호도법

1. 개요

2. 정의

2.1. 도(°)와의 관계

3. 왜 쓰는가?

1. 부채꼴에서 중심각의 크기를 구하려면 반지름과 호의 길이가 필요한데, 호는 원둘레의 일부이기 때문에 곡선이다. 곡선의 길이를 실제로 측량하기는 매우 까다로운데 호도법은 처음부터 호의 길이를 기준으로 삼고 있다.
2. 호도법의 정의에 따라 모든 각이 초월수인 [math(\pi)]의 배수로 나타나기 때문에, 그 값이 몇 [math(\rm rad)]인지 안다 해도 일상생활에서 다루기는 매우 번거롭다. 수많은 도형의 근간을 이루는 직각인 [math(90\degree)]마저도 [math(\rm\dfrac\pi2\,rad=1.570796\cdots\cdots\,rad)]이라는 무한소수가 되어 버린다. 오히려 라디안을 단위로 하는 유리수의 각[6]들은 육십분법에서 무리수가 되고 이런 각들은 삼각비의 결과값을 대수적으로 구할 수 있는 직각삼각형[7]에서 등장하지도 않기 때문에 특수각으로 쳐주지도 않는다.

1. 호도법으로 나타낸 각이 관련된 많은 물리량들은 '각도'로서의 물리량 자체가 아닌 그 수치만을 취하기 때문에 도량형학적으론 각도로서의 개념을 잃게 된다. 따라서 다른 물리량과의 관계를 쉽게 표현할 수 있다. 곧, 각을 호도법 각도의 수치로 나타내면 각을 정의역으로 갖는 함수도 다른 함수와의 합성함수를 간단히 정의할 수 있게 된다. 단위가 육십분법인 물리량만을 정의역으로 삼게 되면, [math(\sin(\cos x))], [math(\cos(e^x))]와 같은 함수는 정의할 수 없게 된다. 삼각함수는 수많은 분야에서 직접적으로 사용되는데, 이러한 기초적인 상호작용을 가능하게 하는 디딤돌이 호도법이다. 예시로 든 위 함수들도 함숫값에 도를 포함하게 하면 함수로 나타낼 수는 있지만, 그러면 그 함숫값을 또 이용하는 것이 불가능해진다.
2. 같은 이유로 그래프를 그릴 때 정의역과 치역을 같은 차원에서 서술할 수 있으며[9], 호도법에서의 단위각도 그리 큰 편이 아니기 때문에 그래프를 그리기 매우 용이해진다. 가로축을 [math(\theta_\degree/\degree)]로 잡고, 가로축 및 세로축의 눈금 한 칸을 [math(1)]로 놓고 [math(\sin)]곡선을 그리려고 하면, 한 주기를 그리는 데에 어마어마한 길이의 가로축이 필요해지기 때문에 공간 낭비가 이만저만이 아닌데, 호도법에서 [math(\rm1\,rad)]은 약 [math(57.2958\degree)]이고 한 주기가 고작 [math(2\pi=6.283185\cdots\cdots)]에 불과하기 때문에 비교적 경제적이다.[10]
3. 정의역과 치역의 차원이 같다는 것은 곧 삼각함수의 그래프와 다항함수의 그래프를 하나의 좌표평면에 나타낼 수 있다는 것을 의미하기도 한다. 따라서 교점이나 접선 등 다항함수와 삼각함수의 관계를 기하학적, 해석학적[11]으로 나타낼 수 있다.
4. 원 혹은 부채꼴, 또는 그보다 복잡한 수식을 나타내야 할 경우 엄청나게 간단해진다. 호도법의 [math(\theta)]를 쓰면
• 호의 길이: [math(l=r\theta/{\rm rad})]
• 부채꼴의 넓이: [math(A=\dfrac12rl = \dfrac12r^2\theta/{\rm rad})]

로 깔끔하게 나타낼 수 있는데 육십분법의 [math(\phi)]로 나타내면 [math(\theta/{\rm rad}=\dfrac\pi{180}(\phi/\degree))]이므로
• 호의 길이: [math(l=r\dfrac\pi{180}(\phi/\degree))]
• 부채꼴의 넓이: [math(A=\dfrac12rl = r^2\dfrac\pi{360}(\phi/\degree))]

가 되어 딱 봐도 식이 엄청 지저분해짐을 알 수 있다. 이 깔끔함은 삼각함수의 미적분에서 극명하게 드러나는데 예를 들면


[math(\sin(\theta/{\rm rad}) = \sin\dfrac\pi{180}(\phi/\degree))]


이므로 만약 육십분법 각도 [math(\phi)]로 나타낸 삼각함수를 [math(\phi/\degree)]로 미분하면


[math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}(\phi/\degree)}\sin\dfrac\pi{180}(\phi/\degree) = \dfrac\pi{180}\cos\dfrac\pi{180}(\phi/\degree))]


가 되어 우리가 흔하게 접하는 공식을 만들기 위해서는 미분한 뒤에 [math(\dfrac\pi{180})]만큼을 일일이 나눠줘야 한다. 이 값은 [math(\dfrac{{\rm d}(\theta/{\rm rad})}{{\rm d}(\phi/\degree)})]이다. 이 식으로 나눈다는 것은 곧 [math(\dfrac{{\rm d}(\phi/\degree)}{{\rm d}(\theta/{\rm rad})})]를 곱하는 것을 의미하며 실제로 좌변은


[math(\dfrac{{\rm d}(\phi/\degree)}{{\rm d}(\theta/{\rm rad})}\dfrac{\rm d}{{\rm d}(\phi/\degree)}\sin\dfrac\pi{180}(\phi/\degree) = \dfrac{\rm d}{{\rm d}(\theta/{\rm rad})}\sin\dfrac\pi{180}(\phi/\degree))]


가 되고 우변도


[math(\dfrac{{\rm d}(\phi/\degree)}{{\rm d}(\theta/{\rm rad})}\dfrac\pi{180}\cos\dfrac\pi{180}(\phi/\degree) = \cancel{\dfrac{180}\pi}\cancel{\dfrac\pi{180}}\cos\dfrac\pi{180}(\phi/\degree) = \cos\dfrac\pi{180}(\phi/\degree))]


로 정리된다. 이는 곧 삼각함수의 정의역에 호도법을 쓰든 육십분법을 쓰든, 호도법의 각 수치로 미분하면 결과가 깔끔하게 나온다는 것을 의미한다.

4. 여담

4.1. 단위에 대하여

4.2. 새원주율

5. 관련 문서

• 국제단위계
• 각
• 호
• 원주율
• 타우(수학)
• 육십분법
• 삼각함수
• 스테라디안 - 단위를 분석해보면 [math(\rm rad^2 = sr)], 즉 라디안의 제곱이 스테라디안이라는 관계가 나온다. 따라서 [math(\rm1\,sr)]은 육십분법으로 [math({\left(\dfrac{180}\pi\degree\right)}^2 = {\left(\dfrac{180}\pi\right)}^2\rm\,\deg^2)]이다.