#!if 넘어옴1 != null
''''''{{{#!if 넘어옴2 != null
, ''''''}}}{{{#!if 넘어옴3 != null
, ''''''}}}{{{#!if 넘어옴4 != null
, ''''''}}}{{{#!if 넘어옴5 != null
, ''''''}}}{{{#!if 넘어옴6 != null
, ''''''}}}{{{#!if 넘어옴7 != null
, ''''''}}}{{{#!if 넘어옴8 != null
, ''''''}}}{{{#!if 넘어옴9 != null
, ''''''}}}{{{#!if 넘어옴10 != null
, ''''''}}}은(는) 여기로 연결됩니다. #!if 설명 == null && 리스트 == null
{{{#!if 설명1 == null
다른 뜻에 대한 내용은 아래 문서를}}}{{{#!if 설명1 != null
{{{#!html 이 문서는 수학 용어를 다룹니다. 집단의 일종 중 민법의 규율}}}에 대한 내용은 [[조합(민법)]] 문서{{{#!if (문단1 == null) == (앵커1 == null)
를}}}{{{#!if 문단1 != null & 앵커1 == null
의 [[조합(민법)#s-|]]번 문단을}}}{{{#!if 문단1 == null & 앵커1 != null
의 [[조합(민법)#|]] 부분을}}}}}}{{{#!if 설명2 != null
, {{{#!html 서구 역사속 단체}}}에 대한 내용은 [[길드]] 문서{{{#!if (문단2 == null) == (앵커2 == null)
를}}}{{{#!if 문단2 != null & 앵커2 == null
의 [[길드#s-|]]번 문단을}}}{{{#!if 문단2 == null & 앵커2 != null
의 [[길드#|]] 부분을}}}}}}{{{#!if 설명3 != null
, {{{#!html }}}에 대한 내용은 [[]] 문서{{{#!if (문단3 == null) == (앵커3 == null)
를}}}{{{#!if 문단3 != null & 앵커3 == null
의 [[#s-|]]번 문단을}}}{{{#!if 문단3 == null & 앵커3 != null
의 [[#|]] 부분을}}}}}}{{{#!if 설명4 != null
, {{{#!html }}}에 대한 내용은 [[]] 문서{{{#!if (문단4 == null) == (앵커4 == null)
를}}}{{{#!if 문단4 != null & 앵커4 == null
의 [[#s-|]]번 문단을}}}{{{#!if 문단4 == null & 앵커4 != null
의 [[#|]] 부분을}}}}}}{{{#!if 설명5 != null
, {{{#!html }}}에 대한 내용은 [[]] 문서{{{#!if (문단5 == null) == (앵커5 == null)
를}}}{{{#!if 문단5 != null & 앵커5 == null
의 [[#s-|]]번 문단을}}}{{{#!if 문단5 == null & 앵커5 != null
의 [[#|]] 부분을}}}}}}{{{#!if 설명6 != null
, {{{#!html }}}에 대한 내용은 [[]] 문서{{{#!if (문단6 == null) == (앵커6 == null)
를}}}{{{#!if 문단6 != null & 앵커6 == null
의 [[#s-|]]번 문단을}}}{{{#!if 문단6 == null & 앵커6 != null
의 [[#|]] 부분을}}}}}}{{{#!if 설명7 != null
, {{{#!html }}}에 대한 내용은 [[]] 문서{{{#!if (문단7 == null) == (앵커7 == null)
를}}}{{{#!if 문단7 != null & 앵커7 == null
의 [[#s-|]]번 문단을}}}{{{#!if 문단7 == null & 앵커7 != null
의 [[#|]] 부분을}}}}}}{{{#!if 설명8 != null
, {{{#!html }}}에 대한 내용은 [[]] 문서{{{#!if (문단8 == null) == (앵커8 == null)
를}}}{{{#!if 문단8 != null & 앵커8 == null
의 [[#s-|]]번 문단을}}}{{{#!if 문단8 == null & 앵커8 != null
의 [[#|]] 부분을}}}}}}{{{#!if 설명9 != null
, {{{#!html }}}에 대한 내용은 [[]] 문서{{{#!if (문단9 == null) == (앵커9 == null)
를}}}{{{#!if 문단9 != null & 앵커9 == null
의 [[#s-|]]번 문단을}}}{{{#!if 문단9 == null & 앵커9 != null
