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1. 개요
組合 · combination서로 다른 [math(n)]개의 원소에서 [math(r)](단, [math(0<r \leq n)])개를 중복 없이, 순서를 고려하지 않고 선택하는 것.
어떤 순서로 원소를 선택했는지는 중요하지 않기에 순열과는 다른 개념이다.[1]
이 문서에서는 대한민국 수학 교육과정에서 차용한 조합의 표기인 [math({}_{n}{\rm C}_{r})](조합), [math({}_{n}{\rm H}_{r})](중복 조합)을 사용하였다.
2. 상세
집합의 크기(원소의 개수)가 [math(n)]인 집합 [math(S)]에 대해[2] [math(S)]가 갖는 [math(r)]-부분집합[3]의 개수는 이항계수와 같으며, 각 부분집합을 [math(n)]개에서 [math(r)]개를 택하는 조합이라고 한다.이제 조합의 수를 어떻게 구하는 지 알아보기 위해 간단한 예를 들어보자. 네 문자 [math(a)], [math(b)], [math(c)], [math(d)] 중에서 세 문자를 택하는 경우의 수는 우선 순열을 통해 배열할 수 있는 가짓 수 [math({}_{4}{\rm P}_{3})]을 먼저 구한다. 그러나 순열은 순서를 고려해줬기 때문에 뽑은 문자를 배열하는 경우의 수 [math(3!)]을 나눠주어야 한다. 따라서 구하는 경우의 수는 다음과 같다.
| [math(\begin{aligned} \frac{{}_{4}{\rm P}_{3}}{3!}=4 \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \frac{{}_{n}{\rm P}_{r}}{r!} \equiv {}_{n}{\rm C}_{r} \end{aligned})] |
한편, 순열의 정의
| [math(\begin{aligned} {}_{n}{\rm P}_{r}=\frac{n!}{(n-r)!} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \begin{aligned} {}_{n}{\rm C}_{r}&=\frac{n!}{(n-r)! \times r!} \\&=\frac1{r!} \prod_{i=0}^{r-1} (n-i) \end{aligned}\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} {}_{n}{\rm C}_{r}=\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-r+1) \Gamma(r+1)} \end{aligned})] |
2.1. 조합의 성질
- [math({}_{n}{\rm C}_{r}={}_{n}{\rm C}_{n-r})]
- [math(n)]개중 [math(r)]개를 뽑는 것은 [math(n)]개중 [math((n-r))]개의 뽑지 않을 것을 고르는 것과 가짓수가 같다.
- [math({}_{n}{\rm C}_{r}={}_{n-1}{\rm C}_{r}+{}_{n-1}{\rm C}_{r-1})]
- [math(n)]개중 한 개를 고정, [math(\rm A)]라고 한다. 이제 [math(n)]개중 [math(r)]개를 뽑는 가짓수는 [math(\rm A)]를 뽑는 경우와 뽑지 않는 2가지로 나눠지고, 각각의 가짓수는 [math({}_{n-1}{\rm C}_{r-1})], [math({}_{n-1}{\rm C}_r)]이다. 역시 직접 전개하여 증명할 수도 있다. 이를 고등학교 교육과정에서는 '포함-배제의 원리'라고 한다.
3. 중복 조합
조합과 마찬가지로 [math(n)]개의 원소에서 [math(r)]개를 순서에 상관없이 뽑는데, 중복을 허락할 때의 가짓수이다.이 문제를 다룰 때는 흔히 공과 칸막이[4]로 문제를 간단히 하여 생각한다. 이제 [math(a)], [math(b)], [math(c)] 세 종류의 문자를 중복을 허락하여 7개 택하는 경우의 수를 구해보자.
