최근 수정 시각 : 2022-04-06 16:06:52

하샤드 수


1. 개요2. 상세
2.1. 하샤드 수가 절대 될 수 없는 경우 (끝자리 법칙에 적용되는 2, 5, 10의 배수에 해당)
3. 10진법에서 하샤드 수가 되는 수
3.1. 1~10003.2. 1001~20003.3. 2001~2400
4. 2진법에서 하샤드 수가 되는 수5. 8진법에서 하샤드 수가 되는 수6. 16진법에서 하샤드 수가 되는 수

1. 개요

하샤드 수(harshad number)는 주어진 진법에서 그 수의 각 자릿수 숫자의 합으로 나누어떨어지는 자연수를 말한다.

인도의 수학자 카프리카가 정의했으며, '기쁨을 준다'는 뜻의 산스크리트어 단어인 harshad에서 유래했다. 또한 이를 확장시켜서 주어진 진법에서 어떤 수의 각 자리 숫자의 합이 한 자리수가 될때까지 반복했을 때, 나타나는 수들도 모두 하샤드 수가 되는 수나 어떤 자연수가 그 수의 각 자리 숫자의 합을 한자리수가 될때까지 반복하여 얻어진 수들로 모두 나누어떨어지는 수의 경우도 생각해볼 수 있으며, 이는 수소와 연관성이 높다. 수소는 주어진 진법에서 각 자리 숫자의 합이 한자리수가 될때까지 반복했을 때, 거쳐온 수들도 모두 소수가 되는 소수인데, n진법의 경우 p가 n-1의 소인수이라면 각 자리 숫자의 합이 p가 되는 수들은 모두 p의 배수가 되므로 한자리 수까지 반복한 최종 결과 각 자리 숫자의 합은 p-1이 아닌 한자리의 소수인 소수여야 한다.

2. 상세

예를 들어 12는 각 자릿수 숫자의 합이 1+2=3이고, 12가 3으로 나누어떨어지므로 12는 10진법에서 하샤드 수다. 그러나 16은 1+6=7이고, 16이 7로 나누어떨어지지 않으므로 16은 10진법에서 하샤드 수가 아니다.

다음의 경우 무조건 하샤드 수다.
  • 10의 거듭제곱인 수 (자명하다. 자릿수의 합이 1이며, 모든 자연수는 1로 나누어떨어지기 때문)
  • 1 이상의 한 자리 수 혹은 다른 하샤드 수에 10의 거듭제곱인 수를 곱한 수[1]
  • 각 자리의 합이 3이나 9가 되는 수(혹은 각 자리의 합이 6이거나 18이면서 끝자리가 짝수, 각 자리의 합이 12, 36이면서 끝 두 자리가 4의 배수거나 각 자리의 합이 15이거나 45이면서 끝 자리가 5의 배수인 수처럼 각 자리의 합이 3*2n, 9*2n 혹은 3*5n, 9*5n 이면서 끝 자리가 2n, 5n(단, n은 자연수)의 배수라면 모두 하샤드 수)[2]
  • 해당 수의 자릿수가 3의 거듭제곱인 동시에 모든 자리의 숫자가 같은 수 즉 3의 거듭제곱의 자리를 가지는 레퓨닛수에 한자리 수를 곱한 수.[3]
  • 일의 자리가 0이고 일의 자리를 제외한 각 자리의 합이 90의 약수[4][5][6]가 되는 수
    • 일의 자리가 0, 5, 8이고 일의 자리를 제외한 각 자리의 합이 10이 되는 수[7][8]
  • 세자리수 의 경우 십의 자리가 0이고 백의 자리와 일의 자리 수의 합이 11인 수, 다섯 자리의 수[9]의 경우 천의 자리와 십의 자리가 0이고 만의 자리, 백의 자리와 일의 자리의 합이 11인 수[10]
  • 999,000 이하의 999의 배수나 999,999,999,000,000,000 이하의 999,999,999의 배수에 해당하는 수[11]
  • 가장 끝에 n자리 숫자가 2n 또는 5n(단, n은 자연수)이고, 가장 끝에 n개의 자릿수를 제외한 나머지 자릿수의 합이 2n에서 2n의 각 자릿수의 합을 뺀 수나 5n에서 5n의 각 자리숫자의 합을 뺀 수에 해당하는 수. [12] 이를 확장한 버전으로는 가장 끝의 n개의 자리 수가 2n, 5n의 배수이면서 각 자리 숫자의 합이 2n이나 5n이 되는 수.[13] [14]
  • 가장 끝에 n자리 숫자가 10n(단, n은 자연수) 이면서, 각 자리 숫자의 합이 10의 거듭제곱에 2n 또는 5n [15]을 곱한 수
  • 그 외 해당되는 숫자에서 각 자리의 합으로 나누어 떨어지는 수[16]

