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1. 개요
헬만-파인만 정리는 양자역학내 뉴턴역학적 표현을 해석적으로 보완하는 해밀토니언 형식이다.2. 정의
양자역학에서의 뉴턴 역학적 표현을 해석적으로 보완하기 위한 형식을 여러명의 학자들이 고안했는데, 이중 파인만의 접근과 헬만의 접근을 각각 엮어서 헬만-파인만 정리로 소개되었다.헬만과 파인만의 접근은 매개변수로 미분된 해밀토니언 연산자에 내적(혹은 힐베르트 직교화)이 이루어졌다는 공통점을 시사한다. 두 학자의 접근으로 부터 유도된 공통된 정의는 다음과 같다.
[math(\begin{aligned} \frac{\partial E(\lambda)}{\partial \lambda}=\biggl<\varphi(\lambda) \biggl| \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda} \biggr|\varphi(\lambda) \biggr>\end{aligned})]
3. 섭동 유도
어떤 양자계의 해밀토니언 [math(\mathcal{H})]가 [math(\lambda)]의 함수라고 가정하고, [math(E_{n}(\lambda))], [math(\varphi_{n}(\lambda))]가 해당 해밀토니언에 대한 고윳값과 고유함수라 하고, 해밀토니언에 [math(\lambda)]에 대한 약간의 섭동([math(\lambda \to \lambda+{\rm d}\lambda)])을 가한다면, 섭동 해밀토니언은 다음과 같이 쓸 수 있다.[math(\begin{aligned} \mathcal{H}'&=\mathcal{H}(\lambda+{\rm d}\lambda)-\mathcal{H}(\lambda) \\&=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda}\,{\rm d}\lambda +\mathcal{O}((\rm d\lambda)^2) \end{aligned})]
이때, 1차 보정 에너지는 다음과 같이 주어진다.
[math(\begin{aligned} \langle \varphi_{n}(\lambda) |\mathcal{H}'| \varphi_{n}(\lambda) \rangle=\biggl<\varphi_{n}(\lambda) \biggl| \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda} \biggr|\varphi_{n}(\lambda) \biggr>\,{\rm d}\lambda \end{aligned})]
1차 보정 에너지는 곧 섭동에 의한 에너지 변화량이 되므로,[1]
[math(\begin{aligned} \Delta E_{n}&=E(\lambda+{\rm d}\lambda)-E(\lambda) \\&=\frac{\partial E_{n}(\lambda)}{\partial \lambda}\,{\rm d}\lambda \end{aligned})]
[math(\begin{aligned} \frac{\partial E_{n}(\lambda)}{\partial \lambda}=\biggl<\varphi_{n}(\lambda) \biggl| \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda} \biggr|\varphi_{n}(\lambda) \biggr>\end{aligned})]
4. 파인만의 접근
분자간 전자기 현상을 표현하는 인력과 척력은 양자역학에서 쓰이는 대표적인 뉴턴역학적 개념이다. 하지만, 뉴턴역학만 온전히 사용하는 것은 양자역학에서 에너지라는 표현으로 정의되는 파동역학으로 설명하기 어색한 부분이 존재하는 문제점이 있다.1939년 리처드 파인만은 뉴턴역학적 표현들을 파동역학적으로 접근하기 위해 무차원 매개변수 [math(\lambda)]를 에너지에 미분해 힘과 에너지의 관계를 유도했고, 에너지가 곡선 형태의 함수일때 그것의 기울기로써 힘을 설명했다.
[math(\begin{aligned} f_{\lambda} = -\frac{\partial E(\lambda)}{\partial \lambda}\end{aligned})]
힘을 평균 에너지로 보기 위해 에너지를 해밀토니언으로 바꿔쓰고 규격화를 한다면,
[math(\begin{aligned} f_{\lambda} = -\biggl< \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda} \biggr> =-\biggl<\varphi (\lambda) \biggl| \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda} \biggr|\varphi^*(\lambda) \biggr>\end{aligned})]
한편, 해밀토니언이 자기 수반 연산자라는 특성과 디랙 표기법을 따르므로[2], 오른쪽 항은 아래와 같이 미분이 가능하다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial E(\lambda)}{\partial \lambda}&=\dfrac{\partial}{\partial \lambda} \biggl<\varphi(\lambda) \biggl| \mathcal{H} \biggr|\varphi(\lambda) \biggr>\\ &= \biggl<\varphi (\lambda) \biggl| \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda} \biggr|\varphi^*(\lambda) \biggr>+\biggl<\frac{\partial \varphi (\lambda)}{\partial \lambda} \biggl| \mathcal{H} \biggr|\varphi^*(\lambda) \biggr>+\biggl<\varphi (\lambda) \biggl| \mathcal{H} \biggr|\frac{\partial \varphi^*(\lambda)}{\partial \lambda} \biggr> \\ &= \biggl<\varphi (\lambda) \biggl| \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda} \biggr|\varphi^*(\lambda) \biggr>+E_{\lambda} \biggl<\frac{\partial \varphi (\lambda)}{\partial \lambda} \biggl|\varphi^*(\lambda) \biggr>+E_{\lambda} \biggl<\varphi (\lambda) \biggl|\frac{\partial \varphi^*(\lambda)}{\partial \lambda} \biggr> \\ &= \biggl<\varphi (\lambda) \biggl| \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda} \biggr|\varphi^*(\lambda) \biggr>+E_{\lambda} \frac{\partial}{\partial \lambda}\langle \varphi (\lambda) |\varphi^*(\lambda) \rangle \\ &= \biggl<\varphi (\lambda) \biggl| \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda} \biggr|\varphi^*(\lambda) \biggr>\end{aligned})] |
전자기 현상을 직접 다루기 위해 해밀토니언을 다시 퍼텐셜 에너지로 바꿔쓰고, 파동함수를 좀더 정밀하게 다루기 위해, 파동함수 [math(\varphi)]는 몇몇 핵자들을 포함한다고 가정하고, 핵자들 하나당 공간 좌표를 [math(X, Y, Z)] 내지는 [math(X_{\mu})][3]로 가진다고 추가로 가정한다. 그러면, 다음과 같다.
