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은(는) 여기로 연결됩니다. 1. 개요
不定形 / indeterminate form부정형이란 주로 사칙연산이 한 가지 값으로 잘 정의되지 않는 것을 뜻한다. 극한에서 많이 사용하며, 반대말은 확정형(確定形, determinate form)이다. 부정형인 식은 각 부분의 극한값은 알아도 막상 전체 식의 극한값을 바로 판정하기 어려워서 식을 확정형으로 적당히 변형하지 않으면 안 된다. 이 '부정형'은 명제의 '부정(否定)'과는 의미가 다르다.
이하 로피탈의 정리를 통해 부정형을 확정형으로 만든 것은 [math(\xlongequal{\textsf{l'H\^opital}})]로 표시한다.
2. 종류
[math({\infty}/{\infty})], [math(0/0)], [math(0\times\infty)], [math(\infty-\infty)], [math(1^{\infty})], [math(\infty^0)], [math(0^0)] 꼴 등이 있다. 형태는 똑같이 나오더라도 아래 예시와 같이 최종적인 극한값은 다르게 나온다는 이유에서 '부정형'으로 칭하는 것이다.이와 같은 부정형이 나오면, 최고차항의 차수와 계수를 비교하거나 극한값이 결정되는 확정형으로 식을 적절히 변환해야 한다. 확정형에는 다음과 같은 것들이 있다. 단, [math(c)]는 상수이다.
- [math(c)]
- [math(\infty\times\infty=\infty)]
- [math(\infty+\infty=\infty)]
- [math(\pm\infty+c=\pm\infty)][1]
- [math(\infty \times \pm c=\pm \infty)] ([math(c>0)], 복부호 동순)
- [math(\dfrac{c}{\pm\infty}=0)][2]
참고로 [math(0\times\infty)] 꼴이 부정형인 이유는 무한대는 수가 아니기 때문이다.
부정형을 확정형으로 바꿀 때 해당 확정형이 상수이면 '제거 가능 특이점(removable singularity)', 그렇지 않을 경우 로랑 급수로 전개한 결과에 따라 분수항이 유한 개인 '극점(pole)'과 분수항이 무한 개인 '본질적 특이점(essential singularity)'으로 나뉜다.
2.1. ∞/∞ 꼴
2.1.1. 부정형인 이유
상수 [math(a>0)], [math(b>0)]에 대해 [math(f(x)=ax)], [math(g(x)=bx)]일 때[math(\begin{aligned} \displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)&=\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty\\\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}&=\dfrac ab\end{aligned})]
그러면 [math(a)]와 [math(b)]의 값에 따라서 [math(\infty/\infty)]의 값은 달라지므로, [math(\infty/\infty)]는 부정형이다.
2.1.2. 극한값 구하는 법
[math(\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty)]이고 [math(f(x))]를 최고차항이 [math(ax^n)]인 함수, [math(g(x))]를 최고차항이 [math(bx^m)]인 다항함수라 하면, 극한값은 다음과 같이 구한다. 단, [math(a)], [math(b)], [math(m)], [math(n)]은 0이 아닌 상수이다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}&=\lim_{x\to\infty}\dfrac{ax^n+\cdots}{bx^m+\cdots}\\&=\begin{cases}\begin{aligned}&\infty\quad &(m<n,\;ab>0)\\ -&\infty\quad &(m<n,\;ab<0)\\&0\quad &(m>n) \\&\dfrac{a}{b}\quad &(m=n)\end{aligned}\end{cases} \end{aligned})]
분모와 분자에 각각 역수를 취하면 [math(0/0)] 꼴이 된다. 또한, [math(0/0)]과 함께, 로피탈의 정리를 이용하여 확정형으로 변환할 수 있는 부정형이다.
또한, [math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a^n+c}{b^n+d}\;(b\neq0))] 꼴의 극한값은 다음과 같이 구한다.