의 [[#|]] 부분을}}}}}}{{{#!if 설명10 != null
, {{{#!html }}}에 대한 내용은 [[]] 문서{{{#!if (문단10 == null) == (앵커10 == null)
를}}}{{{#!if 문단10 != null & 앵커10 == null
의 [[#s-|]]번 문단을}}}{{{#!if 문단10 == null & 앵커10 != null
의 [[#|]] 부분을}}}}}}#!if 설명 == null
{{{#!if 리스트 != null
다른 뜻에 대한 내용은 아래 문서를}}} 참고하십시오.#!if 리스트 != null
{{{#!if 문서명1 != null
* {{{#!if 설명1 != null
이 문서는 수학 용어를 다룹니다. 집단의 일종 중 민법의 규율: }}}[[조합(민법)]] {{{#!if 문단1 != null & 앵커1 == null
문서의 [[조합(민법)#s-|]]번 문단}}}{{{#!if 문단1 == null & 앵커1 != null
문서의 [[조합(민법)#|]] 부분}}}}}}{{{#!if 문서명2 != null
* {{{#!if 설명2 != null
서구 역사속 단체: }}}[[길드]] {{{#!if 문단2 != null & 앵커2 == null
문서의 [[길드#s-|]]번 문단}}}{{{#!if 문단2 == null & 앵커2 != null
문서의 [[길드#|]] 부분}}}}}}{{{#!if 문서명3 != null
* {{{#!if 설명3 != null
: }}}[[]] {{{#!if 문단3 != null & 앵커3 == null
문서의 [[#s-|]]번 문단}}}{{{#!if 문단3 == null & 앵커3 != null
문서의 [[#|]] 부분}}}}}}{{{#!if 문서명4 != null
* {{{#!if 설명4 != null
: }}}[[]] {{{#!if 문단4 != null & 앵커4 == null
문서의 [[#s-|]]번 문단}}}{{{#!if 문단4 == null & 앵커4 != null
문서의 [[#|]] 부분}}}}}}{{{#!if 문서명5 != null
* {{{#!if 설명5 != null
: }}}[[]] {{{#!if 문단5 != null & 앵커5 == null
문서의 [[#s-|]]번 문단}}}{{{#!if 문단5 == null & 앵커5 != null
문서의 [[#|]] 부분}}}}}}{{{#!if 문서명6 != null
* {{{#!if 설명6 != null
: }}}[[]] {{{#!if 문단6 != null & 앵커6 == null
문서의 [[#s-|]]번 문단}}}{{{#!if 문단6 == null & 앵커6 != null
문서의 [[#|]] 부분}}}}}}{{{#!if 문서명7 != null
* {{{#!if 설명7 != null
: }}}[[]] {{{#!if 문단7 != null & 앵커7 == null
문서의 [[#s-|]]번 문단}}}{{{#!if 문단7 == null & 앵커7 != null
문서의 [[#|]] 부분}}}}}}{{{#!if 문서명8 != null
* {{{#!if 설명8 != null
: }}}[[]] {{{#!if 문단8 != null & 앵커8 == null
문서의 [[#s-|]]번 문단}}}{{{#!if 문단8 == null & 앵커8 != null
문서의 [[#|]] 부분}}}}}}{{{#!if 문서명9 != null
* {{{#!if 설명9 != null
: }}}[[]] {{{#!if 문단9 != null & 앵커9 == null
문서의 [[#s-|]]번 문단}}}{{{#!if 문단9 == null & 앵커9 != null
문서의 [[#|]] 부분}}}}}}{{{#!if 문서명10 != null
* {{{#!if 설명10 != null
: }}}[[]] {{{#!if 문단10 != null & 앵커10 == null
문서의 [[#s-|]]번 문단}}}{{{#!if 문단10 == null & 앵커10 != null
문서의 [[#|]] 부분}}}}}}| 이산수학 Discrete Mathematics | ||
| {{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" | 이론 | |
| <colbgcolor=#3CC> 기본 대상 | 수학기초론(수리논리학 · 집합론) · 수열 · 조합 · 알고리즘 · 확률 | |
| 다루는 대상과 주요 토픽 | ||
