최근 수정 시각 : 2020-01-01 11:55:59

필요조건과 충분조건


1. 개요2. 종류
2.1. 필요조건2.2. 충분조건2.3. 필요충분조건

1. 개요

논리적 귀결 관계를 맺는 두 명제 간에 성립하는 관계. 수학(교과)에도 등장하는 논리학의 기초적인 개념.

표준논리를 기준으로 할 경우, 조건문 "P → Q"의 전건과 후건인 P와 Q간에 성립하는 관계로 이해할 수도 있다. "P → Q"가 참이라고 할 때 P를 "Q가 성립하기 위한 충분조건"이라고 부르며, 반대로 Q를 "P가 성립하기 위한 필요조건"이라고 부른다. 쉽게 외우는 방법은 "화살표 맞은 쪽이 피가 나니까 필요조건 화살표 쏘는 쪽에서 출발하니까 충분조건"

2. 종류

2.1. 필요조건

Necessary Condition.

P → Q가 참일 때 그 정의에 의해 명제 P가 참이 되기 위해 먼저 명제 Q가 참일 필요가 있다. 즉 Q는 P가 성립하기 위한 필요조건이다. Q가 P를 포함하는 개념으로 볼 수 있다.

"Q는 P의 필요조건이다"와 그 의미가 같은 문장들은 다음과 같다[1]:
  • "Q ⇐ P"
  • "Q라면 P일 수 있다."
  • "Q가 아니면, P도 아니다."
  • "P는 Q의 충분조건이다"

구체적인 예시는 다음과 같다:
  • '펭수동물이다'는 '펭수펭귄이다'의 필요조건이다. (펭수가 펭귄이기 위해서는 펭수가 동물일 필요가 있다)

2.2. 충분조건

Sufficient Condition.

P → Q가 참일 때 그 정의에 의해 명제 P가 참이라면 명제 Q는 참임이 충분히 보장된다. 즉 P는 Q가 성립하기 위한 충분조건이다. P가 Q에 포함되는 개념으로 볼 수 있다.

"P는 Q의 충분조건이다"와 그 의미가 같은 문장들은 다음과 같다:
  • "P ⇒ Q"
  • "P라면 Q이다."
  • "P가 아니면 Q가 아닐 수 있다"
  • "Q는 P의 필요조건이다"

구체적인 예시는 다음과 같다:
  • '철수는 농구를 한다'는 '철수는 운동을 한다'의 충분조건이다.
('철수가 농구를 한다'면 '철수는 운동을 한다'라고도 충분히 말 할 수 있다)

2.3. 필요충분조건

Necessary and Sufficient Condition.

P → Q가 참이고 Q → P가 참이면 그 정의에 의해 P가 참이면 Q가 참이고 P가 거짓이면 Q는 거짓이다.
P → Q가 참일 때 P이면 Q이고, Q → P가 참일 때 P가 아니면 Q가 아니기 때문이다. 즉 P는 Q의 필요충분조건임과 동시에 Q는 P의 필요충분조건이다.

"P는 Q의 필요충분조건이다"와 그 의미가 같은 문장들은 다음과 같다:
  • "P ⇔ Q"
  • "P이면 Q이며, Q이면 P이다"
  • "P가 아니면 Q가 아니며 Q가 아니면 P가 아니다."
  • "P인 경우 오직 그 경우에만 Q이다."
  • "P if and only if Q"
    • "P iff[2] Q"로 줄여쓰는 경우가 잦다.
  • "Q는 P의 필요충분조건이다"

P와 Q가 서로의 필요충분조건인 경우 P와 Q는 '동치'가 된다.

[1] 다만 한국어영어 같은 자연 언어의 문법은 표준논리의 실질조건 연산자 '→'의 문법과 다른 경우가 있으므로 주의를 요한다. 항목 참조[2] 또는 if/f

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