||<tablealign=right><bgcolor=#ffffff><table width=180><height=100px><color=#000> [math(\boldsymbol\nabla)] ||
| 나블라 연산자 기호 |
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1. 개요
nabla operator, del operator다차원 미분의 기본이 되는 연산자이며, 사실 기호는 같지만 연산의 스칼라곱 · 벡터곱 여부, 연산 대상의 스칼라 · 벡터 여부에 따라 계산 방식이 달라지는 수학적 표기법(notation)이므로 주의해야 한다.
기호 [math(\boldsymbol\nabla)]는 윌리엄 로원 해밀턴이 고안했다.
2. 특징
나블라 연산자는 '나블라(nabla)'라고 불리는 동명의 현악기에서 이름을 따왔으며, [math(\boldsymbol\nabla)]라는 역삼각형 모양의 기호로 표기한다. '델 연산자'라고도 부른다. 벡터처럼 다룰 수 있는 연산자이므로 간혹 [math(\overrightarrow\nabla)]로 표현하기도 한다. 아주 간혹 [math(\overline\nabla)]로 표기하기도 한다.[math(\boldsymbol\nabla\!f)]일 때는 기울기 연산자, [math(\boldsymbol{\nabla\,\cdot}\,\bf V)]일 때는 발산 연산자, [math(\boldsymbol{\nabla\,\times}\,\bf V)]일 때는 회전 연산자이다.
물리학이 학부 수준 이상으로 가게 되면 기본적으로 한 물리량의 변화에 대한 다른 물리량의 변화를 예측한다는 관점으로 세상을 바라보기 때문에, 일반 전자기학을 시작으로 양자역학이나 고전역학 등 모든 곳에서 튀어나온다. 나비에-스톡스 방정식 문서의 두 식에서도 볼 수 있는데, 그 아래의 스칼라식 풀이를 보면 이것이 얼마나 심오한 의미인지를 알 수 있다. 그 외에도 대학교를 이공계로 진학하게 된다면 절대로 떨어질 수 없는 연산자이므로 열심히 공부해 놓자.
아래는 발산([math(\boldsymbol{\nabla\,\cdot}\,\bf V)])과 회전([math(\boldsymbol{\nabla\,\times}\,\bf V)])의 이해에 도움을 주는 영상이다. 한국어 자막이 있으므로 시청하는 데에는 무리가 없을 것이다.
3. 정의
나블라 연산자는 아래와 같이 정의된다.[math(\displaystyle \begin{aligned}
\boldsymbol\nabla \equiv \sum_{i=1}^n \frac1{h_i} \frac{\partial}{\partial x_i} {\bf\hat x}_i
\end{aligned} )]
[math({\bf\hat x}_i)]는 [math(x_i)]축 방향의 단위 벡터를 의미하며, 직교 좌표계에선 말 그대로 단위 벡터지만 사용하는 좌표계에 따라 바뀔 수 있다. 이중 극좌표계나 원통 좌표계나 구면 좌표계 같이, 직교(Cartesian) 좌표계는 아니지만 서로 직교하는(orthogonal) 좌표계에 대해서는 scaling factor [math(h_i)]만큼 보정하여 계산해야 하며[1] 그 값들은 각각 다음과 같다.
- 직교 좌표계: [math(h_x=1, h_y=1, h_z=1)]
- 원통 좌표계: [math(h_\rho=1, h_\phi=\rho, h_z=1)]
- 구면 좌표계: [math(h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta)]
[math(\boldsymbol\nabla\!f)]를 읽을 때에는 그레이디언트 에프(gradient [math(f)])라고 부른다. 이 연산자는 연산 결과를 벡터로 다룰 수 있게 해준다. 이때 그레이디언트 에프는 나블라 연산자가 함수 [math(f)]를 '그레이디언트 벡터장'으로 표현한 것이다. 참고로 [math(\boldsymbol\nabla\!f = \operatorname{\bf grad}f)]라고 쓰기도 한다.
