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현(수학)


1. 개요2. 단위원3. 기하학 원론
3.1. 현과 현이 만날때3.2. 아크탄젠트
4. 관련 문서

1. 개요

한문으로는 弦이고 영어로는 chord인 현은 원 또는 곡선의 호(弧)의 두 끝을 잇는 선분이다.

2. 단위원

단위원(반지름이 1인 원) 또는 원(circle)에서 가장 큰 현은 직경이다.

3. 기하학 원론

파일:Euclid-elements-III-35-segments.svg
기하학 원론 제3권 법칙35는 반지름AO‾\overline{AO}의 길이 그리고 현이 나누는 반지름의 길이 OE‾\overline{OE} , EB‾\overline{EB}의 3개 중 2개 이상의 정보에서 현의 길이에 대한 정보를 제공하며 이어서 이러한 현의 길이는 호의 길이에 대한 정보를 제공할수있다.[가]
AO‾=OC‾\overline{AO} = \overline{OC}이고 CE‾=ED‾\overline{CE} = \overline{ED}이다.
CO‾2=OE‾2+CE‾2\overline{CO}^2 = \overline{OE}^2 + \overline{CE}^2

3.1. 현과 현이 만날때

다음은 현과 중심을 지나는 현이 직각으로 만날때이다. [가]
파일:Euclid-elements-III-35-segments.svg
유클리드 기하학 원론 제3권 법칙35(제2권법칙5참고)
If two chords (AB, CD) of a circle intersect in a point (E) within the circle, the rectangles (AE . EB, CE . ED) contained by the segments are equal. -THE ELEMENTS OF EUCLID ,III ,XXXV-
원의 두 현(AB, CD)이 원 안의 한 점(E)에서 교차하는 경우, 세그먼트에 포함된 직사각형(AE·EB , CE·ED)은 동일합니다. -유클리드 기하학 원론 제3권 법칙35-
[math( \overline{AE} = \overline{AO}+\overline{OE} = \overline{OB}+\overline{OE} )]
[math( \overline{EB} = \qquad \qquad \quad= \overline{OB} - \overline{OE} )]
[math( \overline{AE} \cdot \overline{EB} = \left( \overline{OB}+\overline{OE} \right) \cdot \left( \overline{OB} - \overline{OE} \right) = \overline{OB}^2 - \overline{OE}^2 )]
[math( \overline{AE} \cdot \overline{EB} =\overline{OB}^2 - \overline{OE}^2 )]
따라서
[math( \overline{AE} \cdot \overline{EB} + \overline{OE}^2 = \overline{OB}^2 )]
계속해서
[math( \overline{OB}^2 = \overline{CO}^2 )] 이고 [math( \overline{CO}^2 = \overline{OE}^2 + \overline{CE}^2 )]이므로
[math( \overline{AE} \cdot \overline{EB} + \overline{OE}^2 = \overline{OE}^2 + \overline{CE}^2 )]
따라서
[math( \overline{AE} \cdot \overline{EB} + \overline{OE}^2 - \overline{OE}^2 = \overline{CE}^2 )]이고
[math( \overline{AE} \cdot \overline{EB} = \overline{CE}^2 )]이다.
계속해서
[math( \overline{AO} = \overline{OC} \text{이고} \overline{CE} = \overline{ED} )] 이므로
[math( \overline{AE} \cdot \overline{EB} = \overline{CE} \cdot \overline{CE} )]
[math( \overline{AE} \cdot \overline{EB} = \overline{CE} \cdot \overline{ED} )]이 되겠다.
따라서 어떤 현이 중심을 지나는 현(지름 또는 직경)을 직각으로 만나서 이등분되어질때 이들의 교차점 점E에서 점E는 선분AB와 선분CD의 공선점이 되며 공선점E는 원의 두 현(AB, CD)이 원 안의 한 점(E)에서 교차하는 경우이며 선분(세그먼트)에 포함된 직사각형(AE·EB , CE·ED)을 동일하게 하는 기준점이 된다. 즉, 결론은 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나며, 원의 중심에서 현으로 그은 선분은 그 현을 수직이등분한다.

3.2. 아크탄젠트

아크탄젠트(역탄젠트,arctangent)는 \arctan \left( {{\text{대 변 }}\over{\text{인 접 변 }}} \right) 이고 [3]
따라서 \arctan \left( {{\text{대 변 }}\over{\text{인 접 변 }}} \right) = \left( {{\overline{CE}}\over{\overline{OE}}} \right)
아크탄젠트 생성함수에서
arctan(x)=(CE‾OE‾)11−(CE‾OE‾)33+(CE‾OE‾)55−(CE‾OE‾)77+⋯\arctan(x) = {{\left( {{\overline{CE}}\over{\overline{OE}}} \right)^1}\over{1}} - {{\left({{\overline{CE}}\over{\overline{OE}}}\right)^3}\over{3}} +{{\left( {{\overline{CE}}\over{\overline{OE}}} \right)^5}\over{5}} - {{\left({{\overline{CE}}\over{\overline{OE}}} \right)^7}\over{7}} + \cdots
라디안 값인 아크탄젠트(arctangent)를 각도로 변환하면
\theta \text{(각 도 )} = {{\arctan(x) \cdot 180^{\circ}}\over{\pi}} = {{\tan^{-1} \left( {{\overline{CE}}\over{\overline{OE}}} \right) 180^{\circ}}\over{\pi}} 이다.

4. 관련 문서

[가] THE FIRST SIX BOOKSOF THE ELEMENTS OF EUCLID,ANDPROPOSITIONS I.-XXI. OF BOOK XI.,AND ANAPPENDIX ON THE CYLINDER, SPHERE,CONE, ETC.,WITHCOPIOUS ANNOTATIONS AND NUMEROUS EXERCISES.BYJ O H N C A S E Y, LL. D., F. R. S.,프로젝트 구텐베르크 -https://www.gutenberg.org/ebooks/21076[가] [3] 칸아카데미 -역삼각함수란? https://ko.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-trig/hs-geo-solve-for-an-angle/a/inverse-trig-functions-intro

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