| 수열 | 등차수열(뛰어 세기) · 등비수열 · 계차수열 · 조화수열 · 귀납적 정의(점화식) · 급수 · 규칙과 대응 · 규칙 찾기 · 피보나치 수열 · 읽고 말하기 수열 · 생성함수 | |
| 조합 | 경우의 수(/공식) · 순열(완전 순열 · 염주 순열) · 치환 · 분할(분할수) · 최단거리 · 제1종 스털링 수 · 제2종 스털링 수 · 카탈랑 수 · 벨 수 · 라흐 수 · 포함·배제의 원리 · 더블 카운팅 · 조합론 | |
| 그래프 | 수형도(트리) · 인접행렬 · 마방진 · 마법진 · 한붓그리기(해밀턴 회로) · 쾨니히스베르크 다리 건너기 문제 | |
| 기타 | P-NP 문제미해결 · 4색정리 · 이항정리(파스칼의 삼각형) · 이산 푸리에 변환 · 비둘기 집의 원리 · 상트페테르부르크의 역설 · 투표의 역설 · 에르고딕 가설미해결 · 콜라츠 추측미해결 · 시행착오(예상과 확인) · 불 논리 · 브라에스 역설 | |
| 관련 문서 | 논리학 관련 정보 · 수학 관련 정보 · 컴퓨터 관련 정보 · 틀:수학기초론 · 틀:통계학 · 틀:이론 컴퓨터 과학 | }}}}}}}}} |
1. 개요
組合 · combination서로 다른 [math(n)]개의 원소에서 [math(r)](단, [math(0<r \leq n)])개를 중복 없이, 순서를 고려하지 않고 선택하는 것.
어떤 순서로 원소를 선택했는지는 중요하지 않기에 순열과는 다른 개념이다.[1]
이 문서에서는 대한민국 수학 교육과정에서 차용한 조합의 표기인 [math({}_{n}{\rm C}_{r})](조합), [math({}_{n}{\rm H}_{r})](중복 조합)을 사용하였다.
2. 상세
집합의 크기(원소의 개수)가 [math(n)]인 집합 [math(S)]에 대해[2] [math(S)]가 갖는 [math(r)]-부분집합[3]의 개수는 이항계수와 같으며, 각 부분집합을 [math(n)]개에서 [math(r)]개를 택하는 조합이라고 한다.이제 조합의 수를 어떻게 구하는 지 알아보기 위해 간단한 예를 들어보자. 네 문자 [math(a)], [math(b)], [math(c)], [math(d)] 중에서 세 문자를 택하는 경우의 수는 우선 순열을 통해 배열할 수 있는 가짓 수 [math({}_{4}{\rm P}_{3})]을 먼저 구한다. 그러나 순열은 순서를 고려해줬기 때문에 뽑은 문자를 배열하는 경우의 수 [math(3!)]을 나눠주어야 한다. 따라서 구하는 경우의 수는 다음과 같다.
| [math(\begin{aligned} \frac{{}_{4}{\rm P}_{3}}{3!}=4 \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \frac{{}_{n}{\rm P}_{r}}{r!} \equiv {}_{n}{\rm C}_{r} \end{aligned})] |
한편, 순열의 정의
| [math(\begin{aligned} {}_{n}{\rm P}_{r}=\frac{n!}{(n-r)!} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \begin{aligned} {}_{n}{\rm C}_{r}&=\frac{n!}{(n-r)! \times r!} \\&=\frac1{r!} \prod_{i=0}^{r-1} (n-i) \end{aligned}\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} {}_{n}{\rm C}_{r}=\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-r+1) \Gamma(r+1)} \end{aligned})] |
2.1. 조합의 성질
- [math({}_{n}{\rm C}_{r}={}_{n}{\rm C}_{n-r})]
- [math(n)]개중 [math(r)]개를 뽑는 것은 [math(n)]개중 [math((n-r))]개의 뽑지 않을 것을 고르는 것과 가짓수가 같다.
- [math({}_{n}{\rm C}_{r}={}_{n-1}{\rm C}_{r}+{}_{n-1}{\rm C}_{r-1})]
- [math(n)]개중 한 개를 고정, [math(\rm A)]라고 한다. 이제 [math(n)]개중 [math(r)]개를 뽑는 가짓수는 [math(\rm A)]를 뽑는 경우와 뽑지 않는 2가지로 나눠지고, 각각의 가짓수는 [math({}_{n-1}{\rm C}_{r-1})], [math({}_{n-1}{\rm C}_r)]이다. 역시 직접 전개하여 증명할 수도 있다. 이를 고등학교 교육과정에서는 '포함-배제의 원리'라고 한다.
