최근 수정 시각 : 2025-07-28 03:03:48

하샤드 수

1. 개요2. 상세
2.1. 하샤드 수가 절대 될 수 없는 경우 (끝자리 법칙에 적용되는 2, 5, 10의 배수에 해당)
3. 10진법에서 하샤드 수가 되는 수
3.1. 1~9993.2. 1000~19993.3. 2000~2600
4. 2진법에서 하샤드 수가 되는 수5. 8진법에서 하샤드 수가 되는 수6. 16진법에서 하샤드 수가 되는 수

1. 개요

하샤드 수(harshad number)는 주어진 진법에서 그 수의 각 자릿수 숫자의 합으로 나누어떨어지는 자연수를 말한다.

인도의 수학자 카프리카가 정의했으며, '기쁨을 준다'는 뜻의 산스크리트어 단어인 harshad에서 유래했다. 또한 이를 확장시켜서 주어진 진법에서 어떤 수의 각 자리 숫자의 합이 한 자리 수가 될 때까지 반복했을 때, 나타나는 수들도 모두 하샤드 수가 되는 수나 어떤 자연수가 그 수의 각 자리 숫자의 합을 한 자리 수가 될 때까지 반복하여 얻어진 수들로 모두 나누어떨어지는 수의 경우도 생각해볼 수 있으며, 이는 소수와 연관성이 높다. 소수는 주어진 진법에서 각 자리 숫자의 합이 한자리수가 될 때까지 반복했을 때, 거쳐온 수들도 모두 소수가 되는 소수인데, n진법의 경우 p가 n-1의 소인수이라면 각 자리 숫자의 합이 p가 되는 수들은 모두 p의 배수가 되므로 한자리 수까지 반복한 최종 결과 각 자리 숫자의 합은 p-1이 아닌 한자리의 소수인 소수여야 한다.

2. 상세

예를 들어 12는 각 자릿수 숫자의 합이 1+2=3이고, 12가 3으로 나누어떨어지므로 12는 10진법에서 하샤드 수다. 그러나 16은 1+6=7이고, 16이 7로 나누어떨어지지 않으므로 16은 10진법에서 하샤드 수가 아니다.

다음의 경우 무조건 하샤드 수다.(아래의 조건들은 모두 10진법을 기준으로 함.)
  • 한 자리 수인 자연수[1]
  • 10의 거듭제곱인 수[2]
  • 하샤드 수에 10의 거듭제곱인 수를 곱한 수[3]
  • 각 자릿수의 합이 3 또는 9의 배수[4]
  • 해당 수의 자릿수가 3n인 동시에 모든 자리의 숫자가 같은 수
  • 10n의 배수이며 각 자리수의 합이 9×10n의 약수인수
  • 일의 자리가 0, 5, 8이고 일의 자리를 제외한 각 자리의 합이 10의 배수인 수
  • 일의 자리가 2이고 십의 자리가 홀수이며 일의 자리를 제외한 각 자리 수의 합이 10인 수
  • 세 자리 수의 경우 십의 자리가 0이고 백의 자리와 일의 자리 수의 합이 11인 수, 다섯 자리의 수의 경우 천의 자리와 십의 자리가 0이고 만의 자리, 백의 자리와 일의 자리의 합이 11인 수[5]
  • 네 자리 수의 경우 각 자리의 합이 22인 짝수이면서, 두 자리 숫자끼리 묶은 수의 합이 121이 되는 수[6]
  • 가장 끝에 n자리 숫자가 2n 또는 5n이고, 가장 끝에 n개의 자릿수를 제외한 나머지 자릿수의 합이 2n에서 2n의 각 자릿수의 합을 뺀 수나 5n에서 5n의 각 자리숫자의 합을 뺀 수에 해당하는 수[7] 이를 확장한 버전으로는 가장 끝의 n개의 자리 수가 2n, 5n의 배수이면서 각 자리 숫자의 합이 2n이나 5n이 되는 수[8][9]
  • 가장 끝 n자리가 2n 또는 5n에 10의 거듭제곱을 곱한 수이면서, 가장 끝에 n+1[10]개의 자릿수를 제외한 나머지 자릿수의 합이 10n에 2n을 곱한 수에서 2n의 각 자릿수의 합을 뺀 수나 10n에 5n에서 5n의 각 자리숫자의 합을 뺀 수에 해당하는 수[11] 이를 확장한 버전으로는 가장 끝의 n개의 자리 수가 10n에 2n, 5n의 배수이면서 각 자리 숫자의 합이 10n에 2n이나 5n을 곱한 수[12]
  • 그 외 해당되는 숫자에서 각 자리의 합으로 나누어 떨어지는 수[13]

