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| 행적 및 활동 | 행적 · 활동 | ||
| 소속 | 로스 앨러모스 국립 연구소 · 코넬 대학교 · 캘리포니아 공과대학교 | ||
| 관련 학자 | 폴 디랙 · 한스 베테 · 존 폰 노이만 · 줄리어스 로버트 오펜하이머 · 엔리코 페르미 · 도모나가 신이치로 · 줄리언 슈윙거 · 프리먼 다이슨 · 머리 겔만 · 스티븐 울프럼 · 피터 쇼어 | ||
| 저서 | 파인만의 물리학 강의 | ||
| 기타 | 파인만 알고리즘 · 파인만 포인트 · 확률컴퓨터 · 확률미적분학 · 경로적분/응용 · 나노머신 · STS-51-L · 트리니티 실험 · 파인마늄 |
1. 개요
경로적분(經路積分, path integral) 또는 파인만 적분은 어떤 물체 혹은 물리량이 이동 가능한 경로를 모두 더해서 나타내는 것을 말한다.고전역학적으로, 물리량의 경로는 초기 조건과 퍼텐셜이 주어지면 라그랑주 역학에 의해 최소 작용의 원리를 만족하는 단 하나의 경로로 결정되는 데 반해, 양자역학에서는 이렇게도 갈 수 있고, 저렇게도 갈 수 있으므로 이런 가능한 경로를 모두 더해서 나타내는 것이다. 양자 전기역학에서 도입한 개념으로 유명하며, 정준양자화와 함께 양자화에 쓰이는 대표적인 방법중 하나이다. 양자화를 대중과학 서적에서는 중첩이라고 표현하기도 한다.
특정한 경우 라그랑주 역학이 뉴턴 역학과 동치인 것처럼, 경로적분은 슈뢰딩거 방정식과 동치이다.
2. 정립
폴 디랙이 최초로 형식주의적 접근을 하였고, 리처드 파인만이 형식주의를 구체화함과 동시에 정식화를 완성했다. 추가적인 변형은 루드비그 파데예프, 브라이스 디윗, 헤라르뒤스 엇호프트, 레이몽 스토라, 케네스 윌슨, 스티븐 호킹, 하겐 클라이네르트, 알렉산드르 폴랴코프등을 중심으로 이루어졌으며, 확장은 마크 카츠의 확률 미적분학으로의 대입이 대표적이다.1933년 폴 디랙은 힐베르트 공간의 복소 액션 적분 연속체 개념을 처음으로 제시했고, 라그랑지언의 액션을 복소 적분 연속체의 인자로 소개하면서, 경로적분 정식화의 서막을 열었다.[1]
리처드 파인만은 수년에 걸쳐서[2] 경로적분의 정식화를 완성시켰다. 1942년 단순 조화 운동의 최소 액션 원리의 기초적 설명과 상호작용을 설명하는 과정에서 라그랑지언 범함수의 좌표 성분에 섭동을 가하여, 좌표성분과 섭동 성분의 범함수 인자를 도출했다.[3] 이를 진동자의 액션에 추가함과 더불어 힐베르트 공간에 푸리에 해석을 적용하여 가우스 적분을 도입했다. 맨해튼 계획이 종료된 이후, 1948년에는 복소 액션 적분 연속체를 힐베르트 공간의 확률진폭의 계산 개념으로 설명하여 경로적분의 초안이 만들어졌다. 1949년에는 적분 연속체가 그린함수로 확장되었고, 양자전기역학에 본격적으로 도입하기 위한 시도가 이루어졌다. 1950년에는 경로적분의 추가적인 수학적 정식화를 위해 단순 조화 운동(SHM) 기반 상호작용 액션부분을 진동자의 범함수 복소 액션으로 도출하는 과정에서 적분 연산자가 핵(Kernel)의 개념으로 정의되었다.
한편, 마크 카츠는 비에너 함수의 해를 구하기 위해 경로적분을 일부 변형하여 파인만-카츠 공식을 제안했고, 이토 기요시의 확률 미적분학 정립에 있어서 일부 기여되었다.