2.1. 하샤드 수가 절대 될 수 없는 경우 (끝자리 법칙에 적용되는 2, 5, 10의 배수에 해당)

  • 두 자리 이상의 소수들은 1과 자기 자신밖에 약수가 없으며, 각 자리 숫자의 합이 1보다 크고, 자기자신보다 작으므로 모두 하샤드 수가 아니다.
  • 각 자리의 합이 짝수[17]이면서 끝 자리가 홀수인 수
    • 모든 자리 수가 홀수인 짝수 자리 수
  • 각 자리의 합이 5의 배수이며 일의 자리가 5나 0이 아닌 모든 수
  • 각 자리의 합이 10의 배수이며 일의 자리가 0이 아닌 모든 수
  • 0은 0으로 나눌 수 없으므로 0은 하샤드 수가 아니다. 애초에 0은 자연수도 아니라서 그럴 수밖에 없음

3. 10진법에서 하샤드 수가 되는 수

3.1. 1~1000

3.2. 1001~2000

3.3. 2001~2400

  • 2001~2100: 2001, 2004, 2007, 2010, 2016, 2020, 2022, 2023, 2024, 2025, 2028, 2030, 2034, 2040, 2043, 2052, 2061, 2064, 2070, 2080, 2085, 2088, 2090, 2100
  • 2101~2200: 2106, 2112, 2115, 2119, 2120, 2124, 2130, 2133, 2136, 2142, 2151, 2156, 2159, 2160, 2170, 2172, 2175, 2176, 2178, 2196, 2200
  • 2201~2300: 2202, 2205, 2208, 2210, 2212, 2214, 2220, 2223, 2232, 2236, 2240, 2241, 2244, 2250, 2260, 2265, 2268, 2280, 2282, 2286, 2289, 2300
  • 2300~2400: 2304, 2310, 2312, 2313, 2316, 2322, 2331, 2340, 2350, 2352, 2353, 2355, 2358, 2376, 2394, 2398, 2400

4. 2진법에서 하샤드 수가 되는 수

  • 1(2)~1111(2) : 1(2), 10(2), 100(2), 110(2), 1000(2), 1010(2), 1100(2)
  • 10000(2)~111111(2) : 10000(2), 10010(2), 10100(2), 10101(2), 11000(2), 100000(2), 100010(2), 100100(2), 101000(2), 101010(2), 110000(2), 111100(2)
  • 1000000(2)~1111111(2) : 1000000(2), 1000010(2), 1000100(2), 1000101(2), 1001000(2), 1010000(2), 1010001(2), 1010100(2), 1011000(2), 1011100(2), 1100000(2), 1101100(2), 1101110(2), 1110000(2), 1110011(2), 1110100(2), 1111000(2), 1111100(2)