4. 벡터로 볼 수 있는가?
이 문단에서는 나블라 연산자를 정말로 벡터로 취급해도 무리가 없는지 살펴볼 것이다. 단, 직교 좌표계에서만 이를 논할 것이며, 증명은 벡터의 좌표변환을 이용할 것이다. 벡터는 좌표변환에 의해 성분을 다음과 같이 쓸 수 있다.[math(\begin{aligned}
V_i' = a_{ij} V_j
\end{aligned} )]
여기서 [math(V_i)]는 벡터 [math(\bf V)]의 [math(i)]번째 성분, 프라임([math(')])은 좌표변환이 이루어진 후의 성분임을 나타내는 것이며, [math(a_{ij})]는 좌표변환을 기술하는 텐서[2]의 [math((i,j))]번째 성분이다.
우선 나블라 연산자 특성상 미분연산자가 포함되어 있기 때문에, 이 미분연산자를 적용할 어떤 스칼라 함수 [math(\phi)]를 도입하자. 그렇다면 나블라 연산자의 [math(i)]번째 성분을 연쇄법칙에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\partial\phi'}{\partial x_i'} = \sum_j \frac{\partial\phi}{\partial x_j} \frac{\partial x_j}{\partial x_i'}
\end{aligned} )]
참고로 스칼라는 좌표변환 유무에 관계 없이 같기 때문에 위와 같이 쓸 수 있으며, 맨 위와 같이 프라임은 좌표변환 후의 양임을 강조한 것이다. 이때, 역변환을 이용하여
[math(\displaystyle \begin{aligned}
x_j = \sum_k a_{kj} x_k'
\end{aligned} )]
로 쓸 수 있다. 따라서
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\partial\phi'}{\partial x_i'} &= \sum_j \frac{\partial\phi}{\partial x_j} \frac{\partial}{\partial x_i'} \Biggl( \sum_k a_{kj} x_k' \Biggr) \\
&= \sum_j \frac{\partial\phi}{\partial x_j} \Biggl( \sum_k a_{kj} \frac{\partial x_k'}{\partial x_i'} \Biggr) \\
&= \sum_j \frac{\partial\phi}{\partial x_j} \Biggl( \sum_k \delta_{ki} a_{kj} \Biggr)
\end{aligned} )]
이다. 여기서 [math(\delta_{kj})]는 크로네커 델타이다. 이상에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial\phi'}{\partial x_i'} = \sum_j a_{ij} \frac{\partial\phi}{\partial x_j} \quad \to \quad \frac{\partial}{\partial x_i'} = \sum_j a_{ij} \frac{\partial}{\partial x_j} \end{aligned} )] |
5. 관련 연산
5.1. 기울기벡터(gradient)
그라디언트\은(는) 여기로 연결됩니다.
디자인 용어에 대한 내용은 그라데이션 문서, 기업에 대한 내용은 그래디언트(기업) 문서
참고하십시오.기울기벡터 또는 그레이디언트[3]는 스칼라 함수의 변화량을 알기 위해 쓰인다. 이게 변화량, 경사(구배) 등과 관련이 있는 이유는 아랫문단의 방향도함수를 참고해보면 쉽게 이해할 수 있다.
연산의 결과는 스칼라 함수가 벡터 함수로 변환된다. 벡터 함수가 어떤 스칼라 함수의 기울기벡터로 표현된다는 것은 그 함수의 퍼텐셜을 구할 수 있다는 것을 의미하며, 벡터 문제를 스칼라 문제로 환원시킬 수 있다는 점에서 매우 큰 메리트를 갖는다. 대표적인 예로 전기 퍼텐셜이 있다.(물론 세부 정의는 다소 다르지만.) 기울기벡터의 역연산은 경로적분(선적분)이다.[4] 미분의 역연산이 적분인 것을 생각하면 좋을 것이다.