[math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a^n+c}{b^n+d}=\begin{cases}\infty\quad&(a/b>1)\\1\quad&(a/b=1)\\0\quad&(-1<a/b<1)\\\textsf{\footnotesize진동}\quad&(a/b\leq-1)\end{cases})]
2.1.3. 예시
- [math(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2}{x}=\infty)]
- [math(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2}{-x}=-\infty)]
- [math(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{-x}{-x^2}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{x^2}=0)]
- [math(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{-6x^2-1}{2x^2+x+1}=\dfrac{-6}2=-3)]
- [math(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{-6x^2-1}{2x^2+x+1}\xlongequal{\textsf{l'H\^opital}}\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{-12x}{4x+1}\xlongequal{\textsf{l'H\^opital}}\lim_{x\to\infty}\dfrac{-12}4=-3)]
- [math(displaystyle lim_{x to infty}frac{pi(x)ln x}{x}=1)], [math(displaystyle lim_{x to infty}frac{pi(x)}{operatorname{li}(x)}=1)][3]
2.2. ∞−∞ 꼴
2.2.1. 부정형인 이유
위에서 정의한 [math(f(x))], [math(g(x))]에 대해[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x\to\infty}\log f(x)&=\lim_{x\to\infty}\log g(x)=\infty \\\displaystyle\lim_{x\to\infty}\log\dfrac{f(x)}{g(x)}&=\lim_{x\to\infty}\{\log f(x)-\log g(x)\}=\log\dfrac{a}{b} \end{aligned})]
2.2.2. 극한값 구하는 법
[math(\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty)]일 때, 만약 [math(f(x)=x+1)], [math(g(x)=x-2)]와 같이 변수가 소거되는 경우라면 [math(x+1-(x-2)=3)]으로 쉽게 극한값을 구할 수 있다. 그렇지 않은 경우에는 다음과 같이 부분분수분해를 이용하여 [math(0/0)] 꼴로 변환한다.[math(\dfrac{\cfrac1{g(x)}-\cfrac1{f(x)}}{\cfrac1{f(x)g(x)}})]
혹은 다음과 같이 합·차 공식을 이용하여 [math(\infty/\infty)] 꼴로 변환하는 것도 방법이다.
[math(f(x)-g(x)=\dfrac{\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2}{f(x)+g(x)})]
그러나 꼭 이렇게 하지 않아도, [math(f(x)=x^2+x)], [math(g(x)=x-1)]일 때 [math(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\{f(x)-g(x)\}=\infty)]가 되듯이 별 어려움 없이 답이 나오는 경우도 많다.
2.2.3. 예시
- [math(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2-2x}\right)=\lim_{x\to\infty}\dfrac{(x^2+2x)-(x^2-2x)}{\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2-2x}}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{4x}{2\sqrt{x^2}}=2)]
- [math(displaystyle lim_{ntoinfty} !left( sum_{k=1}^n frac1k - ln n right)=gamma)]
2.3. 0/0 꼴
2.3.1. 부정형인 이유
위에서 정의한 [math(f(x),g(x))]에 대해[math(\begin{aligned} \displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{f(x)}&=\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{g(x)}=0\\\displaystyle\lim_{x\to\infty}\cfrac{\dfrac{1}{f(x)}}{\dfrac{1}{g(x)}}&=\lim_{x\to\infty}\dfrac{g(x)}{f(x)}=\dfrac ba\end{aligned})]
2.3.2. 극한값 구하는 법
분모와 분자를 약분하여 확정형으로 변환하면 되는 경우가 많다. 또한, [math({\infty}/{\infty})]와 함께, 로피탈의 정리를 이용하여 확정형으로 변환할 수 있는 부정형이다.분모와 분자에 각각 역수를 취하면 [math({\infty}/{\infty})]가 된다.
2.3.3. 예시
- [math(\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=\displaystyle\lim_{x\to 1}(x+1)=2)]
- [math(\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1}\xlongequal{\textsf{l'H\^opital}}\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{2x}{1}=2)]
- [math(\displaystyle\lim_{x\to 0}\operatorname{sinc}(x) = \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}\xlongequal{\textsf{l'H\^opital}}\lim_{x\to 0}\dfrac{\cos x}{1}=1)]
- 일차 다항식의 곱으로만 이루어진 다항함수의 미분계수를 구하는 공식을 곱미분으로 유도하는 과정에서 0/0 꼴의 부정형이 사용된다. 다항함수/공식 참고.