우선 공 7개를 일렬로 배치한다. 이제 세 문자를 구분하기 위해서 공과 공 사이에 칸막이를 삽입할 것인데, 이때 필요로 하는 칸막이는 2개만 있으면 된다. 즉,
| ([math(a)]를 선택한 자리) | ([math(b)]를 선택한 자리) | ([math(c)]를 선택한 자리) |
위 경우 [math(a)], [math(c)]는 각각 두 번, [math(b)]는 세 번 뽑혔음을 나타낸다. 다음은 해석에 유의해야하는 배열의 예이다.
| 배열 | [math(\boldsymbol{a})]가 뽑힌 개수 | [math(\boldsymbol{b})]가 뽑힌 개수 | [math(\boldsymbol{c})]가 뽑힌 개수 |
| | ○ ○ | ○ ○ ○ ○ ○ | 0 | 2 | 5 |
| ○ ○ ○ ○ | | ○ ○ ○ | 4 | 0 | 3 |
| ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ | | | 7 | 0 | 0 |
따라서 우리가 생각하는 경우의 수는 이 칸막이 수까지 합친 9개의 자리에 공과 칸막이를 나열할 것인데, 칸막이를 먼저 나열하면 공은 자동으로 배치되므로 칸막이가 들어갈 자리를 고르는 것과 같다. 단, 칸막이는 동일한 것으로 생각하므로 이 때는 순열이 아닌 조합으로 구함에 유의한다.
이상에서 그 경우의 수는 [math({}_{9}{\rm C}_{2})]가 되는 것이다. 이것을 일반화하면, [math({}_{n+r-1}{\rm C}_{n-1} )]인데, 조합의 성질에 따라서 이것은 [math({}_{n+r-1}{\rm C}_{r})]과 같다. 다음을 정의한다.
| [math(\begin{aligned} {}_{n+r-1}{\rm C}_{r} \equiv {}_{n}{\rm H}_{r} \end{aligned})] |
참고적으로 [math(n<r)]의 경우를 허용하기 때문에 [math(n)]이 무엇인지, [math(r)]이 무엇인지 정확하게 판단할 필요가 있다. 위의 예시에 적용하면 [math(n)]은 문자의 종류([math(a)], [math(b)], [math(c)]) 3가지, [math(r)]은 뽑는 횟수 7회가 된다.
하강 계승(순열)으로 정의되는 조합과 비슷하게, 상승 계승을 이용하면 조합을 이용한 정의보다 더 깔끔한 정의가 가능하다.
| [math(\begin{aligned} {}_{n}{\rm H}_{r}= \dfrac{n^{\overline r}}{r!} \end{aligned})] |
언뜻 보기에 조합의 특수한 경우로밖에 안 보이지만 사실 아주 중요한 성질이 있다. 부분곱으로 나타낸 중복 조합식의 [math(n)]에 [math(-n)]을 대입하면 다음과 같이 식이 변형되면서 조합에 관한 식으로 바뀐다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} {}_{-n}{\rm H}_r &= \frac 1{r!} \prod_{i=0}^{r-1}(-n+i) \\&= \frac{(-1)^r}{r!} \prod_{i=0}^{r-1}(n-i) \\&= (-1)^r {}_n{\rm C}_r \end{aligned})] |
한편, 중복조합의 가짓수를 계산하는 공식에서 뜬금없이 공과 막대기를 들이대는 관행 때문에 산만하다고 불평하는 학습자들도 있다. 다행히(?) 이는 증가수열의 원리를 이용하면 우회할 수 있다. 방법인즉슨, 이번 항이 다음 항보다 크지 않게끔 [math(r)]개의 자연수 항으로 이뤄진 증가수열을 설정하고, 이 수열의 각 항에다가 [math(0, 1, 2, 3, 4, ⋯, (r-1))]를 더하는 것이다. 이러면 이 수열은 [math(r)]개항으로 이뤄진 순증가수열로 바뀐다. 숫자를 더하기 이전의 수열이 중복가능히 선택된 수열이라면, 이 순증가수열은 중복불능히 선택된 수열이다. 이 두 증가수열의 가짓수는 몇가지인가? 