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1. 개요2. 선형논리의 연산자들
2.1. 선형 함축 (linear implication)2.2. 결합적 논리곱 (multiplicative conjunction)2.3. 결합적 논리합 (additive conjunction)2.4. 분리적 논리합 (additive disjunction)2.5. 분리적 논리곱 (multiplicative disjunction)2.6. 선형 부정 (linear negation)2.7. 선형 동치 (linear equivalence)2.8. Of-course 연산자2.9. Why-not 연산자
3. 고전논리와의 관계4. 직관주의 논리와의 관계1. 개요
선형논리(線形論理)는 부분구조논리의 일부로 모든 가설은 한 번만 소비된다는 입장을 취한다. 고전논리와 직관논리에선 가설은 필요에 따라 여러 번 쓸 수 있다.다만 일반적인 평서문으로는 쉽게 다룰 수 없는 면이 있다. 그래서 논리식을 평서문으로 옮겨적을 때 주의가 요구된다.
2. 선형논리의 연산자들
이 문단에서는 선형 논리의 해석들 중 자원 해석(resource interpretation)을 비유적으로 소개한다.손님이 원하는 것이라면 뭐든지 준비하고자 하는 만물상이 있다고 하자. 이 세상에는 [math(P)]와 [math(Q)]등 다양한 "물건"들이 있다. 안타깝게도 정말 "뭐든지" 준비할 수는 없지만, 이 만물상은 더 나은 서비스를 위해 선형 논리의 연산자들로써 다양한 종류의 "교환권"을 제공하고자 한다.
2.1. 선형 함축 (linear implication)
손님이 [math(P ⊸ Q)]가 쓰여 있는 교환권을 가지고 있다고 하자. 그렇다면 이 손님은 이 교환권과 물건 [math(P)]를 함께 내고 물건 [math(Q)]를 받을 수 있다.선형 함축이 고전적인 논리적 함의(material conditional)과 다른 점은 선형 논리가 다루는 "자원"이 마음대로 복제되거나 파괴될 수 없다는 점에서 기인한다. 고전 논리에서는 [math(P)]와 [math(P \to Q)]의 결합(conjunction)은 [math(P \land Q)]를 함의하는데, 이를 자원 해석에 곧이그대로 적용하면 위 손님은 물건 [math(Q)]를 받았음에도 불구하고 여전히 [math(P)]를 소유하는 것이 가능하기 때문이다.
2.2. 결합적 논리곱 (multiplicative conjunction)
손님이 [math(P \otimes Q)]가 쓰여 있는 교환권을 가지고 있다고 하자. 그렇다면 이 손님은 이 교환권을 내고 물건 [math(P)]와 물건 [math(Q)]를 함께 받을 수 있다. 한편, [math(P \otimes P)]는 물건 [math(P)] 2개를 받을 수 있는 교환권이다.고전적인 논리적 결합([math(\land)])과 가장 가까운 의미를 가지고 있는 연산자이다.
[math(\otimes)]의 항등원인 [math(1)]는 공급해야 할 물건이 없는 상태를 의미한다. 즉 [math(1 ⊸ P)]는 물건 [math(P)]를 받을 수 있는 교환권이다.
2.3. 결합적 논리합 (additive conjunction)
손님이 [math(P \& Q)]가 쓰여 있는 교환권을 가지고 있다고 하자. 그렇다면 이 손님은 물건 [math(P)]와 물건 [math(Q)] 중 자신이 원하는 것을 하나 받을 수 있다. 둘 다 받을 수는 없다.[math(\&)]의 항등원인 [math(\top)]은 손님 입장에서 받길 원하지 않는 물건을 의미한다. 즉 교환권 [math(\top)]를 내는 손님은 없다. 어떤 물건 [math(P)]든 간에 손님 마음대로 이 물건을 받길 원치 않을 수 있는데, 이는 곧 교환권 [math(P ⊸ \top)]과 같다. 이러한 점에서 [math(\top)]은 고전적인 항진(tautology)의 성격을 띤다.
