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1. 개요
combination · 組合서로 다른 [math(n)]개의 원소에서 [math(r)](단, [math(0<r \leq n)])개를 중복 없이, 순서를 고려하지 않고 선택하는 것.
어떤 순서로 원소를 선택했는지는 중요하지 않기에 순열과는 다른 개념이다.[1]
이 문서에서는 대한민국 수학 교육과정에서 차용한 조합의 표기인 [math({}_{n}{\rm C}_{r})](조합), [math({}_{n}{\rm H}_{r})](중복 조합)을 사용하였다.
2. 상세
집합의 크기(원소의 개수)가 [math(n)]인 집합 [math(S)]에 대해[2] [math(S)]가 갖는 [math(r)]-부분집합[3]의 개수는 이항계수와 같으며, 각 부분집합을 [math(n)]개에서 [math(r)]개를 택하는 조합이라고 한다.이제 조합의 수를 어떻게 구하는 지 알아보기 위해 간단한 예를 들어보자. 네 문자 [math(a)], [math(b)], [math(c)], [math(d)] 중에서 세 문자를 택하는 경우의 수는 우선 순열을 통해 배열할 수 있는 가짓 수 [math({}_{4}{\rm P}_{3})]을 먼저 구한다. 그러나 순열은 순서를 고려해줬기 때문에 뽑은 문자를 배열하는 경우의 수 [math(3!)]을 나눠주어야 한다. 따라서 구하는 경우의 수는 다음과 같다.
| [math(\begin{aligned} \frac{{}_{4}{\rm P}_{3}}{3!}=4 \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \frac{{}_{n}{\rm P}_{r}}{r!} \equiv {}_{n}{\rm C}_{r} \end{aligned})] |
한편, 순열의 정의
| [math(\begin{aligned} {}_{n}{\rm P}_{r}=\frac{n!}{(n-r)!} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \begin{aligned} {}_{n}{\rm C}_{r}&=\frac{n!}{(n-r)! \times r!} \\&=\frac1{r!} \prod_{i=0}^{r-1} (n-i) \end{aligned}\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} {}_{n}{\rm C}_{r}=\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-r+1) \Gamma(r+1)} \end{aligned})] |
2.1. 조합의 성질
- [math({}_{n}{\rm C}_{r}={}_{n}{\rm C}_{n-r})]
- [math(n)]개중 [math(r)]개를 뽑는 것은 [math(n)]개중 [math((n-r))]개의 뽑지 않을 것을 고르는 것과 가짓수가 같다.
- [math({}_{n}{\rm C}_{r}={}_{n-1}{\rm C}_{r}+{}_{n-1}{\rm C}_{r-1})]
- [math(n)]개중 한 개를 고정, [math(\rm A)]라고 한다. 이제 [math(n)]개중 [math(r)]개를 뽑는 가짓수는 [math(\rm A)]를 뽑는 경우와 뽑지 않는 2가지로 나눠지고, 각각의 가짓수는 [math({}_{n-1}{\rm C}_{r-1})], [math({}_{n-1}{\rm C}_r)]이다. 역시 직접 전개하여 증명할 수도 있다. 이를 고등학교 교육과정에서는 '포함-배제의 원리'라고 한다.
- [math(p in {mathbb P})]이고 [math(r in {mathbb Z}_p)]인 경우, [math({}_{n}{\rm C}_{r}=\begin{cases}
0 & \quad ({}_{n}{\rm C}_{r}>1)
\end{cases})]
3. 중복 조합
조합과 마찬가지로 [math(n)]개의 원소에서 [math(r)]개를 순서에 상관없이 뽑는데, 중복을 허락할 때의 가짓수이다.이 문제를 다룰 때는 흔히 공과 칸막이[4]로 문제를 간단히 하여 생각한다. 이제 [math(a)], [math(b)], [math(c)] 세 종류의 문자를 중복을 허락하여 7개 택하는 경우의 수를 구해보자.
우선 공 7개를 일렬로 배치한다. 이제 세 문자를 구분하기 위해서 공과 공 사이에 칸막이를 삽입할 것인데, 이때 필요로 하는 칸막이는 2개만 있으면 된다. 즉,
| ([math(a)]를 선택한 자리) | ([math(b)]를 선택한 자리) | ([math(c)]를 선택한 자리) |
위 경우 [math(a)], [math(c)]는 각각 두 번, [math(b)]는 세 번 뽑혔음을 나타낸다. 다음은 해석에 유의해야하는 배열의 예이다.
| 배열 | [math(\boldsymbol{a})]가 뽑힌 개수 | [math(\boldsymbol{b})]가 뽑힌 개수 | [math(\boldsymbol{c})]가 뽑힌 개수 |
| | ○ ○ | ○ ○ ○ ○ ○ | 0 | 2 | 5 |
| ○ ○ ○ ○ | | ○ ○ ○ | 4 | 0 | 3 |
| ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ | | | 7 | 0 | 0 |
따라서 우리가 생각하는 경우의 수는 이 칸막이 수까지 합친 9개의 자리에 공과 칸막이를 나열할 것인데, 칸막이를 먼저 나열하면 공은 자동으로 배치되므로 칸막이가 들어갈 자리를 고르는 것과 같다. 단, 칸막이는 동일한 것으로 생각하므로 이 때는 순열이 아닌 조합으로 구함에 유의한다.