5. 8진법에서 하샤드 수가 되는 수

  • 1~7(8) : 1(8), 2(8), 3(8), 4(8), 5(8), 6(8), 7(8)
  • 10~77(8) : 10(8), 16(8), 20(8), 25(8), 30(8), 34(8), 40(8), 43(8), 50(8), 52(8), 60(8), 61(8), 70(8)
  • 100~177(8) : 100(8), 102(8), 106(8), 110(8), 113(8), 115(8), 124(8), 130(8), 132(8), 133(8), 142(8), 151(8), 160(8), 170(8), 176(8)
  • 200~277(8) : 200(8), 201(8), 204(8), 205(8), 207(8), 214(8), 220(8), 221(8), 223(8), 226(8), 232(8), 241(8), 245(8), 250(8), 260(8), 264(8), 266(8)
  • 300~377(8) : 300(8), 304(8), 306(8), 310(8), 313(8), 322(8), 330(8), 331(8), 334(8), 340(8), 350(8), 356(8), 362(8), 374(8), 377(8)

6. 16진법에서 하샤드 수가 되는 수

  • 1~F(16) : 1(16), 2(16), 3(16), 4(16), 5(16), 6(16), 7(16), 8(16), 9(16), A(16), B(16), C(16), D(16), E(16), F(16)
  • 10~FF(16) : 10(16), 12(16), 14(16), 1E(16), 20(16), 21(16), 23(16), 24(16), 28(16), 2D(16), 30(16), 32(16), 36(16), 3C(16), 40(16), 41(16), 42(16), 46(16), 48(16), 4B(16), 50(16), 5A(16), 60(16), 64(16), 69(16), 6C(16), 70(16), 78(16), 80(16), 82(16), 84(16), 87(16), 8C(16), 90(16), 96(16), A0(16), A5(16), AF(16), B0(16), B4(16), C0(16), C3(16), C6(16), C8(16), D0(16), D2(16), E0(16), E1(16), F0(16), FA(16)