아래는 3차원 직교 좌표계, 원통 좌표계, 구면 좌표계의 기울기벡터를 나타낸 것이다.
- 직교 좌표계:
\boldsymbol\nabla\!f = \dfrac{\partial f}{\partial x} \,{\bf\hat x} +\dfrac{\partial f}{\partial y} \,{\bf\hat y} +\dfrac{\partial f}{\partial z} \,{\bf\hat z}
\end{aligned} )]}}}||
- 원통 좌표계:
\boldsymbol\nabla\!f = \dfrac{\partial f}{\partial\rho} \,\boldsymbol{\hat\rho} +\dfrac1\rho \dfrac{\partial f}{\partial\theta} \,\boldsymbol{\hat\theta} +\dfrac{\partial f}{\partial z} \,{\bf\hat z}
\end{aligned} )]}}}||
- 구면 좌표계:
\boldsymbol\nabla\!f = \dfrac{\partial f}{\partial r} \,{\bf\hat r} +\dfrac1r \dfrac{\partial f}{\partial\theta} \,\boldsymbol{\hat\theta} +\dfrac{\csc\theta}r \dfrac{\partial f}{\partial\phi} \,\boldsymbol{\hat\phi}
\end{aligned} )]}}}||
5.1.1. 방향도함수와 기울기벡터
다변수함수에서, 어느 한 변수의 변화율만을 계산하는 것을 편미분이라 한다. 편미분은 한 변수에 대해서만 추적할 수 있는 것이 흠으로, 때론 어떤 공간에서 단위 벡터[math(\begin{aligned}
{\bf u} = \sum_i u_i {\bf\hat x}_i
\end{aligned} )]
의 방향으로 점 [math((x_1, x_2, \cdots, x_n))] 위의 변화율을 추적하고 싶을 때도 있을 것이다. 이처럼 다변수 함수에서 방향에 따른 변화율을 계산할 수 있게 해주는 편도함수의 일종출처을 방향도함수(directional derivative)라 한다. 사실 편미분 또한 단위벡터를 표준기저벡터로 놓은 경우와 같으므로 방향도함수의 특수한 경우라고 볼 수 있다.
[math(n)]차원 도형에 대해 점 [math((x_1, x_2, \cdots, x_n))]이 [math(h\bf u)]로 이동된 후의 점을 [math((x_1+hu_1, x_2+hu_2, \cdots, x_n+hu_n))]으로 쓸 수 있으므로, 방향도함수를
[math(\begin{aligned} D_{\bf u}f = \lim_{h\to0} \frac{f(x_1+hu_1, x_2+hu_2, \cdots, x_{n-1}+hu_{n-1}) -f(x_1, x_2, \cdots, x_{n-1})}h \end{aligned} )] |
이제 다음과 같은 함수를 고려하자.
[math(\begin{aligned} g(h) \equiv f(x_1+hu_1, x_2+hu_2, \cdots, x_i+hu_i) \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} g'(0) &= \lim_{h\to0} \frac{g(h)-g(0)}h \\ &= \lim_{h\to0} \frac{f(x_1+hu_1, x_2+hu_2, \cdots, x_i+hu_i) -f(x_1, x_2, \cdots, x_i)}h \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} g'(0) &= \Biggl. \sum_i \frac{\partial f}{\partial (x_i+hu_i)} \frac{{\rm d}(x_i+hu_i)}{{\rm d}h} \Biggr|_{h=0} \\ &= \sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i} \,u_i \end{aligned} )] |
[math(\begin{aligned}
D_{\bf u}f = \sum_i \dfrac{\partial f}{\partial x_i} \,u_i
\end{aligned} )]
이것은 벡터의 내적
[math(\displaystyle \begin{aligned} D_{\bf u}f &= \!\left( \sum_{i=1}^{n-1} \frac{\partial f}{\partial x_i} \,{\bf\hat x}_i \right) \!\boldsymbol\cdot \!\left( \sum_{i=1}^{n-1} u_i {\bf\hat x}_i \right) \\ &= \boldsymbol\nabla\!f \boldsymbol\cdot \bf u \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned}
D_{\bf u}f = |\boldsymbol\nabla\!f| \cos\theta
\end{aligned} )]
임을 알 수 있다. 여기서 [math(\theta)]는 두 벡터 [math(\boldsymbol\nabla\!f)]와 [math(\bf u)]가 이루는 각이다.