3. 설명
경로적분을 유도하는 방법은 크게 양자역학의 묘사에서부터 시작하는 방법과 양자 상태의 단순조화운동(SHM)에서 시작하는 방법으로 나뉜다. 다만, 양자역학의 묘사나 SHM이나 유도방법에 차이가 있을뿐 기초적으로 변분법에서부터 시작된다는 점은 변하지 않는다.이 문서에서는 양자장론 교재들에서 흔히 쓰이는 접근 방법인 양자역학의 묘사에서 출발하는 방법을 쓰기로 한다. M. Nakahara의 Geometry, Topology, and Physics (2nd Ed.)의 Section 1.3의 내용을 바탕으로 작성되었고, 리처드 파인만의 경로적분의 초안 논문인 “Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics”, Rev. Mod. Phys. 20, 367(1948)를 참조했다.[4]
3.1. 힐베르트 공간과 개념
고전역학에서 물리학자들이 주로 다루는 대상은 물체의 물리적인 정보이다.[5] 다만, 양자역학에서는 조사하려는 물리적인 대상이 '상태(state)'인데, 주어진 입자의 위치, 질량, 운동량, 에너지, 각운동량 등등 다양한 정보들을 담고 있다.[6] 이는 고전역학에서 다루는 것보다 훨씬 추상화된 대상이다. 양자역학의 공리는 어떤 물체의 정확한 궤적을 알 방법이 없거니와, 심지어 일정 시간이 지난 후에 물체가 정확히 어디에 있을지도 알 수 없는 것을 설명한다. 이는 어떤 상태에서 다른 상태로 전이할 확률(transition probability) 혹은 전이 진폭(transition amplitude)으로 표현된다. (여기서 전이 확률은 전이 진폭의 절댓값의 제곱으로 나타내어진다.) 물체가 몇 초 후에 정확히 어디에 있을지는 알 수 없지만 양자역학에 따르면 물체가 몇 초 후에 어디에 있을 확률(혹은 전이 진폭)은 정확하게 알 수 있기 때문이다.[7] 이렇게 보면 고전역학에서 다루는 시간에 따른 물체의 궤적과 양자역학에서 대응하는 것은 전이 진폭임을 엿볼 수 있다.상태는 보통 다음과 같이 브라켓(bracket)의 켓(ket)으로 표현된다.
[math(|x_i; t_i \rangle)] |
[math(\langle x_f; t_f | x_i; t_i \rangle)] |
연산자들끼리의 선형 결합도 연산자라는 사실을 확장하여, 연산자를 이와 같이 적분하는 걸 생각할 수 있다.[11]
[math(\displaystyle \int | x_f; t_f \rangle \langle x_f; t_f | \,{\rm d}x_f )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \bigg\langle \psi \bigg\rvert \biggl( \int |x_f;t_f \rangle \langle x_f;t_f | \,{\rm d}x_f \biggr) \bigg\lvert \psi \bigg\rangle &= \int \langle \psi | x_f;t_f \rangle \langle x_f;t_f | \psi \rangle \,{\rm d}x_f \\ &= \int |\langle x_f;t_f | \psi \rangle|^2 \,{\rm d}x_f \\ &= 1 \end{aligned} )] |
그런데 맨 마지막 우변 1은 [math(\langle \psi | \psi \rangle)]와 같다. 사실 주어진 입자를 기술하는 상태는 기본적으로 규격화된 것이어야 하기 때문에 기본적으로 깔고 가는 것이다. 모든 벡터가 규격화 가능하고, 그 과정을 되짚어 보면 위 결과를 힐베르트 공간의 규격화하지 않은 모든 [math(|\psi \rangle)]에 대해 다음과 같이 일반화할 수 있다.
[math(\displaystyle \bigg\langle \psi \bigg\rvert \biggl( \int |x_f;t_f \rangle \langle x_f;t_f | \,{\rm d}x_f \biggr) \bigg\lvert \psi \bigg\rangle = \langle \psi|\psi \rangle )] |
즉, 다음을 함의한다.