3. 중복 조합
조합과 마찬가지로 [math(n)]개의 원소에서 [math(r)]개를 순서에 상관없이 뽑는데, 중복을 허락할 때의 가짓수이다.이 문제를 다룰 때는 흔히 공과 칸막이[4]로 문제를 간단히 하여 생각한다. 이제 [math(a)], [math(b)], [math(c)] 세 종류의 문자를 중복을 허락하여 7개 택하는 경우의 수를 구해보자.
우선 공 7개를 일렬로 배치한다. 이제 세 문자를 구분하기 위해서 공과 공 사이에 칸막이를 삽입할 것인데, 이때 필요로 하는 칸막이는 2개만 있으면 된다. 즉,
| ([math(a)]를 선택한 자리) | ([math(b)]를 선택한 자리) | ([math(c)]를 선택한 자리) |
위 경우 [math(a)], [math(c)]는 각각 두 번, [math(b)]는 세 번 뽑혔음을 나타낸다. 다음은 해석에 유의해야하는 배열의 예이다.
| 배열 | [math(\boldsymbol{a})]가 뽑힌 개수 | [math(\boldsymbol{b})]가 뽑힌 개수 | [math(\boldsymbol{c})]가 뽑힌 개수 |
| | ○ ○ | ○ ○ ○ ○ ○ | 0 | 2 | 5 |
| ○ ○ ○ ○ | | ○ ○ ○ | 4 | 0 | 3 |
| ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ | | | 7 | 0 | 0 |
따라서 우리가 생각하는 경우의 수는 이 칸막이 수까지 합친 9개의 자리에 공과 칸막이를 나열할 것인데, 칸막이를 먼저 나열하면 공은 자동으로 배치되므로 칸막이가 들어갈 자리를 고르는 것과 같다. 단, 칸막이는 동일한 것으로 생각하므로 이 때는 순열이 아닌 조합으로 구함에 유의한다.
이상에서 그 경우의 수는 [math({}_{9}{\rm C}_{2})]가 되는 것이다. 이것을 일반화하면, [math({}_{n+r-1}{\rm C}_{n-1} )]인데, 조합의 성질에 따라서 이것은 [math({}_{n+r-1}{\rm C}_{r})]과 같다. 다음을 정의한다.
| [math(\begin{aligned} {}_{n+r-1}{\rm C}_{r} \equiv {}_{n}{\rm H}_{r} \end{aligned})] |
참고적으로 [math(n<r)]의 경우를 허용하기 때문에 [math(n)]이 무엇인지, [math(r)]이 무엇인지 정확하게 판단할 필요가 있다. 위의 예시에 적용하면 [math(n)]은 문자의 종류([math(a)], [math(b)], [math(c)]) 3가지, [math(r)]은 뽑는 횟수 7회가 된다.
프로야구 3연전에서 A팀과 B팀이 맞붙고, 승과 패의 결과만 있다고 가정하는 경우, A팀의 시리즈 종류는 4종류이다.(3연전 스윕승, 2승 1패 위닝시리즈, 1승 2패 루징시리즈,3연전 스윕패) 이는 중복조합으로 구할 수 있다.
여기서 [math(n)]은 각 경기당 결과 수 2가지(승, 패), [math(r)]은 시리즈당 경기 수 3개다. 따라서 [math(\begin{aligned} {}_{2}{\rm H}_{3} = {}_{2+3-1}{\rm C}_{3} = {}_{4}{\rm C}_{3} = 4 \end{aligned})], 4가지 시리즈를 구할 수 있다.
마찬가지로, 무승부나 우천취소를 포함하거나 2연전 및 4연전 시리즈의 시리즈 종류도 구할 수 있다.