[1] 이 경우에는 3가지로 나눠서 설명하자면 1번째로 일의 자리가 0이 아닌 하샤드 수(한 자리 수, 12, 18, 21, 24, 27, 36)면, 끝에 0만 계속 붙인 수(10, 100, 120, 180, 1200, 1800)들 역시 하샤드 수다. 2번째로 특정 숫자에 0을 붙어야만 하는 하샤드 수도 있다. 11, 14, 15, 19, 23, 28 등과 같이 각 자리 숫자의 합이 2, 5, 6, 10, 15, 18, 30, 45 등등처럼 3 또는 9에 2, 5, 10의 거듭제곱을 곱한 수이고, 일의 자리가 0이 아닌 경우에는 자리수의 합으로 나누어 떨어지지 않지만 끝에 0을 1개 이상 붙이면 하샤드 수가 된다. 13의 경우에는 자리수의 합이 2의 제곱인 4가 되고, 홀수이므로 4의 배수가 되기 위해서는 0을 2개 이상 붙여야만 한다.(자리수의 합이 12인 39도 포함) 또한 22도 각 자리의 합이 4이지만, 짝수이기 때문에 이쪽은 0을 1개 이상 붙이면 하샤드 수가 될 수 있으며(자릿수의 합이 90의 약수가 아닌 수 중에서 나머지가 자릿수의 총 합의 절반일 때(단, 일의 자리가 0이 아닌 수)도 모두 해당. 예: 22, 44, 66, 77, 88, 116, 138, 174 ...), 17은 각 자리 숫자의 합이 8이고 8이 2의 세제곱이므로 뒤에 0을 3개 이상 붙어야 하샤드 수(35, 53, 71도 해당)가 된다. 79, 97의 경우에는 각 자리 숫자의 합이 16이고 16이 2의 네제곱이므로 뒤에 0을 4개 이상 붙이면 하샤드 수가 된다. 좀 더 자세하게 표현하면 각 각 숫자의 합이 2n, 5n, 10n(단, n은 자연수)이거나 이들에 3 또는 9를 곱한 수인 경우 끝에 0을 n개 이상 붙어야 하샤드 수가 된다고 할 수 있다. 3번째로 아무리 10의 거듭제곱을 곱해서 0을 붙이더라도 하샤드 수가 되지 않는 수가 있으며, 그러한 경우는 각 자리 숫자의 합이 7 이상의 소수(59 처럼 총합이 7의 배수일 때도 해당)이면서 그 수와도 서로소(16, 25, 29, 34, 38, 43, 47, 49 ...)여서 그렇다. 그런 수 중에 제일 작은 수는 16이다.[2] 어떤 수의 각 자리의 합이 3의 배수이면 3의 배수이고, 합이 9의 배수이면 9의 배수이기 때문이다. 3은 9의 배수가 아니므로 따로 서술한다.[3] 111, 222, 333, 111111111, 111111111111111111111111111 등[4] 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90[5] 극단적인 경우로 1234567890 역시 끝자리가 0이고 각 자리수의 합이 90의 약수인 45이므로 하샤드 수이다.[6] 맨 끝 두 자리가 00일 때는 900의 약수, 끝 세 자리가 000일때는 9000의 약수 모두 하샤드 수가 된다.[7] 이 경우, 일의 자리가 0이면 10의 배수이며, 5이면 15의 배수, 8이면 18의 배수가 된다.[8] 이 조건을 만족하면서 십의 자리가 홀수일 경우, 일의 자리가 2여도 무조건 하샤드 수가 된다. 예를 들면 192와 282의 각 자릿수의 합은 12지만, 192는 끝 두 자리가 4의 배수가 되어서 하샤드 수가 된다. 하지만 282는 끝 두 자리가 4의 배수가 아니므로 하샤드 수가 아니다.[9] 10109, 20405[10] 이 경우에는 11*(9n+1, n은 1을 제외한 한 자리 수이며 이때 n은 백의 자리의 숫자와 똑같아진다.)[11] 모두 각 자리 숫자들의 합이 27이고 27은 999의 약수이되, 999999999의 경우는 모두 각 자리 숫자들의 합이 81이고 81은 999999999의 약수다. 뿐만 아니라 9가 3^n 개만큼 늘어서있는 수의 배수 중 9의 개수가 3^n만큼 늘어선 뒤, 또다시 0이 그 3^n개만큼 늘어선 수 이하의 9가 3^n개만큼 늘어선 수의 배수인 수도 된다. 즉, 9가 27개만큼 늘어선 수, 81개만큼 늘어선 수도 각 자리수의 합이 각각 243, 729인데, 27개 늘어선 수는 243의 배수이고, 81개 늘어선 수는 729의 배수, 3^n개만큼 늘어선 수는 3n×9=3n+2가 되므로 그 뒤에 0이 27개, 81개, 243개, ... 만큼 늘어선 수까지의 이들의 배수들도 가능하다.[12] 이걸 좀 더 자세히 설명하자면 예를 들어 가장 끝에 있는 네 자리 숫자가 (00)16이고, 끝에서부터 다섯번째(만의 자리) 이후의 모든 자리숫자의 합이 9인 수, 가장 끝에 있는 두 자리 숫자가 25이고, 일의 자리와 십의 자리를 제외한 나머지 자리 숫자의 합이 18이 되는 수, 가장 끝에 있는 다섯 자리 숫자가 (000)32이고, 가장 끝에서부터 여섯번째(십만의 자리) 이후의 모든 자리 숫자의 합이 27이 되는 수, 가장 끝에 있는 세 자리 숫자가 125이고, 가장 끝에 세 자리(일의 자리, 십의 자리, 백의 자리)를 제외한 나머지 자리 숫자의 합이 117이 되는 수... 