[math(\displaystyle \int |x_f;t_f \rangle \langle x_f;t_f| \,{\rm d}x_f = {\bf 1} )] |
연산자의 결정적인 응용을 위해, 단위시간을 다음과 분리해서정의한다면
[math(\displaystyle t_j = t_i + (\Delta t) j, \quad \Delta t = \frac{t_f - t_i}n )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \langle x_f; t_f | x_i; t_i \rangle &= \langle x_n; t_n | x_0; t_0 \rangle \\ &= \bigg\langle x_n;t_n \bigg\rvert \biggl( \int |x_1;t_1 \rangle \langle x_1;t_1 | \,{\rm d}x_1 \biggr) \bigg\lvert x_0;t_0 \bigg\rangle \\ &= \int \langle x_n;t_n | x_1;t_1 \rangle \langle x_1;t_1 | x_0;t_0 \rangle \,{\rm d}x_1 \\ &= \int \bigg\langle x_n;t_n \bigg\rvert \biggl( \int |x_2;t_2 \rangle \langle x_2;t_2 | \,{\rm d}x_2 \biggr) \bigg\lvert x_1;t_1 \bigg\rangle \langle x_1;t_1 | x_0;t_0 \rangle \,{\rm d}x_1 \\ &= \iint \langle x_n;t_n | x_2;t_2 \rangle \langle x_2;t_2 | x_1;t_1 \rangle \langle x_1;t_1 | x_0;t_0 \rangle \,{\rm d}x_2 \,{\rm d}x_1 \\ &= \iint \bigg\langle x_n;t_n \bigg\rvert \biggl( \int |x_3;t_3 \rangle \langle x_3;t_3 | \,{\rm d}x_3 \biggr) \bigg\lvert x_2;t_2 \bigg\rangle \langle x_2;t_2 | x_1;t_1 \rangle \langle x_1;t_1 | x_0;t_0 \rangle \,{\rm d}x_2 \,{\rm d}x_1 \\ &= \iiint \langle x_n;t_n | x_3;t_3 \rangle \langle x_3;t_3 | x_2;t_2 \rangle \langle x_2;t_2 | x_1;t_1 \rangle \langle x_1;t_1 | x_0;t_0 \rangle \,{\rm d}x_3 \,{\rm d}x_2 \,{\rm d}x_1 \\ &= \cdots \\ &= \underbrace{\iint \!\cdots \!\int}_{n-1} \langle x_n;t_n | x_{n-1};t_{n-1} \rangle \langle x_{n-1};t_{n-1} | x_{n-2};t_{n-2} \rangle \cdots \langle x_2;t_2 | x_1;t_1 \rangle \langle x_1;t_1 | x_0;t_0 \rangle \,{\rm d}x_{n-1} \cdots \,{\rm d}x_2 \,{\rm d}x_1 \end{aligned} )] |
시간 [math(t_0=t_i)]일 때 [math(x_0=x_i)]에서 출발 → 시간 [math(t_1)]일 때 [math(x_1)]로 도달 → 시간 [math(t_2)]일 때 [math(x_2)]로 도달 → [math(\cdots)] → 시간 [math(t_{n-1})]일 때 [math(x_{n-1})]로 도달 → 시간 [math(t_n=t_f)]일 때 [math(x_n=x_f)]에 도달
즉, 시간 간격을 하나하나 지날 때마다 새로운 위치로 가는 것이다. 그런데 이런 식으로 매 시간 간격마다 위치를 옮기는 모습은 마치 각 점 [math(x_0, x_1, x_2, \cdots, x_n)]를 순서대로 지나가는 모습과 유사하다. 만약 [math(n)]이 충분히 커서 시간 간격이 촘촘하다면 마치 이 점들을 지나는 경로를 그리는 것과 같은 모습을 볼 수 있을 것이다. 그리고 모든 [math(x_i)]들에 대해 다 더한다(=적분한다)는 것은 모든 가능한 경로들에 대해 전이 진폭을 전부 다 더하겠다는 것으로 볼 수 있을 것이다. 이런 의미에서 해당 적분식, 그리고 앞으로 이 식으로부터 유도될 적분을 경로적분이라고 부르는 것이다.
