최근 수정 시각 : 2020-03-17 20:36:29

변분 원리

양자역학
{{{#!wiki style="word-break: keep-all; margin: -5px -11px; padding: 5px 0px"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin: -5px 0px"
배경 흑체복사 · 광전효과 · 콤프턴 산란 · 보어의 원자모형 · 물질파 · 데이비슨-거머 실험 · 불확정성 원리 · 슈테른-게를라흐 실험
이론 체계 슈뢰딩거 방정식 · 파동함수 · 연산자 · 행렬 역학 · 스핀 · 경로적분 · 양-밀스 질량 간극 가설 · 양자장론
양자역학의 해석 코펜하겐 해석 · 앙상블 해석 · 숨은 변수 이론 ( EPR 역설 ) · 벨의 부등식
양자역학의 묘사 슈뢰딩거 묘사 · 하이젠베르크 묘사 · 디랙 묘사
근사법 섭동 이론 · 변분 원리 · WKB 근사법 · 기하학적 위상
기타 클라인-고든 방정식 · 디랙 방정식 · 교재 }}}}}}}}}


1. 개요2. 예시

1. 개요

변분 방법(variational method), 변분 원리(variational principle), 혹은 Ritz의 변분 원리(Ritz variational principle)라고도 한다. 물리학적으로는, 해밀토니안 H\mathcal{H}로 기술된 어떤 계의 바닥 상태를 슈뢰딩거 방정식으로 정확하게 구할 수 없을 때 사용하는 근사법이다. 물리학 뿐만 아니라 여러 분야에서 사용되는 수학적 툴이다.
정도주의의 철학을 보여주는 기법

이를 처음 공부하게 되면, 이게 무슨 이렇게 뜬구름 잡는 소리지? 하고 이해하기 매우 힘들다. 그리고 사실 이를 말로 전달하기 어려운 내용인 것도 사실이다. 당장 이해 안된다고 포기하지 말고, 차근 차근 곱씹어 보도록 하자(사실 변분 원리의 본질을 캐치해 낼 수 있으면 똑똑한 것!).

간단히 말하면, 변분 원리는 어떤 계에서의 파동함수를 대충 때려맞춰서 정하고(시험함수), 그 시험함수를 이용해서 계의 해밀토니안의 기댓값(보통 최솟값)을 구하는 거다. 밑의 예시를 보면 알겠지만, 헬륨의 경우에도 계의 해밀토니안은 확실히 쓸 수 있지만, 문제는 비선형 항이 있어서 해석적으로 정확히 풀 수가 없다. 이때 파동함수 하나를 대충 정한 뒤(물론 가리움효과 적용) 그걸 써서 해밀토니안의 기댓값을 구하는 것.

2. 예시

헬륨은 핵 하나에 전자 두 개가 있어서 3체 문제가 되기 때문에 해석적으로 정확하게 풀어낼 수가 없다. 따라서 변분 원리에 가리움 효과(screening effect)[1]를 적용해서 풀어보면 실제 실험으로 얻어진 헬륨 원자의 바닥 상태 에너지와 매우 비슷한 결과를 얻을 수 있다.

수소 분자 이온 H2+\mathrm{H_{2}^{+}} 역시 마찬가지로 양성자 2개에 전자 하나이므로 이 또한 변분 원리를 통해서 근사적으로 문제를 풀 수 있다.

[1] 전자끼리 반발력이 작용해서 핵과 전자 사이의 인력이 줄어들어 핵의 유효 전하량이 줄어드는 효과