2.1. 하샤드 수가 절대 될 수 없는 경우 (끝자리 법칙에 적용되는 2, 5, 10의 배수에 해당)

  • 두 자리 이상의 소수들은 1과 자기 자신밖에 약수가 없으며, 각 자리 숫자의 합이 1보다 크고, 9*n(n은 2 이상의 자연수)보다 작기 때문에[14] 모두 하샤드 수가 아니다.
  • 각 자리의 합이 짝수[15]이면서 끝 자리가 홀수인 수
    • 모든 자리 수가 홀수인 짝수 자리 수
  • 각 자리의 합이 5의 배수이며 일의 자리가 5나 0이 아닌 모든 수[16]

3. 10진법에서 하샤드 수가 되는 수

3.1. 1~999

3.2. 1000~1999

  • 1000~1100: 1000, 1002, 1008, 1010, 1011, 1012, 1014, 1015, 1016, 1017, 1020, 1026, 1032, 1035, 1040, 1044, 1050, 1053, 1056, 1062, 1066, 1071, 1080, 1090, 1092, 1095, 1098, 1100
  • 1101~1200: 1101, 1104, 1107, 1110, 1116, 1120, 1122, 1125, 1128, 1130, 1134, 1140, 1141, 1143, 1148, 1152, 1160, 1161, 1164, 1168, 1170, 1180, 1183, 1185, 1188, 1200
  • 1201~1300: 1204, 1206, 1212, 1215, 1220, 1224, 1230, 1232, 1233, 1236, 1242, 1251, 1260, 1270, 1272, 1274, 1275, 1278, 1296, 1300
  • 1301~1400: 1302, 1304, 1305, 1308, 1310, 1314, 1320, 1323, 1330, 1332, 1341, 1344, 1350, 1360, 1365, 1368, 1380, 1386, 1387, 1394, 1400
  • 1401~1500[25]: 1404, 1410, 1413, 1416, 1417, 1422, 1431, 1440, 1450, 1452, 1455, 1456, 1458, 1476, 1494, 1500
  • 1501~1600[26]: 1503, 1512, 1520, 1521, 1524, 1526, 1530, 1534, 1540, 1545, 1547, 1548, 1560, 1566, 1584, 1590, 1596
  • 1601~1700: 1602, 1611, 1620, 1630, 1632, 1635, 1638, 1651, 1652, 1656, 1674, 1679, 1680, 1692
  • 1701~1800: 1701, 1704, 1710, 1720, 1725, 1728, 1729, 1740, 1744, 1746, 1764, 1770, 1782, 1785, 1800
  • 1801~1900: 1810, 1812, 1815, 1818, 1836, 1848, 1853, 1854, 1860, 1872, 1890, 1896, 1900
  • 1901~1999: 1904, 1905, 1908, 1920, 1926, 1944, 1950, 1962, 1968, 1974, 1980, 1998[27]