여기서 [math(n)]을 무한대로 보내는 극한을 생각할 수 있다. 그러면 이 식은 다음과 같이 표현된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \langle x_f;t_f | x_i;t_i \rangle = \lim_{n\to\infty} \underbrace{\int \!\cdots \!\int}_{n-1} \,\prod_{j=0}^{n-1} \langle x_{j+1};t_{j+1} | x_j;t_j \rangle \Biggl( \prod_{j=1}^{n-1} {\rm d}x_j \Biggr) \end{aligned} )] |
3.2. 액션의 푸리에 해석
양자역학의 묘사에 따라서 적분 연속체의 연산자로 해밀토니안(Hamiltonian)을 지정한다면, [math(|x_{j+1};t_{j+1} \rangle = |x_{j+1};t_j + \Delta t \rangle)]는 [math(e^{i{\hat{\cal H}}\Delta t/\hbar}| x_{j+1};t_j \rangle)]로 쓸 수 있다. 한편, 여기에선 고전역학의 자유 입자(free particle) 해밀토니안[15] [math(\hat{\cal H})]를 생각하기로 한다.[math(\displaystyle \hat{\cal H} = \frac{\hat p^2}{2m} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \langle x_{j+1};t_{j+1} | x_j;t_j \rangle &= \langle x_{j+1};t_j | e^{-i\hat{\cal H}\Delta t/\hbar} | x_j;t_j \rangle \\ &= \langle y | e^{-i\hat{\cal H}\Delta t/\hbar} | x \rangle \\ &= \int \langle y|p \rangle \langle p| e^{-i\hat{\cal H}\Delta t/\hbar} |x \rangle \,{\rm d}p \\ &= \int \langle y|p \rangle e^{-i\hat{\cal H}\Delta t/\hbar} \langle x|p \rangle^* \,{\rm d}p \\ &= \int \!\frac{e^{ipy/\hbar}}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{-i\hat{\cal H}\Delta t/\hbar} \frac{e^{-ipx/\hbar}}{\sqrt{2\pi\hbar}} \,{\rm d}p \\ &= \int \!\frac1{2\pi\hbar} e^{ipy/\hbar} \operatorname{exp} \biggl( i\frac{\hbar\Delta t}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \biggr) e^{-ipx/\hbar} \,{\rm d}p \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{exp} \biggl( i\dfrac{\hbar\Delta t}{2m} \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} \biggr) e^{-ipx/\hbar} = \sum_{r=0}^\infty \frac1{r!} \biggl( i\dfrac{\hbar\Delta t}{2m} \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} \biggr)^{\!r} e^{-ipx/\hbar} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \biggl( \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} \biggr)^{\!r} e^{-ipx/\hbar} = \biggl( -\dfrac{p^2}{\hbar^2} \biggr)^{\!r} e^{-ipx/\hbar} \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{exp} \biggl( i\dfrac{\hbar\Delta t}{2m} \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} \biggr) e^{-ipx/\hbar} &= \sum_{r=0}^\infty \frac1{r!} \biggl( i\dfrac{\hbar\Delta t}{2m} \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} \biggr)^{\!r} e^{-ipx/\hbar} \\ &= \sum_{r=0}^\infty \frac1{r!} \biggl( i\dfrac{\hbar\Delta t}{2m} \biggl( -\dfrac{p^2}{\hbar^2} \biggr) \!\biggr)^{\!r} e^{-ipx/\hbar} \\ &= \sum_{r=0}^\infty \frac1{r!} \biggl( -\dfrac{i\Delta t}{2m\hbar}p^2 \biggr)^{\!r} e^{-ipx/\hbar} \\ &= \operatorname{exp} \biggl( -\dfrac{i\Delta t}{2m\hbar}p^2 \biggr) e^{-ipx/\hbar} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \langle x_{j+1};t_{j+1} | x_j;t_j \rangle &= \int \!\frac1{2\pi\hbar} e^{ipy/\hbar} \operatorname{exp} \biggl( i\frac{\hbar\Delta t}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \biggr) e^{-ipx/\hbar} \,{\rm d}p \\ &= \int \!