- 2연전의 경우
- 승, 패만 거둘 경우
[math(\begin{aligned} {}_{2}{\rm H}_{2} = {}_{2+2-1}{\rm C}_{2} = {}_{3}{\rm C}_{2} = 3 \end{aligned})], 3가지 시리즈
- 승, 패 및 무승부와 우취 중 어느 하나를 포함할 경우
[math(\begin{aligned} {}_{3}{\rm H}_{2} = {}_{3+2-1}{\rm C}_{2} = {}_{4}{\rm C}_{2} = 6 \end{aligned})], 6가지 시리즈
- 승, 패, 무, 우취 모두 가정할 경우
[math(\begin{aligned} {}_{4}{\rm H}_{2} = {}_{4+2-1}{\rm C}_{2} = {}_{5}{\rm C}_{2} = 10 \end{aligned})], 10가지 시리즈
- 3연전의 경우
- 승, 패만 거둘 경우
[math(\begin{aligned} {}_{2}{\rm H}_{3} = {}_{2+3-1}{\rm C}_{3} = {}_{4}{\rm C}_{3} = 4 \end{aligned})], 4가지 시리즈
- 승, 패 및 무승부와 우취 중 어느 하나를 포함할 경우
[math(\begin{aligned} {}_{3}{\rm H}_{3} = {}_{3+3-1}{\rm C}_{3} = {}_{5}{\rm C}_{3} = 10 \end{aligned})], 10가지 시리즈
- 승, 패, 무, 우취 모두 가정할 경우
[math(\begin{aligned} {}_{4}{\rm H}_{3} = {}_{4+3-1}{\rm C}_{3} = {}_{6}{\rm C}_{3} = 20 \end{aligned})], 20가지 시리즈
* 4연전의 경우
- 승, 패만 거둘 경우
[math(\begin{aligned} {}_{2}{\rm H}_{4} = {}_{2+4-1}{\rm C}_{4} = {}_{5}{\rm C}_{4} = 5 \end{aligned})], 5가지 시리즈
- 승, 패 및 무승부와 우취 중 어느 하나를 포함할 경우
[math(\begin{aligned} {}_{3}{\rm H}_{4} = {}_{3+4-1}{\rm C}_{4} = {}_{6}{\rm C}_{4} = 15 \end{aligned})], 15가지 시리즈
- 승, 패, 무, 우취 모두 가정할 경우
[math(\begin{aligned} {}_{4}{\rm H}_{4} = {}_{4+4-1}{\rm C}_{4} = {}_{7}{\rm C}_{4} = 35 \end{aligned})], 35가지 시리즈
하강 계승(순열)으로 정의되는 조합과 비슷하게, 상승 계승을 이용하면 조합을 이용한 정의보다 더 깔끔한 정의가 가능하다.
| [math(\begin{aligned} {}_{n}{\rm H}_{r}= \dfrac{n^{\overline r}}{r!} \end{aligned})] |
언뜻 보기에 조합의 특수한 경우로밖에 안 보이지만 사실 아주 중요한 성질이 있다. 부분곱으로 나타낸 중복 조합식의 [math(n)]에 [math(-n)]을 대입하면 다음과 같이 식이 변형되면서 조합에 관한 식으로 바뀐다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} {}_{-n}{\rm H}_r &= \frac 1{r!} \prod_{i=0}^{r-1}(-n+i) \\&= \frac{(-1)^r}{r!} \prod_{i=0}^{r-1}(n-i) \\&= (-1)^r {}_n{\rm C}_r \end{aligned})] |
한편, 중복조합의 가짓수를 계산하는 공식에서 뜬금없이 공과 막대기를 들이대는 관행 때문에 산만하다고 불평하는 학습자들도 있다. 다행히(?) 이는 증가수열의 원리를 이용하면 우회할 수 있다. 방법인즉슨, 이번 항이 다음 항보다 크지 않게끔 [math(r)]개의 자연수 항으로 이뤄진 증가수열을 설정하고, 이 수열의 각 항에다가 [math(0, 1, 2, 3, 4, ⋯, (r-1))]를 더하는 것이다. 이러면 이 수열은 [math(r)]개항으로 이뤄진 순증가수열로 바뀐다. 숫자를 더하기 이전의 수열이 중복가능히 선택된 수열이라면, 이 순증가수열은 중복불능히 선택된 수열이다. 이 두 증가수열의 가짓수는 몇가지인가? 전자의 가짓수는 [math(1)]부터 [math(n)]까지의 자연수 [math(n)]개 중 [math(r)]개의 원소를 중복가능히 선택한 개수와 같고, 후자의 가짓수는 [math(1)]부터 [math(n+(r-1))]까지의 자연수 [math(n+(r-1))]개 중에서 [math(r)]개의 원소를 중복불능히 선택한 개수와 같으며, 전자와 후자의 두 수열은 명백히 일대일 대응 관계에 의해 정의되었으므로 둘의 가짓수는 같을 수밖에 없다. 비록 조합을 다룰 때 동원되는 이산수학적 관점과는 상당히 동떨어진 지나치게 수식의존적인 설명방법이지만, 사람에 따라서는 이 방법이 훨씬 자명하게 느껴질 수도 있다. 다만 일선 중등교육 현장에서는 교육과정상 수열에 대해 가르치는 타이밍의 문제도 있고 집합론적 사고방식이 단련되지 않은 학생들이 많으며 해당 단원의 의도와도 잘 들어맞지 않는 등의 이유로 중복조합을 가르칠 때 딱히 권장되는 방식은 아니다.