3.3. 2000~2600

  • 2000~2099: 2000, 2001, 2004, 2007, 2010, 2016, 2020, 2022, 2023, 2024, 2025, 2028, 2030, 2034, 2040, 2043, 2052, 2061, 2064, 2070, 2080, 2085, 2088, 2090
  • 2100~2199: 2100, 2106, 2112, 2115, 2119, 2120, 2124, 2130, 2133, 2136, 2142, 2151, 2156, 2159, 2160, 2170, 2172, 2175, 2176, 2178, 2196
  • 2200~2299: 2200, 2202, 2205, 2208, 2210, 2212, 2214, 2220, 2223, 2232, 2236, 2240, 2241, 2244, 2250, 2260, 2265, 2268, 2280, 2282, 2286, 2289
  • 2300~2399: 2300, 2304, 2310, 2312, 2313, 2316, 2322, 2331, 2340, 2350, 2352, 2353, 2355, 2358, 2376, 2394, 2398
  • 2400~2499: 2400, 2401, 2403, 2408, 2412, 2421, 2424, 2430, 2440, 2445, 2448, 2460, 2464, 2465, 2466, 2470, 2478, 2484, 2490
  • 2500~2600: 2502, 2511, 2520, 2530, 2532, 2534, 2535, 2538, 2556, 2574, 2580, 2584, 2592, 2596, 2600

4. 2진법에서 하샤드 수가 되는 수

  • 12~11112 : 12, 102, 1002, 1102[28], 10002, 10102, 11002
  • 100002~1111112 : 100002, 100102, 101002, 101012, 110002, 1000002, 1000102, 1001002, 1010002, 1010102, 1100002, 1111002
  • 10000002~11111112 : 10000002, 10000102, 10001002, 10001012, 10010002, 10100002, 10100012, 10101002, 10110002, 10111002, 11000002, 11011002, 11011102, 11100002, 11100112, 11101002, 11110002, 11111002

5. 8진법에서 하샤드 수가 되는 수

  • 18~78 : 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78
  • 108~778 : 108, 168, 208, 258, 308, 348, 408, 438, 508, 528, 608, 618, 708
  • 1008~1778 : 1008, 1028, 1068, 1108, 1138, 1158, 1248, 1308, 1328, 1338, 1428, 1518, 1608, 1708, 1768
  • 2008~2778 : 2008, 2018, 2048, 2058, 2078, 2148, 2208, 2218, 2238, 2268, 2328, 2418, 2458, 2508, 2608, 2648, 2668
  • 3008~3778 : 3008, 3048, 3068, 3108, 3138, 3228, 3308, 3318, 3348, 3408, 3508, 3568, 3628, 3748, 3778
  • 4008~4778 : 4008, 4028, 4038, 4058, 4128, 4218, 4308, 4368, 4408, 4428, 4468, 4548, 4648

6. 16진법[29]에서 하샤드 수가 되는 수

  • 116~F16 : 116, 216, 316, 416, 516, 616, 716, 816, 916, A16, B16, C16, D16, E16, F16
  • 1016~FF16 : 1016, 1216, 1416, 1E16, 2016, 2116, 2316, 2416, 2816, 2D16, 3016, 3216, 3616, 3C16, 4016, 4116, 4216, 4616, 4816, 4B16, 5016, 5A16, 6016, 6416, 6916, 6C16, 7016, 7816, 8016, 8216, 8416, 8716, 8C16, 9016, 9616, A016, A516, AF16, B016, B416, C016, C316, C616, C816, D016, D216, E016, E116, F016, FA16