\frac1{2\pi\hbar} e^{ipy/\hbar} \operatorname{exp} \biggl( -\frac{i\Delta t}{2m\hbar}p^2 \biggr) e^{-ipx/\hbar} \,{\rm d}p \\ &= \int \!\frac1{2\pi\hbar} \operatorname{exp} \biggl( \frac{ipy}\hbar -\frac{i\Delta t}{2m\hbar}p^2 -\frac{ipx}\hbar \biggr) {\rm d}p \\ &= \int \!\frac1{2\pi\hbar} \operatorname{exp} \biggl( -\frac{i\Delta t}{2m\hbar} \biggl( p^2+\frac{2m}{\Delta t}(x-y)p \biggr) \!\biggr) {\rm d}p \\ &= \int \!\frac1{2\pi\hbar} \operatorname{exp} \biggl( -\frac{i\Delta t}{2m\hbar} \biggl[ \biggl( p+\frac m{\Delta t}(x-y) \biggr)^{\!2} - \frac{m^2(y-x)^2}{(\Delta t)^2} \biggr] \biggr) {\rm d}p \\ &= \int \!\frac1{2\pi\hbar} \operatorname{exp} \biggl( -\frac{i\Delta t}{2m\hbar} \biggl( p+\frac m{\Delta t}(x-y) \biggr)^{\!2} +\frac{i\Delta t}{2m\hbar} \frac{m^2(y-x)^2}{(\Delta t)^2} \biggr) {\rm d}p \\ &= \int \!\frac1{2\pi\hbar} \operatorname{exp} \biggl( -\frac{i\Delta t}{2m\hbar} \biggl( p+\frac m{\Delta t}(x-y) \biggr)^{\!2} \biggr) \operatorname{exp} \biggl( \dfrac i\hbar \frac m2 \biggl( \frac{y-x}{\Delta t} \biggr)^{\!2} \Delta t \biggr) {\rm d}p \\ \\ &\qquad {\sf Let}: k = p + \frac m{\Delta t} (x-y) \quad \Rightarrow \quad {\rm d}k = {\rm d}p \\ \\ &= \operatorname{exp} \biggl( \dfrac i\hbar \frac m2 \biggl( \frac{y-x}{\Delta t} \biggr)^{\!2} \Delta t \biggr) \int \!\frac1{2\pi\hbar} \operatorname{exp} \biggl( -\frac{i\Delta t}{2m\hbar} k^2 \biggr) {\rm d}k \\ &= \operatorname{exp} \biggl( \dfrac i\hbar \frac m2 \biggl( \frac{y-x}{\Delta t} \biggr)^{\!2} \Delta t \biggr) \sqrt{ \frac m{2\pi i\hbar\Delta t} } \end{aligned} )] |
3.3. 점근항 전개와 소거
일반적인 해밀토니안 [math(\hat{\cal H} = \dfrac1{2m} \hat p^2 + V(\hat x))]를 생각해 본다면, [math(\langle x_{j+1};t_{j+1} | x_j;t_j \rangle)]는 다음과 같이 기술된다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \langle x_{j+1};t_{j+1} | x_j;t_j \rangle &= \langle x_{j+1};t_j | e^{-i\hat{\cal H}\Delta t/\hbar} | x_j;t_j \rangle \\ &= \langle y | e^{-i\hat{\cal H}\Delta t/\hbar} | x \rangle \\ &= \int \langle y|p \rangle \langle p| e^{-i\hat{\cal H}\Delta t/\hbar} |x \rangle \,{\rm d}p \\ &= \int \langle y|p \rangle e^{-i\hat{\cal H}\Delta t/\hbar} \langle x|p \rangle^* \,{\rm d}p \\ &= \int \!\frac1{2\pi\hbar} e^{ipy/\hbar} \operatorname{exp} \biggl( i\frac{\hbar\Delta t}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} -\frac{i\Delta t}\hbar V(x) \biggr) e^{-ipx/\hbar} \,{\rm d}p \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} &\quad\,\, \frac12 \biggl( i\frac{\hbar\Delta t}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} -\frac{i\Delta t}\hbar V(x) \biggr)^{\!2} e^{-ipx/\hbar} \\ &= \frac12 \biggl( i\frac{\hbar\Delta t}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{i\Delta t}\hbar V(x) \biggr) \!