이런 식이다. 이 수들도 각 자리 숫자의 합을 빼면 전부 9의 배수가 된다.[13] 단, 32 까지의 2n(3을 곱한 경우에는 24 까지, 9를 곱한 경우에는 모두 가능.)의 경우에는 끝에 n 자리 숫자의 합이 2n보다 작아야 하기에 끝 n개의 자리 수는 2n을 넘지 않아야 한다. 즉 끝 2자리가 4의 배수면 십의 자리와 일의 자리의 합은 4보다 작아야 하고(3을 곱할 경우 12보다 작아야 함), 끝 3자리가 8의 배수면 백의 자리, 십의 자리, 일의자리의 합은 8보다 작아야 하므로(3을 곱할 경우 888을 제외한 모든 숫자에서 가능), 각 자리의 합이 2n을 넘지 않아야 한다는 것이며, 9n<2n(혹은 9n<3*2n) 일 때는 모두 가능하기 때문에 n이 6 이상(3*2n에서는 4 이상)일 때는 9×6=54<26=63(9×4=36<3*24=48)이기 때문에 끝 n개 자리 숫자가 n자리 의 가장 큰 2n의 배수이더라도 가능하다. 특히 2n(3*2n)의 경우는 두 자리수 이상이 되는 24=16(3*22=12)이므로 두 자리수 이상이 되는 가장 작은 경우는 n=4(3을 곱할때는 n=2)가 된다. 4 이상의 자연수 n에 대하여 가장 끝의 n자리 수가 2n이면서 각 자리 숫자의 합이 2n이 되는 경우가 존재하므로 22=4, 23=8의 경우는 한 자리수라서 이게 성립할 수 없다. 그래서 끝의 2자리 또는 3자리 숫자의 합이 무조건 4나 8보다 작은 4, 8의 배수여야만 이게 성립한다.[14] 예: 112는 끝 2자리가 4의 배수이면서 각 자리 수의 합이 4, 1016은 끝 3자리가 8의 배수이면서 각 자리 수의 합이 8, 70144은 끝 4자리가 16의 배수이면서 각 자리 숫자의 합이 16, 5900288는 끝 5자리가 32의 배수이면서 각 자리 수의 합이 32, 4975는 끝 2자리가 25의 배수이면서 각 자리의 수의 합이 25가 되는 수, 19999999999999250(1경 9999조 9999억 9999만 9250, 250는 125의 배수이며 끝 3자리의 합이 7, 나머지 자리의 숫자의 합이 118)는 끝 3자리가 125의 배수이면서 각 자리의 숫자의 합이 125이긴 하다만, 5n 중에 54인 625(이 수는 29보다도 크다)부터는 숫자가 훨씬 커져서 자릿수가 엄청 많아야 한다. 예시: 999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,990,625(9가 무려 68개)나 149,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,996,875(9가 무려 66개) 등[15] 예: 3980은 끝 2자리가 20의 배수이면서 각 자릿수의 합이 20, 799960은 끝 3자리가 40의 배수이면서 각 자릿수의 합이 40, 9999950은 각 자리수의 합이 50이면서 끝 2자리가 50의 배수인 수, 69999999920은 끝 4자리가 80의 배수이면서 각 자릿수의 합이 80, 19999999999900(19조 9999억 9999만 9900)은 끝 2자리가 100의 배수면서 각 자릿수의 합이 100[16] 예: 112=4*28, 133=7*19 이처럼 자릿수의 합*(9n+1)의 배수(19, 28, 37, ...)에서 많이 나온다.[17] 짝수의 배수이면 끝자리는 무조건 짝수. 두 자리 수의 경우 홀수+홀수(11, 13, 15, ... , 99)일 때, 세 자리 수의 경우 짝수+홀수+홀수(211, 213, 215, ... , 899) 혹은 홀수+짝수+홀수(101, 103, 105, ... , 989)일 때, 네 자리 수의 경우 전부 자리의 숫자가 홀수(1111, 1113, 1115, ... , 9999)이거나 끝 자리를 제외한 나머지 세 자리 가운데 짝수 두 개+홀수 한 개(1001, 1003, 1005, ... , 9889)로 이루어져 있을 경우[18] 하샤드 수의 정의를 고려하면 어느 진법이든 상관없이 한 자리 수는 당연히 하샤드 수가 될 수밖에 없다. 자리가 하나밖에 없으므로 각 자릿수의 합은 자기 자신이다. 그리고 모든 자연수는 자기 자신으로 나누어 떨어진다.[19] 1500까지는 100의 배수 다시말해 끝 두 자리가 00인 수가 전부 하샤드 수다.[20] 1600은 끝 두 자리가 00이어서 100의 배수인 수 중에서 처음으로 하샤드 수가 아니다.