2.4. 분리적 논리합 (additive disjunction)
손님이 [math(P \oplus Q)]가 쓰여 있는 교환권을 가지고 있다고 하자. 그렇다면 이 손님은 물건 [math(P)]를 하나 받거나 물건 [math(Q)]를 하나 받을 수 있는데, 어느 것을 받을지는 만물상 마음이다. 둘 중 어느 것을 받을지를 정하는 주체가 다르다는 점에서 [math(\oplus)]는 [math(\&)]와 구별된다.고전적인 논리적 분리([math(\lor)])와 가장 가까운 의미를 가지고 있는 연산자지만, 고전적인 [math(\lor)]에서 양쪽 명제 모두가 참일 수도 있는 것과 달리, [math(\oplus)]에서는 둘 중 하나만을 받을 수 있다. 이 점에서 [math(\oplus)]는 [math(\lor)]보다 자연어의 "또는"(or)에 더 가까운 의미를 가지고 있다.
[math(\oplus)]의 항등원인 [math(0)]은 만물상 입장에서 판매가 불가한 물건을 가리키는데[1], 이는 폭발 원리의 대상이 된다. 즉 임의의 물건 [math(P)]에 대해 교환권 [math(0 ⊸ P)]는 누구나 발행할 수 있다. 다만 실제 사용은 불가능하다.
2.5. 분리적 논리곱 (multiplicative disjunction)
선형 논리의 연산자들 중 자연어로서의 설명이 가장 곤란하다.손님이 [math(P ⅋ Q)]가 쓰여 있는 교환권을 가지고 있다고 하자. 그렇다 하더라도 물건 [math(P)]나 물건 [math(Q)]를 당장 받을 수는 없는데, 왜냐하면 이 교환권이 물건 [math(P)]를 의미하는지 물건 [math(Q)]를 의미하는지 알지 못하기 때문이다. 이 교환권을 사용하려면 손님은 이것이 물건 [math(P)]라는 걸 증명하거나 물건 [math(Q)]라는 걸 증명해야 하는데, 여기에는 귀류법이 사용 가능하다. 즉 이것이 물건 [math(Q)]가 아니라는 걸 증명하면 물건 [math(P)]를 받게 되고, 이것이 물건 [math(P)]가 아니라는 걸 증명하면 물건 [math(Q)]를 받게 된다.[2]
[math(⅋)]의 항등원인 [math(\bot)]는 소비해야 할 물건이 없는 상태를 의미한다. [math(0)]과는 달리 폭발 원리의 대상이 되지 않는데, 왜냐하면 [math(0)]은 판매가 불가할 뿐, 존재는 할 수도 있기 때문이다. 이러한 점에서 선형논리가 초일관 논리의 일종임을 알 수 있다.
위 설명만 들으면 언뜻 [math(P ⅋ P)]는 [math(P)]과 같아보인다. 그러나 실제로는 다르다. 예를 들어 물건 [math(P)]가 콜라라고 하면, [math(P ⅋ P)]에서 첫 번째 [math(P)]는 코카콜라이고 두 번째 [math(P)]는 펩시일 수도 있기 때문이다. 같은 이유로 [math(P \& P)]와 [math(P)]는 다르며, [math(P \oplus P)]와 [math(P)]도 다르다.
2.6. 선형 부정 (linear negation)
물건 [math(P)]의 부정인 [math(P^\bot)]은 [math(P ⊸ \bot)]이라고 정의된다. 즉 [math(P^\bot)]는 물건 [math(P)]를 소비하는 행위이다.위의 연결사들에는 선형 부정을 통한 동치관계가 존재하는데, [math(P^\bot ⅋ Q)]는 [math(P)]를 소비하는 동시에 [math(Q)]를 생산하는 행위, 즉 [math(P ⊸ Q)]와 같다.