\biggl( -i\frac{\hbar\Delta t}{2m} \frac{p^2}{\hbar^2} -\frac{i\Delta t}\hbar V(x) \biggr) e^{-ipx/\hbar} \\ &= \frac12 \biggl( -i\frac{\hbar\Delta t}{2m} \frac{p^2}{\hbar^2} -\frac{i\Delta t}\hbar V(x) \biggr)^{\!2} e^{-ipx/\hbar} +\biggl( -\frac{ip(\Delta t)^2}{2m\hbar} \frac{{\rm d}V}{{\rm d}x} +\frac{(\Delta t)^2}{4m} \frac{{\rm d}^2V}{{\rm d}x^2} \biggr) e^{-ipx/\hbar} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} &\quad\,\, \operatorname{exp} \biggl( i\frac{\hbar\Delta t}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} -\frac{i\Delta t}\hbar V(x) \biggr) e^{-ipx/\hbar} \\ &= \biggl[ \operatorname{exp} \biggl( -\frac{i\Delta t}{2m\hbar}p^2 -\frac{i\Delta t}\hbar V(x) \biggr) -\frac{ip(\Delta t)^2}{2m\hbar} V'(x) +O((\Delta t)^2) \biggr] e^{-ipx/\hbar} \\ &= \biggl[ \operatorname{exp} \biggl( -\frac{i\Delta t}{2m\hbar}p^2 -\frac{i\Delta t}\hbar V(x) -\frac{ip(\Delta t)^2}{2m\hbar} V'(x) \biggr) +O((\Delta t)^2) \biggr] e^{-ipx/\hbar} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{exp} \biggl( -\frac{i\Delta t}{2m\hbar} \biggl( p +\frac m{\Delta t}(x-y) \biggr)^{\!2} \biggr) \operatorname{exp} \biggl( -\frac{i\Delta t}{2m\hbar} \biggl[ \Bigl( p +\frac m{\Delta t}(x-y) \Bigr)^2 +pV'(x)(\Delta t) \biggr] \biggr) \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{exp} \biggl( -\frac{i\Delta t}{2m\hbar} \biggl( p +\frac m{\Delta t}(x-y) \biggr)^{\!2} \biggr) &= \operatorname{exp} \biggl( -\frac{i\Delta t}{2m\hbar} \biggl[ \Bigl( p +\frac m{\Delta t}(x-y) \Bigr)^2 +pV'(x)(\Delta t) \biggr] \biggr) \\ &= \operatorname{exp} \biggl( -\frac{i\Delta t}{2m\hbar} \biggl[ k^2 + \Bigl( k -\frac m{\Delta t}(x-y) \Bigr) V'(x)(\Delta t) \biggr] \biggr) \\ &= \operatorname{exp} \biggl( -\frac{i\Delta t}{2m\hbar} \biggl[ k^2 +kV'(x)(\Delta t) -m(x-y)V'(x) \biggr] \biggr) \\ &= \operatorname{exp} \biggl( -\frac{i\Delta t}{2m\hbar} \biggl[ \Bigl( k +\frac12 V'(x)(\Delta t) \Bigr)^2 -\frac14 (V'(x))^2 (\Delta t)^2 \biggr] -\frac{i\Delta t}\hbar \frac{y-x}2 V'(x) \biggr) \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{exp} \biggl( -\frac{i\Delta t}\hbar V(x) \biggr) \operatorname{exp} \biggl( -\frac{i\Delta t}\hbar \frac{y-x}2 V'(x) \biggr) &= \operatorname{exp} \biggl( -\frac{i\Delta t}\hbar \biggl[ V(x) +\frac{y-x}2 V'(x) \biggr] \biggr) \\ &= \operatorname{exp} \biggl( -\frac{i\Delta t}\hbar \biggl[ V \!\biggl( \frac{x+y}2 \biggr) +O((x-y)^2) \biggr] \biggr) \\ &= \operatorname{exp} \biggl( -\frac{i\Delta t}\hbar \,V \!\biggl( \frac{x+y}2 \biggr) \!\biggr) \,e^{iO((\Delta t)(x-y)^2)} \end{aligned} )] |
여기서, 적분은 원래 식에 [math(\operatorname{exp} \biggl( -\dfrac{i\Delta t}\hbar \,V \!\biggl( \dfrac{x+y}2 \biggr) \!\biggr) \,e^{iO((\Delta t)(x-y)^2)})]과 추가적인 [math(O((\Delta t)^2))] 항이 덧붙는 형태가 된다는 것을 알 수 있다. 즉, 다음을 얻게 되었다는 것이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \quad\, \langle x_{j+1};t_j | e^{-i \hat{\cal H}\Delta t/\hbar} | x_j;t_j \rangle &= \operatorname{exp} \biggl( -\frac{i\Delta t}\hbar \,V \!\biggl( \frac{x+y}2 \biggr) \!\biggr) \,e^{iO((\Delta t)(x-y)^2)} \operatorname{exp} \biggl( \frac i\hbar \frac m2 \biggl( \frac{y-x}{\Delta t} \biggr)^{\!2} \Delta t \biggr) \sqrt{\frac m{2\pi i\hbar\Delta t}} +O((\Delta t)^2) \\ &= \sqrt{\frac m{2\pi i\hbar\Delta t}} \operatorname{exp} \biggl( \frac i\hbar \biggl[ \frac m2 \biggl( \frac{y-x}{\Delta t} \biggr)^{\!2} -V \!\biggl( \frac{x+y}2 \biggr) \biggr] \Delta t \biggr) \,e^{iO((\Delta t)(x-y)^2)} +O((\Delta t)^2) \end{aligned})] |