4. 기타
4.1. 교육과정
- 중국에서는 이과 학생들만 순열과 조합을 배운다.
4.2. 표기 기호
- 조합의 경우 국제적으로 세 기호가 통용된다.
- [math({}_n{\rm C}_r)]
- [math({\rm C}(n,r))]
- [math(\!\dbinom nr)]
- [math({}_{n} \mathrm{C}_{r})]에서 [math(\rm C)]는 조합의 영어 명칭 combination에서 따왔다.
- [math({}_{n}{\rm C}_{r})]을 [math(TeX)]상에서 입력하려면
{}_{n}{\rm C}_{r}을 입력하면 된다. - Wolfram Alpha의 경우
nCr,C(n, r)모두 인식한다. - 중복 조합의 경우 국제적으로 세 기호가 통용된다. 다만, 조합 기호를 이용해서 나타낼 수 있기 때문에 국가에 따라서는 따로 기호를 만들어 쓰지 않는 경우가 많고 별도의 기호가 있다 하더라도 국가마다 제각각이다.
- [math({}_n{\rm H}_r)][7]
- [math({\rm M}(n,r))]
- [math(\!\left(\!\!\dbinom nr\!\!\right))]
- [math({}_n{\rm H}_r)]의 [math(\rm H)]는 동차 단항식(homogeneous monomial) 또는 동차곱(homogeneous product)의 homogeneous에서 딴 것이다.
- [math({}_n{\rm H}_r)]을 [math(TeX)]상에서 입력하려면
{}_{n}{\rm H}_{r}을 입력하면 된다. - [math({\rm M}(n,r))]의 [math(\rm M)]은 중복조합(multi-choose)의 multi-choose 또는 중복집합 계수(multiset coefficient)의 multiset에서 딴 것이다.
- Wolfram Alpha에서 중복 조합은
multichoose(n, r)를 이용한다.
우리나라의 경우 중등 교육과정에서는 첫 번째 표기법이 자주 보이나, 학부부터는 세 번째 표기법이 주를 이루게 된다. 참고로 수학 스택익스체인지에 올라온 질문글 답변에 따르면 세 번째 표기법이 여러 개의 조합식을 써냈을 때 가독성이 가장 좋다고 한다. 다만 [math(1 \times 2)] 행렬과 혼동할 여지가 있어, 행렬과 같이 쓸 때면 행렬 쪽은 보통 대괄호를 쓴다.
5. 관련 문서
[1] 순열은 [math(n)]개의 원소를 갖는 집합에서 [math(r)]개의 원소를 선택하는 것 혹은 그 결과이지만, 선택의 순서가 중요하다. 같은 원소들을 선택했더라도 선택의 순서가 다르다면 다른 순열이지만, 조합은 어떤 순서로 선택을 하던 같은 원소들만 선택했다면 같은 조합이다.[2] 이때 [math(|S|=n)]라고 적는다.[3] [math(r)]개의 원소를 갖는 부분집합이라는 의미이다.[4] 영미권에서는 별과 막대기(stars and bars)라는 용어를 쓴다.[5] 엄밀히 따지면 [math({}_{-n}{\rm C}_r = (-1)^r {}_n{\rm H}_r)][6] 사실 조합을 부분곱으로 나타낸 식을 보면 알겠지만 애초에 그 식에서는 [math(n)]이 복소수여도 상관이 없다. 테일러 급수의 예 문서 참조[7] 주로 한국이나 일본에서 통용되는 기호이다.