[math(P \otimes Q)]는 [math(P)]와 [math(Q)]가 함께 존재하는 상태이므로, 이를 소비하려면 [math(P)]와 [math(Q)]를 함께 병렬적으로 소비해야 한다[3]. 따라서 [math((P \otimes Q)^\bot)]는 [math(P^\bot ⅋ Q^\bot)]과 같다.
[math(P \& Q)]는 [math(P)]도 [math(Q)]도 될 수 있는데, 이를 소비하려면, [math(P)]가 된다면 [math(P^\bot)], [math(Q)]가 된다면 [math(Q^\bot)]만 있으면 된다. 따라서 [math((P \& Q)^\bot)]는 [math(P^\bot \oplus Q^\bot)]과 같다.
[math(P \oplus Q)]는 [math(P)]이거나 [math(Q)] 둘 중 하나로 이미 정해져 있다. 이를 소비하려면 [math(P^\bot)]도 [math(Q^\bot)]도 될 수 있는 소비자가 필요하다. 따라서 [math((P \oplus Q)^\bot)]는 [math(P^\bot \& Q^\bot)]과 같다.
[math(P ⅋ Q)]는 [math(P)]인지 [math(Q)]인지 알 수 없으므로, 이를 소비하려면 [math(P)]가 소비될 지 [math(Q)]가 소비될 지를 동시에 대비해야 한다. 따라서 [math((P ⅋ Q)^\bot)]는 [math(P^\bot \otimes Q^\bot)]과 같다.
선형 부정은 고전 논리의 부정처럼 대합(involution)이다. 즉 [math((P^\bot)^\bot)]은 [math(P)]와 같다. 즉, 소비자의 입장에서의 소비자는 공급자와 같다는 것.
2.7. 선형 동치 (linear equivalence)
선형 동치 [math(P \equiv Q)]는 [math(\left(P ⊸ Q\right) \& \left(Q ⊸ P\right))]라고 정의된다.2.8. Of-course 연산자
[math(!P)]는 [math(1 \& P \& \left(P \otimes P\right) \& \left(P \otimes P \otimes P\right) \& \cdots)]라고 정의된다. 즉 [math(!P)]가 쓰여 있는 교환권을 가지고 있는 손님은 이 교환권을 내서 물건 [math(P)]를 원하는 개수만큼(0개 포함) 받을 수 있다.2.9. Why-not 연산자
[math(?P)]는 [math(\bot \oplus P \oplus \left(P ⅋ P\right) \oplus \left(P ⅋ P ⅋ P\right) \oplus \cdots)]라고 정의된다.3. 고전논리와의 관계
고전논리의 동일률([math(P \to P)])은 선형논리에서도 그대로 수용된다([math(P ⊸ P)]).고전논리의 모순율([math(\neg\left(P \land \neg P\right))])은 선형논리에서 [math(\left(P \otimes P^\bot\right)^\bot)]라고 수용된다.
고전논리의 배중률([math(P \lor \neg P)])은 선형논리에서 [math(P ⅋ P^\bot)]라고 수용된다. [math(P \oplus P^\bot)]가 아닌 이유는 직관주의 논리와도 일맥상통하는데, [math(P)]와 [math(P^\bot)] 모두가 증명불가할 수 있기 때문이다.
4. 직관주의 논리와의 관계
직관주의 논리에서는 한 명제를 몇 번이든 사용할 수 있으므로, 직관주의 논리의 함축 [math(P \to Q)]는 선형 논리의 [math(!P ⊸ Q)]와 같다.[1] 품절된 물건이거나, 단순히 만물상 입장에서 판매를 원치 않을 수 있다.[2] 이는 마치 양자역학의 관측행위와 유사하다.[3] 즉 모종의 사유로, [math(P)]만 소비하거나 [math(Q)]만 소비할 수 없고 동시에 소비해야 하는 상황이 [math((P \otimes Q)^\bot)]이다.