3.4. 최종 정리
[math(\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{exp} \biggl( \frac i\hbar \biggl[ \frac m2 \biggl( \frac{y-x}{\Delta t} \biggr)^{\!2} -V \!\biggl( \frac{x+y}2 \biggr) \biggl] \Delta t \biggr) \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \biggl[ \frac m2 \biggl( \frac{y-x}{\Delta t} \biggr)^{\!2} -V \!\biggl( \frac{x+y}2 \biggr) \biggl] \Delta t \int_{t_j}^{t_j+\Delta t} \!\biggl( \frac12 mv^2 -V(x) \!\biggr) {\rm d}t \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \langle x_f;t_f | x_i;t_i \rangle &= \lim_{n\to\infty} \underbrace{\int \!\cdots \!\int}_{n-1} \,\prod_{j=0}^{n-1} \langle x_{j+1};t_{j+1} | x_j;t_j \rangle \Biggl( \prod_{j=1}^{n-1} {\rm d}x_j \Biggr) \\ &= \lim_{n\to\infty} \underbrace{\int \!\cdots \!\int}_{n-1} \,\prod_{j=0}^{n-1} \Biggl( \sqrt{\frac m{2\pi i\hbar\Delta t}} \operatorname{exp} \Biggl[ \frac i\hbar \int_{t_j}^{t_j+\Delta t} \!\biggl( \frac12 mv^2 -V(x) \!\biggr) {\rm d}t \Biggr] \Biggr) \Biggl( \prod_{j=1}^{n-1} {\rm d}x_j \Biggr) \\ &= \lim_{n\to\infty} \underbrace{\int \!\cdots \!\int}_{n-1} \operatorname{exp} \Biggl[ \frac i\hbar \int_{t_i}^{t_f} \!\biggl( \frac12 mv^2 -V(x) \!\biggr) {\rm d}t \Biggr] \biggl( \frac m{2\pi i\hbar\Delta t} \biggr)^{\!n/2} \Biggl( \prod_{j=1}^{n-1} {\rm d}x_j \Biggr) \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \langle x_f;t_f | x_i;t_i \rangle &= \lim_{n\to\infty} \underbrace{\int \!\cdots \!\int}_{n-1} \operatorname{exp} \Biggl[ \frac i\hbar \int_{t_i}^{t_f} \!\biggl( \frac12 mv^2 -V(x) \!\biggr) {\rm d}t \Biggr] \biggl( \frac m{2\pi i\hbar\Delta t} \biggr)^{\!n/2} \Biggl( \prod_{j=1}^{n-1} {\rm d}x_j \Biggr) \\ &= \int \!\operatorname{exp} \Biggl( \frac i\hbar \int_{t_i}^{t_f} \!\biggl( \frac12 mv^2 -V(x) \!\biggr) {\rm d}t \Biggr) {\cal D}x \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \langle x_f;t_f | x_i;t_i \rangle = \int \!\operatorname{exp} \Biggl( \frac i\hbar \int_{t_i}^{t_f} \!\biggl( \frac12 mv^2 -V(x) \!\biggr) {\rm d}t \Biggr) {\cal D}x \end{aligned} )] |
4. 해석학적 특징
위 설명문단에서 살펴본 경로적분은 크게 두개의 해석적 특징을 지닌채 전개됨을 알수 있다.첫번째는 입자의 이동을 정준 좌표계의 공리로 활용해서 해밀토니언이 적용되는 힐베르트 공간으로 나타내어진다. 여기서 힐베르트 공간이라함은 내적이 정의되는 공간에서 임의의 코시 수열이 0으로 수렴하는 완비성을 지닌다는 것인데, 이는 경로적분이 해석학적으로는 극한(엡실론-델타 논법)이 적용되는 선형적인 공간임을 시사한다. 선형 공간을 체 [math(\mathbb{K})]위의 부분 공간인 선형다양체 [math(M)]으로 접근해본다면, 선형부분공간의 특징을 통해 매개변수로 다시 쓸수 있다. 먼저, [math(\alpha, \beta \in \mathbb{K})]와 [math(x, y = M)]라고 두면, [math(\alpha x + \beta y \in M)]을 만족한다. 이때 체 [math(\mathbb{K})]의 원소들을 각각 닫힌집합의 매개변수 [math(\alpha=t)][16], [math(\beta=1-t)]로 옮기면, 위의 선형다양체는 [math(tx+(1-t)y\in M)]가 된다. 이때, [math(\alpha x = \beta y)]라면, 두 매개변수의 관계는 [math(t=\frac{y}{x+y})]로 쓸수있다.