[1] 자리수가 하나밖에 없으며, 모든 자연수는 자기 자신으로 나누어 떨어지기 때문에 자명하다.[2] 자리수의 합이 1이며, 모든 자연수는 1로 나누어떨어지기 때문에 자명하다.[3] 10의 거듭제곱을 곱하더라도 약수의 총합은 그대로이기 때문에 자명하다.[4] 3, 9의 배수는 각 자리 수의 합이 항상 3, 9의 배수이기 때문에 자명하다.[5] 이 경우에는 11*(9n+1)이 되는데 n은 백의 자리 수와 같다.[6] 이 조건이 성립되려면 어떤 두 자리의 숫자가 21보다 커야 하고, 앞에 두 자리가 홀수, 뒤에 두 자리가 짝수가 될 때만 성립한다. 예: 2398은 각 자릿수의 합이 22인 짝수이면서 두 자리 숫자(23+98)끼리 묶은 합이 121이다.[7] 이걸 좀 더 자세히 설명하자면 예를 들어 가장 끝에 있는 네 자리 숫자가 (00)16이고, 끝에서부터 다섯번째(만의 자리) 이후의 모든 자리숫자의 합이 9인 수[30], 가장 끝에 있는 두 자리 숫자가 25이고, 일의 자리와 십의 자리를 제외한 나머지 자리 숫자의 합이 18이 되는 수[31], 가장 끝에 있는 다섯 자리 숫자가 (000)32이고, 가장 끝에서부터 여섯번째(십만의 자리) 이후의 모든 자리 숫자의 합이 27이 되는 수[32], 가장 끝에 있는 세 자리 숫자가 125이고, 가장 끝에 세 자리(일의 자리, 십의 자리, 백의 자리)를 제외한 나머지 자리 숫자의 합이 117이 되는 수[33]... 이런 식이다. 이 수들도 각 자리 숫자의 합을 빼면 전부 9의 배수가 된다.[8] 단, 32 까지의 2n(3을 곱한 경우에는 24 까지, 9를 곱한 경우에는 모두 가능.)의 경우에는 끝에 n 자리 숫자의 합이 2n보다 작아야 하기에 끝 n개의 자리 수는 2n을 넘지 않아야 한다. 즉 끝 2자리가 4의 배수면 십의 자리와 일의 자리의 합은 4보다 작아야 하고(3을 곱할 경우 12보다 작아야 함), 끝 3자리가 8의 배수면 백의 자리, 십의 자리, 일의자리의 합은 8보다 작아야 하므로(3을 곱할 경우 888을 제외한 모든 숫자에서 가능), 각 자리의 합이 2n을 넘지 않아야 한다는 것이며, 9n<2n(혹은 9n<3*2n) 일 때는 모두 가능하므로 n이 6 이상(3*2n에서는 4 이상)일 때는 9×6=54<26=63(9×4=36<3*24=48)이기에 끝 n개 자리 숫자가 n자리 의 가장 큰 2n의 배수이더라도 가능하다. 특히 2n(3*2n)의 경우는 두 자리수 이상이 되는 24=16(3*22=12)이므로 두 자리수 이상이 되는 가장 작은 경우는 n=4(3을 곱할때는 n=2)가 된다. 4 이상의 자연수 n에 대하여 가장 끝의 n자리 수가 2n이면서 각 자리 숫자의 합이 2n이 되는 경우가 존재하므로 22=4, 23=8의 경우는 한 자리수라서 이게 성립할 수 없다. 그래서 끝의 2자리 또는 3자리 숫자의 합이 무조건 4나 8보다 작은 4, 8의 배수여야만 이게 성립한다.[9] 예: 112는 끝 2자리가 4의 배수이면서 각 자리 수의 합이 4, 1016은 끝 3자리가 8의 배수이면서 각 자리 수의 합이 8, 70144은 끝 4자리가 16의 배수이면서 각 자리 숫자의 합이 16, 5900288는 끝 5자리가 32의 배수이면서 각 자리 수의 합이 32, 4975는 끝 2자리가 25의 배수이면서 각 자리의 수의 합이 25가 되는 수, 2999999999999375(2999조 9999억 9999만 9375, 250는 125의 배수이며 끝 3자리의 합이 7, 나머지 자리의 숫자의 합이 118)는 끝 3자리가 125의 배수이면서 각 자리의 숫자의 합이 125이긴 하다만, 5n 중에 54인 625(이 수는 29=512보다도 크다)부터는 숫자가 훨씬 커져서 자릿수가 엄청 많아야 한다. 