전자의 가짓수는 [math(1)]부터 [math(n)]까지의 자연수 [math(n)]개 중 [math(r)]개의 원소를 중복가능히 선택한 개수와 같고, 후자의 가짓수는 [math(1)]부터 [math(n+(r-1))]까지의 자연수 [math(n+(r-1))]개 중에서 [math(r)]개의 원소를 중복불능히 선택한 개수와 같으며, 전자와 후자의 두 수열은 명백히 일대일 대응 관계에 의해 정의되었으므로 둘의 가짓수는 같을 수밖에 없다. 비록 조합을 다룰 때 동원되는 이산수학적 관점과는 상당히 동떨어진 지나치게 수식의존적인 설명방법이지만, 사람에 따라서는 이 방법이 훨씬 자명하게 느껴질 수도 있다. 다만 일선 중등교육 현장에서는 교육과정상 수열에 대해 가르치는 타이밍의 문제도 있고 집합론적 사고방식이 단련되지 않은 학생들이 많으며 해당 단원의 의도와도 잘 들어맞지 않는 등의 이유로 중복조합을 가르칠 때 딱히 권장되는 방식은 아니다.
4. 기타
프로 야구 3연전에서 A팀과 B팀이 맞붙고, 승과 패의 결과만 있다고 가정하는 경우, A팀의 시리즈 종류는 4종류이다.(3연전 스윕승, 2승 1패 위닝시리즈, 1승 2패 루징시리즈,3연전 스윕패) 이는 중복조합으로 구할 수 있다.여기서 [math(n)]은 각 경기당 결과 수 2가지(승, 패), [math(r)]은 시리즈당 경기 수 3개다. 따라서 [math(\begin{aligned} {}_{2}{\rm H}_{3} = 4 \end{aligned})], 4가지 시리즈를 구할 수 있다.
마찬가지로, 무승부나 우천 취소를 포함하거나 2연전 및 4연전 시리즈의 시리즈 종류도 구할 수 있다.
- 2연전의 경우([math(r=2)])
- 승, 패만 거둘 경우([math(n=2)])
- 승, 패 및 무승부와 우취 중 어느 하나를 포함할 경우([math(n=3)])
- 승, 패, 무, 우취 모두 가정할 경우([math(n=4)])
[math(\begin{aligned} {}_{2}{\rm H}_{2} = 3 \end{aligned})], 3가지 시리즈
[math(\begin{aligned} {}_{3}{\rm H}_{2} = 6 \end{aligned})], 6가지 시리즈
[math(\begin{aligned} {}_{4}{\rm H}_{2} = 10 \end{aligned})], 10가지 시리즈
- 3연전의 경우([math(r=3)])
- 승, 패만 거둘 경우([math(n=2)])
- 승, 패 및 무승부와 우취 중 어느 하나를 포함할 경우([math(n=3)])
- 승, 패, 무, 우취 모두 가정할 경우([math(n=4)])
- 4연전의 경우([math(r=4)])
- 승, 패만 거둘 경우([math(n=2)])
- 승, 패 및 무승부와 우취 중 어느 하나를 포함할 경우([math(n=3)])
- 승, 패, 무, 우취 모두 가정할 경우([math(n=4)])
[math(\begin{aligned} {}_{2}{\rm H}_{3} = 4 \end{aligned})], 4가지 시리즈
[math(\begin{aligned} {}_{3}{\rm H}_{3} = 10 \end{aligned})], 10가지 시리즈
[math(\begin{aligned} {}_{4}{\rm H}_{3} = 20 \end{aligned})], 20가지 시리즈
[math(\begin{aligned} {}_{2}{\rm H}_{4} = 5 \end{aligned})], 5가지 시리즈
[math(\begin{aligned} {}_{3}{\rm H}_{4} = 15 \end{aligned})], 15가지 시리즈
[math(\begin{aligned} {}_{4}{\rm H}_{4} = 35 \end{aligned})], 35가지 시리즈
4.1. 교육과정
- 중국에서는 이과 학생들만 순열과 조합을 배운다.