두번째는 가우스 적분꼴 복소 액션 적분 연속체를 도입했다는 것이다. 라그랑지언[17] 내지는 해밀토니언[18]과 시간을 [math(\operatorname{exp})] 함수로 나타내어 입자가 지나가는 경로의 가우스 적분으로 표현하고자 했다.
이들을 종합해보자면, 경로적분이 푸리에 해석의 아류이면서 디랙 델타 함수의 특징을 갖추고 있음을 보여준다. 따라서, 아래와 같은 소코트스키-플레멜 정리를 적용할수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim\limits_{\epsilon \to 0} \dfrac{1}{(x \pm i\epsilon)} = \frac{1}{x} \pm i\pi\delta(x) \end{aligned})] |
5. 응용
6. 참고 문헌
- M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics, Section 1.3. p38-48
- R. P. Feynman, Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics, Rev. Mod. Phys. 20, 367(1948)
- R. P. Feynman, Space-time Approach to Quantum Electrodynamics, Phys. Rev. 76, 769(1949)
[1] P. A. M. Dirac, The Lagrangian in Quantum Mechanics, Phys. Z. Sowjetunion, 3, 64 (1933).[2] 다만, 그 사이에 몇 년동안 맨해튼 계획에 참여했다.[3] R. P. Feynman, The Principle of Least Action in Quantum Mechanics, PhD Dissertation (Princeton University, 1942).[4] Peskin의 An Introduction to Quantum Field Theory를 읽어 보자. 다만 Sakurai의 Advanced Quantum mechanics에서도 요약된 비슷한 양자화 방법론을 찾을 수 있다. Zee의 Quantum Field Theory in a Nutshell도 읽어 보자. 학생(파인만)과 교수의 만담(!)을 바탕으로 재밌고도 직관적으로 기술되었다.[5] 특히 그 물체의 시간에 따른 궤적을 보고 싶어한다.[6] 담고 있다기보다는, 어떤 고정된 위치, 운동량, 에너지, 각운동량 값에 대응하는 어떤 대상이라고 보면 좋다. 이는 힐베르트 공간(Hilbert space)의 한 원소, 즉 벡터로 표현될 수 있는데, 특히 운동량의 고유벡터(eigenvector)로 '어떤 값에 대응하는 대상'을 표현한다.[7] 그래서 양자역학을 확률론적 결정론이라고 부른다. 확률이 들어가는 것 때문에 자칫 불가지론적으로 보일 수 있었음에도 양자역학이 과학으로 인정받을 수 있게 된 요소이다.[8] 벡터 공간에서 보통 연산자(operator)는 주어진 벡터 공간을 그 자신으로 보내는 선형 변환을 의미한다.[9] 혹은 [math((\langle x_f; t_f | \psi \rangle) | x_f; t_f \rangle)][10] 추상적으로 보이지만 약간의 물리적 고찰을 곁들이고 나면 경로적분을 이끌어내는 데에 핵심적인 역할을 하는 연산자이다.[11] 양자역학에서 부정적분처럼 표시한 것들은 사실 전부 실수 전체 범위에서의 적분과 같다. 즉, [math(\int {\rm d}x_f)]라고 쓴 것이 사실은 [math(\int_{-\infty}^\infty {\rm d}x_f)]를 뜻하는 것이다. 어차피 부정적분이 별로 나오지도 않고 필요하지도 않는데 반해 이런 실수 전체 범위의 적분은 몹시 자주 나오기 때문에 이렇게 적분 범위를 생략하는 방식이 쓰이는 것이다. 사실 적분기호 밑에 [math(\R)] 하나만 적으면 되기는 하지만.[12] 브라, 혹은 듀얼 벡터는 힐베르트 공간의 원소들을 복소수로 보내는 선형 변환으로 볼 수 있다. 사실 이게 수학에서 듀얼 벡터의 본질적인 개념이긴 하다.[13] 주대각원소들이 1인 행렬[14] 혹은 GCH for Identity[15] 즉, 비상대론적 해밀토니안[16] [math(0\le t\le1)].[17] 비상대론적 접근[18] 상대론적접근