예시: 3,699,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,990,625(9가 무려 67개)나 257,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,996,875(9가 무려 65개) 등[10] 자릿수 하나를 더하는 이유는 10이 2와 5가 곱해져 있어서 자릿수 한 칸 위로 올리기 때문이다. 예를 들면 20은 22*5이므로 맨 끝 2자리가 된다.[11] 가장 끝에 있는 두 자리의 숫자가 20이고, 끝에서부터 세 번째(백의 자리) 이후의 모든 자리의 합이 18이 되는 수[34], 가장 끝에 있는 세 자리의 숫자가 (0)40이고, 끝에서부터 네 번째(천의 자리) 이후의 모든 자리의 합이 36이 되는 수[35], 가장 끝에 있는 두 자리의 숫자가 50이고, 끝에서부터 세번째(백의 자리) 이후 모든 자리의 합이 45가 되는 수[36], 가장 끝에 있는 네 자리의 숫자가 (00)80이고, 끝에서부터 다섯번째 자리(만의 자리) 이후의 모든 자리의 합이 72가 되는 수[37], 가장 끝에 있는 세 자리 숫자가 100이고, 가장 끝 세 자리를 제외한 나머지 합이 99가 되는 수[38]... 이런 식이다. 이 수들도 각 자리 숫자의 합을 빼면 전부 9의 배수가 된다.[12] 예: 3980은 끝 2자리가 20의 배수이면서 각 자릿수의 합이 20, 799960은 끝 3자리가 40의 배수이면서 각 자릿수의 합이 40, 9999950은 각 자리수의 합이 50이면서 끝 2자리가 50의 배수인 수, 69999999920은 끝 4자리가 80의 배수이면서 각 자릿수의 합이 80, 47899999999900(47조 8999억 9999만 9900)은 끝 2자리가 100의 배수면서 각 자릿수의 합이 100[13] 각 자릿수의 합이 2, 3, 5의 배수가 아닌 경우에 해당하며 그 중에서 가장 작은 수는 133(7*19)이며, 몫이 대부분 9n+1에서 많이 나온다.[14] 9*n이면 각 자릿수의 합이 무조건 9의 배수가 되어서 소수가 될 수 없다.[15] 짝수의 배수이면 끝자리는 무조건 짝수. 두 자리 수의 경우 홀수+홀수(11, 13, 15, ... , 99)일 때, 세 자리 수의 경우 짝수+홀수+홀수(211, 213, 215, ... , 899) 혹은 홀수+짝수+홀수(101, 103, 105, ... , 989)일 때, 네 자리 수의 경우 전부 자리의 숫자가 홀수(1111, 1113, 1115, ... , 9999)이거나 끝 자리를 제외한 나머지 세 자리 가운데 짝수 두 개+홀수 한 개(1001, 1003, 1005, ... , 9889)로 이루어져 있을 경우[16] 14, 19, 23, 28, 등등...[17] 하샤드 수의 정의를 고려하면 어느 진법이든 상관없이 한 자리 수는 당연히 하샤드 수다. 이 중에서 1, 2, 4, 6은 어느 진법에서든 항상 하샤드 수다.[18] 여기까지는 전체 자연수:하샤드 수 비율 1:1로 동일[19] 전체 자연수:하샤드 수 비율 2:1[20] 전체 자연수:하샤드 수 비율 3:1[21] 각 자릿수의 합이 2, 3, 5의 배수가 아닌 가장 작은 수[22] 각 자릿수의 합이 두 자리의 소수인 가장 작은 수[23] 각 자릿수의 합이 2, 3, 5, 11의 배수가 아닌 가장 작은 두 자리의 소수[24] 전체 자연수:하샤드 수 비율 4:1[25] 1500까지는 100의 배수, 즉 끝 두 자리가 00인 수가 전부 하샤드 수다.[26] 1600은 끝 두 자리가 00이어서 100의 배수인 수 중에서 처음으로 하샤드 수가 아니다.[27] 전체 자연수:하샤드 수 비율 5:1[28] 앞에 4개의 숫자는 모든 진법에 상관 없이 전부 하샤드 수다.[29] 해당 숫자에 알파벳(A~F)이 있을 경우 각 자릿수에 10~15를 더하면 된다.

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