2.4. 0×∞ 꼴
2.4.1. 부정형인 이유
위에서 정의한 [math(f(x),g(x))]에 대해[math(\begin{aligned} \displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{f(x)}&=0\\\ \lim_{x\to\infty}g(x)&=\infty\\\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{g(x)}{f(x)}&=ba\end{aligned})]
2.4.2. 극한값 구하는 법
[math(\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty)]이고 [math(f(x))]를 최고차항이 [math(ax^n)]인 함수, [math(g(x))]를 최고차항이 [math(bx^m)]인 다항함수일 때에 한하여, 극한값은 다음과 같이 구한다. 단, [math(a)], [math(b)], [math(m)], [math(n)]은 0이 아닌 상수이다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x\to\infty}f(x)g(x)&=\lim_{x\to\infty}(ax^n+\cdots)(bx^m+\cdots)\\&=\begin{cases}\begin{aligned}&\infty\quad &(m+n>0,\;ab>0)\\-&\infty\quad &(m+n>0,\;ab<0)\\ &0\quad &(m+n<0)\\& ab\quad &(m+n=0)\end{aligned}\end{cases}\end{aligned})]
2.4.3. 예시
- [math(\displaystyle\lim_{x\to\infty}x(x^2+x)=\infty)]
- [math(\displaystyle\lim_{x\to\infty}-x(x^2+x)=-\infty)]
- [math(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left( \pm x^2\cdot\dfrac1x\right)=\pm\infty)] (복부호 동순)
- [math(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left( \pm x\cdot\dfrac1{x^2}\right)=0)]
- [math(\displaystyle\lim_{x\to\infty}2x^2\cdot\dfrac3{x^2}=6)]
2.5. 1^∞ 꼴
2.5.1. 부정형인 이유
[math(1^\infty=(e^{\ln{1}})^{\infty}=e^{\ln{1}\times \infty}=e^{0\times \infty})]
[math(0\times \infty)]는 부정형이므로 [math(1^{\infty})]도 부정형이다.
2.5.2. 극한값 구하는 법
2.5.3. 예시
- [math(\displaystyle\lim_{x\to 0+}(1+x)^{1/x}=\displaystyle\lim_{x\to 0+}\sqrt[x]{1+x}=)] [math({e})]
2.6. ∞^0 꼴
2.6.1. 부정형인 이유
[math(\infty^{0}=\infty^{\ln{1}}=1^{\ln{\infty}}=1^{\infty})]
[math(1^{\infty})] 꼴이 부정형이므로 [math(\infty^0)] 꼴도 부정형이다.
2.6.2. 극한값 구하는 법
2.6.3. 예시
- [math(\displaystyle\lim_{x\to\infty}(1+x)^{1/x}=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\sqrt[x]{1+x}=1)]
2.7. 0^0 꼴
2.7.1. 부정형인 이유
2.7.2. 극한값 구하는 법
2.7.3. 예시
- [math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{n!}{n^n}\right)^{\!1/n}\!=\dfrac1e)]
3. 부정형으로 혼동하기 쉬운 경우
실제로는 부정형이 아닌데 얼핏 부정형으로 혼동하기 쉬운 경우를 서술한다.3.1. 0^∞ 꼴
[math(\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=0)], [math(\displaystyle\lim_{x\to c}g(x)=\infty)]일 때, [math(\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)^{g(x)})]을 고려하자. 극한의 정의에 따라 적절한 [math(c)]의 근방에서 [math(-0.5<f(x)<0.5)]이므로 해당 근방에서[math(\displaystyle\dfrac{-1}{2^{g(x)}}<f(x)^{g(x)}<\dfrac{1}{2^{g(x)}})]
이다. 여기에 조임 정리를 쓰면 값이 [math(0)]으로 결정되므로 부정형이 아니다. 요컨대 [math(0^{\infty}=0)]이며, [math(1)]을 아무리 제곱해도 [math(1)]인데도 [math(1^{\infty})]은 [math(1)]로 결정되지 않는 것과는 사뭇 다르다. 이렇게 보면 [math(1)]의 무한제곱이라든가 [math(0)]을 무한히 곱한다든가 그런 것도 부정형이 아닐 수도 있다고 생각되겠지만 이는 무한대를 수의 관점으로 볼 경우에 한했을 뿐이다.[4]
[1] 이는 다비트 힐베르트가 방을 옮기는 식으로 손님을 무한히 수용 가능한 호텔에 비유한 바 있다.[2] [math(\dfrac{c}{\pm\infty}=0)]인 이유는 [math(\displaystyle \lim_{x\to \pm\infty} \frac{c}{x}=0)]인데, [math(x)] 대신 양의 무한대와 음의 무한대를 각각 대입하면 [math(\frac{c}{\pm\infty}=0)]이 된다.[3] [math(\pi(x))]는 소수 계량 함수, [math(\operatorname{li}(x))]는 로그 적분 함수이다.[4] 더 나아가 무한소를 [math(0)]으로 곱하거나 나누는 것도 있다.