[math(\begin{aligned} f_{\mu} =-\biggl<\varphi (X_{\mu}) \biggl| \frac{\partial V}{\partial X_{\mu}} \biggr|\varphi^*(X_{\mu}) \biggr>\end{aligned})]
전자기 현상에서 퍼텐셜이 발생할수 있는 경우는 핵자간 상호작용, 핵자-전자 상호작용, 전자간 상호작용이므로, 원자내 발생가능한 퍼텐셜을 조사하기 위해 세개의 항으로 쪼개고, 전자의 공간 좌표를 [math(x_{\mu}^{e})]라고 한다면,
[math(\begin{aligned} V=\sum V_{NN'} + \sum V_{N'e} + \sum V_{ee} \end{aligned})]
쿨롱 퍼텐셜의 정의에 의해, 위 식 중간항의 좌표가 [math(R=X_{\mu}^{N'}-x_{\mu}^{e})]라면, 퍼텐셜 미분은 다음과 같이 정리된다.
[math(\begin{aligned} \frac{\partial V_{N'e}}{\partial R}\frac{\partial R}{\partial X_{\mu}^{N}} &=-\delta_{N'}^{N} \frac{\partial V_{N'e}}{\partial R}\frac{\partial R}{\partial x_{\mu}^{e}} \\
\frac{\partial V_{N'e}}{\partial X_{\mu}^{N}}&=-\delta_{N'}^{N} \frac{\partial V_{N'e}}{\partial x_{\mu}^{e}} \end{aligned})]
쿨롱 퍼텐셜에서의 파인만의 접근법을 적용하면,
| [math(\displaystyle \begin{aligned} f_{\mu}&= \biggl<\varphi(x_{\mu}) \biggl| \sum_{e} \dfrac{\partial V_{N'e}}{\partial x_{\mu}^{e}} \biggr|\varphi^*(x_{\mu}) \biggr> - \sum_{N'} \biggl<\varphi(x_{\mu}) \biggl| \dfrac{\partial V_{NN'}}{\partial X_{\mu}^{N}} \biggr|\varphi^*(x_{\mu}) \biggr> \\ &=\int \sum_{e} \dfrac{\partial V_{N'e}}{\partial x_{\mu}^{e}} \int i \langle \varphi(x_{\mu})|\varphi^*(x_{\mu}) \rangle \, {\rm d}x_{\mu} - \sum_{N'} \dfrac{\partial V_{NN'}}{\partial X_{\mu}^{N}} \end{aligned})] |
이때,
[math(\displaystyle\sum_{e} \dfrac{\partial V_{N'e}}{\partial x_{\mu}^{e}})]
가 전자기장 [math(E_{\mu}^{N}(x^{e}))]이고,
[math(\displaystyle\int i \langle \varphi(x_{\mu})|\varphi^*(x_{\mu}) \rangle\, {\rm d}x_{\mu})]
가 전하 밀도 분포 [math(\sum \rho(x))]로 정의 될때, 파인만의 접근법은 최종적으로 다음과 같다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned}f_{\mu}=\int E_{\mu}^{N}(x^{e}) \sum \rho(x)\,\,{\rm d}x_{\mu} - \sum_{N'} \dfrac{\partial V_{NN'}}{\partial X_{\mu}^{N}} \end{aligned})] |
5. 헬만의 접근
6. 참고 문헌
- R. P. Feynman, Force in Molecules, Phys. Rev. 56, 340(1939)
[1] 여기서 1차항만 다룬 것은 우리가 1차 보정 에너지만 다루고 있기 때문이다.[2] [math(\mathcal{H}|\varphi(\lambda)\rangle = E_{\lambda}|\varphi(\lambda)\rangle)].[3] [math(\mu = 1,2,3)].