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1. 개요
豫想과 確認대한민국 초등학교 수학 교육과정에 나오는 문제 해결 과정으로, 수학적으로 엄밀하게 만들어진 모형[1]을 모른다고 가정했을 때 학생 스스로의 직감과 시행착오를 겪어가며 해결하는 방법이다. 사실 '예상과 확인' 같은 시행착오법은 초등학교 수준에 한정되어 있지 않는다. 고등학교 이상에서도 다항식의 유리근 정리, 수열의 점화식, 경우의 수를 이용한 풀이법 및 조합론 등 수학의 심화적인 많은 영역에서 이같은 방법을 사용하게 된다.
중학교부터는 연립방정식을 배우고, 미지수가 두 개이고 미지수들에 대한 식이 두 개일 때 방정식의 해를 결정할 수 있음을 배우고, 연립일차방정식의 대수적인 해법을 배운다. 그러나 방정식의 개념을 익히기 전인 초등학교에서는, 예상과 확인이라는 시행착오법으로 접근하도록 교육한다.
2. 예시
다음 예를 통해 전자와 후자의 차이를 확인해보자.| 문제: 어느 동물농장에 돼지와 닭이 있습니다. 동물들은 모두 20마리이며, 동물들의 다리는 모두 68개입니다. 돼지와 닭은 각각 몇 마리입니까? |
| <중학교 이상의 수준> 돼지를 [math(x)]마리, 닭을 [math(y)]마리라고 한 뒤, 돼지는 다리가 4개이고 닭은 다리가 2개임에 착안하여 다음과 같은 연립일차방정식을 세울 수 있으며, [math(\begin{cases}x+y=20\\4x+2y=68\end{cases})] 아래 과정을 통해 풀 수 있다.[2]
따라서 돼지는 14마리, 닭은 6마리이다. |
| <초등학교 수준> 우선, 돼지를 □마리, 닭을 △마리라고 하자. □+△=20이 되도록 아무 수나 넣어본다. 돼지는 다리가 4개이고 닭은 다리가 2개임에 착안하여 다음과 같이 예상과 확인을 실행한다. □=10, △=10로 하면(예상), 4×□+2×△=4×10+2×10=60이 되어 문제의 조건에 맞지 않는다(확인). □=15, △=5로 하면(예상), 4×□+2×△=4×15+2×5=70이 되어 문제의 조건에 맞지 않는다(확인). □=14, △=6으로 하면(예상), 4×□+2×△=4×14+2×6=68이 되어 문제의 조건에 맞는다(확인). 따라서 돼지는 14마리, 닭은 6마리이다. |
이미 미지수를 [math(x)]나 [math(y)] 따위로 표기함을 배운 중학교와 달리, 예상과 확인을 배울 때는 [math(x)]는커녕 '미지수'라는 용어도 쓰지 않고 '어떤 수' 또는 '알 수 없는 수'라는 말로 풀어 쓴다. 또한, [math(x)] 대신 □(네모)를 쓰며, □ 다음으로는 보통 △(세모)를 쓴다. 곱셈 기호(×) 역시 생략하지 않고 그대로 쓴다.
또한, 예상과 확인에서는 일차 연립방정식의 해가 0 이상의 정수가 나오는 경우만을 다룬다. 음수, 무리수 등 배우지 않은 수학 개념들이 있을 뿐 아니라, 그렇게 하지 않고서는 생각해야 할 수의 개수가 무한대로 늘어나기 때문이다. 유리수로만 확장하더라도 0과 1 사이에 무수히 많은 유리수가 존재한다. 이 차이를 인지하지 못하는 사람이 하게 되는 행위가 일명 '노가다'이다.
이 '예상과 확인'에서는 동물들의 다리 세기가 거의 클리셰 수준이다. 이것만큼 연립일차방정식을 실생활과 찰떡같이 연결할 만한 소재가 없기 때문이다.
초등수학 이상에서 예상과 확인을 거쳐야 하는 상황 중 하나로 삼차방정식이 있다. 유리근 정리를 이용해서 유리근의 '후보'을 추린 뒤, 이게 실제로 근인지를 확인해야 하는 절차가 들어가기 때문.[5]
3. 여담
인터넷 강사 삽자루는 본인의 강의 도중, '예상과 확인'의 중요성을 언급하며 선행학습을 하면 안 되는 이유를 말했고, 이게 인터넷 커뮤니티에 언급된 바 있다. 선행학습의 문제점 요약하자면 당장 다음 내용 공식을 암기하느라 예상과 확인의 학습을 소홀히 하게 되면 언젠가 더 높은 벽에 부딪힌다는 것.실제로 이러한 '예상과 확인'은 어떠한 방정식을 대수적으로 풀기 힘들 때 유용하게 쓰인다. 과거 학력평가에서 [math(2^a=a+12)]의 양수해를 구하라는 문제가 나온 바 있었는데 이것을 대수적으로 풀려면 고등학교 교육과정을 아득히 넘어가는 수준인 람베르트 W 함수를 써야 한다. 고등학교 교사나 이 문제를 출제하는 사람들도 고등학생들이 람베르트 W 함수를 알 것이라고 생각하지 않는다. 뿐만 아니라 애초에 이 함수가 특수 함수이기 때문에 고등학교 교사나 출제자도 이런 함수를 모를 확률이 상당히 높다.[6] 그래서 고등학교 수준에서는 예상과 확인 외에는 별 도리가 없다. 1부터 순차적으로 대입해봐야 안다. 참고로 답은 4. 애초에 예상과 확인을 통해 풀라고 낸 문제이기 때문에 큰 수를 답으로 내진 않은 것으로 추측된다.
[1] e.g. 이원 일차 연립방정식의 행렬 표현: 아래 선형대수학 수준 풀이 참고.[2] 연립방정식을 푸는 방법은 아래에 나온 방법인 가감소거법, 역행렬 사용 이외에도 대입법, 크라메르의 법칙, 가우스 소거법 등이 있다.[3] 사실 역행렬 계산에 고전적 수반 행렬이 필수적인 것은 아니며, 첨가행렬 [math([A|I])]을 만들어 기본행연산을 통해 [math([I|A^{-1}])]로 만드는 방식을 많이 사용하며, 그나마도 차수가 높아지면 역행렬보다는 대각화, 삼각화 등을 사용한다.[4] 애당초 선형사상이라는 게 주어진 식에서 두 개 이상의 해를 한꺼번에 구해내야 할 때 진가를 발휘하는데, 일상에서는 시간이 좀 더 걸리더라도 순차적으로 해를 구하는 것을 더 선호하는 편이다.[5] 판별식으로 세 실근이 나오는 상황이 나오고, 유리근 정리에서 나온 근 후보가 전부 낙선(?)이라면, 이른바 환원 불능(casus irreducibilis)이 된다.[6] 초중등교육과정 전체에서 초등함수조차도 다 가르치지 않으며, 특수함수는 최대공약수와 최소공배수 단 둘뿐이다.