]
이제 적분 변수를 [math(x \to \hbar \omega /k_{B} T)]로 취하면,
[math(\begin{aligned} x_{\sf max}=\frac{\hbar \omega_{\sf max}}{k_{B}T}=\frac{\Theta_{D}}{T} \end{aligned})]
가 되고, 적절한 정리를 하면 다음과 같은 꼴을 얻는다.
[math(\begin{aligned}9Nk_{B} \Theta_{D} \biggl[ \biggl(\frac{T}{\Theta_{D}} \biggr)^{4} \int_{0}^{\Theta_{D}/T} \frac{x^3}{e^x-1}\,{\rm d}x +\frac{1}{8} \biggr] \end{aligned})]
고온의 영역, 즉 [math(T \gg \Theta_{D})]일 때는 적분의 상한은 매우 작게 되고, 이에 따라 [math(e^{x} \approx 1+x)]의 근사를 할 수 있다.
[math(\begin{aligned}9Nk_{B} \Theta_{D} \biggl[ \biggl(\frac{T}{\Theta_{D}} \biggr)^{4} \int_{0}^{\Theta_{D}/T} x^{2}\,{\rm d}x +\frac{1}{8} \biggr] =3Nk_{B}T+\sf{const.} \end{aligned})]
따라서 고온 영역에서 열용량은
[math(\begin{aligned} C_{V}=\frac{{\rm d}U}{ {\rm d}T}=3Nk_{B}T \quad (T \gg \Theta_{D}) \end{aligned})]
만약 저온 영역, 즉 [math(T \ll \Theta_{D})]라면, 적분의 상한은 매우 커져 [math(\infty)]가 되고, 그렇게 되면, 적분의 값은 [math(4\pi^{2}/15)]임이 알려져있다.
[math(\begin{aligned}9Nk_{B} \Theta_{D} \biggl[ \biggl(\frac{T}{\Theta_{D}} \biggr)^{4} \frac{4\pi^{2}}{15}+\frac{1}{8} \biggr] \end{aligned})]
이상에서 저온에서 열용량은
[math(\begin{aligned} C_{V}=\frac{12\pi^{4} }{5} \biggl(\frac{T}{\Theta_{D}} \biggr)^{3}Nk_{B} \quad (T \ll \Theta_{D})\end{aligned})]
즉, 저온의 영역에서는 열용량이 온도의 세제곱에 비례함을 알 수 있는데, 이것을 드바이 [math(\boldsymbol{T^3})] 법칙이라 한다.