4.2. 표기 기호
- 조합의 경우 국제적으로 세 기호가 통용된다.
- [math({}_n{\rm C}_r)]
- [math({\rm C}(n,r))]
- [math(\!\dbinom nr)]
- [math({}_{n} \mathrm{C}_{r})]에서 [math(\rm C)]는 조합의 영어 명칭 combination에서 따왔다.
- [math({}_{n}{\rm C}_{r})]을 [math(TeX)]상에서 입력하려면
{}_n{\rm C}_r을 입력하면 된다. - Wolfram Alpha의 경우
nCr,C(n, r)모두 인식한다. - 중복 조합의 경우 국제적으로 세 기호가 통용된다. 다만, 조합 기호를 이용해서 나타낼 수 있기 때문에 국가에 따라서는 따로 기호를 만들어 쓰지 않는 경우가 많고 별도의 기호가 있다 하더라도 국가마다 제각각이다. 일본과 그 영향을 받은 한국, 대만에서는 첫 번째 기호를 사용하고, 영문 위키백과 등 서양권에서는 세 번째 기호를 사용하는 경향이 짙다.
- [math({}_n{\rm H}_r)]
- [math({\rm M}(n,r))]
- [math(\!\left(\!\!\dbinom nr\!\!\right))]
- [math({}_n{\rm H}_r)]의 [math(\rm H)]는 동차 단항식(homogeneous monomial) 또는 동차곱(homogeneous product)의 homogeneous에서 딴 것이다.
- [math({}_n{\rm H}_r)]을 [math(TeX)]상에서 입력하려면
{}_n{\rm H}_r을 입력하면 된다. - [math({\rm M}(n,r))]의 [math(\rm M)]은 중복조합(multi-choose)의 multi-choose 또는 중복집합 계수(multiset coefficient)의 multiset에서 딴 것이다.
- Wolfram Alpha에서 중복 조합은
multichoose(n, r)를 이용한다.
우리나라의 경우 중등 교육과정에서는 첫 번째 표기법이 자주 보이나, 학부부터는 세 번째 표기법이 주를 이루게 된다.[7] 참고로 수학 스택익스체인지에 올라온 질문글 답변에 따르면 세 번째 표기법이 여러 개의 조합식을 써냈을 때 가독성이 가장 좋다고 한다. 다만 [math(2 \times 1)] 행렬(혹은 2차원 열벡터)과 혼동할 여지가 있어, 행렬과 같이 쓸 때면 행렬 쪽은 보통 대괄호를 쓴다.
5. 관련 문서
[1] 순열은 [math(n)]개의 원소를 갖는 집합에서 [math(r)]개의 원소를 선택하는 것 혹은 그 결과이지만, 선택의 순서가 중요하다. 같은 원소들을 선택했더라도 선택의 순서가 다르다면 다른 순열이지만, 조합은 어떤 순서로 선택을 하던 같은 원소들만 선택했다면 같은 조합이다.[2] 이때 [math(|S|=n)]라고 적는다.[3] [math(r)]개의 원소를 갖는 부분집합이라는 의미이다.[4] 영미권에서는 별과 막대기(stars and bars)라는 용어를 쓴다.[5] 엄밀히 따지면 [math({}_{-n}{\rm C}_r = (-1)^r {}_n{\rm H}_r)][6] 사실 조합을 부분곱으로 나타낸 식을 보면 알겠지만 애초에 그 식에서는 [math(n)]이 복소수여도 상관이 없다. 테일러 급수의 예 문서 참조.[7] 미적분학 테일러 급수를 이용한 이항정리의 해석적 연속을 다룰 때부터 세 번째 기호를 자주 쓰게 된다.