이상에서 그 경우의 수는 [math({}_{9}{\rm C}_{2})]가 되는 것이다. 이것을 일반화하면, [math({}_{n+r-1}{\rm C}_{n-1} )]인데, 조합의 성질에 따라서 이것은 [math({}_{n+r-1}{\rm C}_{r})]과 같다. 다음을 정의한다.
| [math(\begin{aligned} {}_{n+r-1}{\rm C}_{r} \equiv {}_{n}{\rm H}_{r} \end{aligned})] |
참고적으로 [math(n<r)]의 경우를 허용하기 때문에 [math(n)]이 무엇인지, [math(r)]이 무엇인지 정확하게 판단할 필요가 있다.
하강 계승(순열)으로 정의되는 조합과 비슷하게, 상승 계승을 이용하면 조합을 이용한 정의보다 더 깔끔한 정의가 가능하다.
| [math(\begin{aligned} {}_{n}{\rm H}_{r}= \dfrac{n^{\overline r}}{r!} \end{aligned})] |
언뜻 보기에 조합의 특수한 경우로밖에 안 보이지만 사실 아주 중요한 성질이 있다. 부분곱으로 나타낸 중복 조합식의 [math(n)]에 [math(-n)]을 대입하면 다음과 같이 식이 변형되면서 조합에 관한 식으로 바뀐다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} {}_{-n}{\rm H}_r &= \frac 1{r!} \prod_{i=0}^{r-1}(-n+i) \\&= \frac{(-1)^r}{r!} \prod_{i=0}^{r-1}(n-i) \\&= (-1)^r {}_n{\rm C}_r \end{aligned})] |
4. 기타
4.1. 교육과정
- 중국에서는 이과 학생들만 순열과 조합을 배운다.
4.2. 표기 기호
- 조합의 경우 국제적으로 세 기호가 통용된다.
- [math({}_{n}{\rm C}_{r})]
- [math({\rm C}(n,\,r))]
- [math(\displaystyle \binom{n}{r})]
- [math({}_{n} \mathrm{C}_{r})]에서 [math(\rm C)]는 조합의 영어 명칭 combination에서 따왔다.
- [math({}_{n}{\rm C}_{r})]을 [math(TeX)]상에서 입력하려면
{}_{n}{\rm C}_{r}을 입력하면 된다. - Wolfram Alpha의 경우
nCr,C(n, r)모두 인식한다.
우리나라의 경우 중등 교육과정에서는 첫 번째 표기법이 자주 보이나, 학부부터는 세 번째 표기법이 주를 이루게 된다. 참고로 수학 스택익스체인지에 올라온 질문글 답변에 따르면 세 번째 표기법이 여러 개의 조합식을 써냈을 때 가독성이 가장 좋다고 한다. 다만 [math(1 \times 2)] 행렬과 혼동할 여지가 있어, 행렬과 같이 쓸 때면 행렬 쪽은 보통 대괄호를 쓴다.
- 중복 조합의 경우 국제적으로 세 기호가 통용된다. 다만, 조합 기호를 이용해서 나타낼 수 있기 때문에 국가에 따라서는 따로 기호를 만들어 쓰지 않는 경우가 많고 별도의 기호가 있다 하더라도 국가마다 제각각이다.
- [math({}_{n}{\rm H}_{r})][7]
- [math({\rm M}(n,\,r))]
- [math(\left(\!\!\dbinom{n}{r}\!\!\right))]
- [math({}_{n}{\rm H}_{r})]의 [math(\rm H)]는 동차 단항식(homogeneous monomial) 또는 동차곱(homogeneous product)의 homogeneous에서 딴 것이다.
- [math({}_{n}{\rm H}_{r})]을 [math(TeX)]상에서 입력하려면
{}_{n}{\rm H}_{r}을 입력하면 된다. - [math({\rm M}(n,\,r))]의 [math(\rm M)]은 중복조합(multi-choose)의 multi-choose 또는 중복집합 계수(multiset coefficient)의 multiset에서 딴 것이다.
- Wolfram Alpha에서 중복 조합은
multichoose(n, r)를 이용한다.
5. 관련 문서
[1] 순열은 [math(n)]개의 원소를 갖는 집합에서 [math(r)]개의 원소를 선택하는 것 혹은 그 결과이지만, 선택의 순서가 중요하다. 같은 원소들을 선택했더라도 선택의 순서가 다르다면 다른 순열이지만, 조합은 어떤 순서로 선택을 하던 같은 원소들만 선택했다면 같은 조합이다.[2] 이때 [math(|S|=n)]라고 적는다.[3] [math(r)]개의 원소를 갖는 부분집합이라는 의미이다.[4] 영미권에서는 별과 막대기(stars and bars)라는 용어를 쓴다.[5] 엄밀히 따지면 [math({}_{-n}{\rm C}_r = (-1)^r {}_n{\rm H}_r)][6] 사실 조합을 부분곱으로 나타낸 식을 보면 알겠지만 애초에 그 식에서는 [math(n)]이 복소수여도 상관이 없다. 테일러 급수의 예 문서 참조[7] 주로 한국이나 일본에서 통용되는 기호이다.