위 결과로부터 기울기벡터와 방향도함수 사이의 관계를 아래와 같이 요약할 수 있다.
- 방향도함수의 최댓값은 기울기벡터와의 방향이 같을 때이며, 최솟값은 기울기벡터와 반대의 방향일 때이다.
- 따라서 기울기벡터는 함수가 급격히 증가하는 방향을 향한다.
5.1.2. Level set과 기울기벡터
이제부터는 [math(n)]차원 공간의 도형 [math(x_n = f(x_1, x_2, \cdots, x_{n-1}))]를 고려해보자. [math((n-1))]차원에서 [math(k = f(x_1, x_2, \cdots, x_{n-1}))] (단, [math(k)]는 상수)는 [math(n)]차원 공간의 도형의 함숫값이 같은 영역을 나타내는 도형으로 나타난다. 해당 도형을 'level set'이라 한다. 예를 들어 3차원 도형은 2차원 공간에서 '등위곡선'을, 4차원 도형은 3차원 공간에서 '등위곡면'을 형성한다.위 그림은 3차원 도형 [math(x_3 = f(x_1, x_2))]를 이용하여 level set의 개념을 보여주고 있다. 2차원 상의 level set, 즉 등위곡선(위 그림의 적색 곡선)은 [math(x_3 = f(x_1, x_2))]와 [math(x_3=k)]의 교선을 [math(x_1x_2)]평면에 나타낸 것이다. 여기서는 등위곡선을 1개만 나타냈지만, 실제로는 상수 [math(k)]값에 따라 여러 개 그릴 수 있다.
이제 이 level set [math(f=k)]의 양변을 전미분하면
[math(\begin{aligned}
{\rm d}f = 0
\end{aligned} )]
이고
[math(\displaystyle \begin{aligned} {\rm d}f &= \sum_{i=1}^{n-1} \frac{\partial f}{\partial x_i} \,{\rm d}x_i \\ &= \!\left( \sum_{i=1}^{n-1} \frac{\partial f}{\partial x_i} \,{\bf\hat x}_i \right) \!\boldsymbol\cdot \!\left( \sum_{i=1}^{n-1} {\rm d}x_i \,{\bf\hat x}_i \right) \\ &= \boldsymbol\nabla\!f \boldsymbol\cdot {\rm d}{\bf r} \end{aligned} )] |
즉,
[math(\begin{aligned}
\boldsymbol\nabla\!f \boldsymbol\cdot {\rm d}{\bf r} = 0
\end{aligned} )]
이므로 접선 벡터와 기울기벡터가 수직하다는 결론을 얻는다.
이상의 결과로부터 기울기벡터는 level set 표면에 수직함을 알 수 있다.
5.1.3. 기울기벡터의 기하학적 의미
위 내용을 종합시켜 2, 3차원에 대해서만 국한시켜 말하면,- 2차원에서의 기울기벡터는 3차원 도형의 등위곡선의 법선 벡터임을 얻는다.
- 3차원에서의 기울기벡터는 4차원 도형의 등위곡면의 표면에 수직하며, 이는 곧 해당 곡면의 접평면의 법선 벡터와 동일함을 얻는다. 이를 이용하여 3차원 도형의 접평면의 방정식을 얻을 수도 있는데, 자세한 내용은 평면 문서 참고.
- 기울기벡터의 방향은 변화율이 최대로 되는 방향을 향한다.
5.2. 발산(divergence)
div은(는) 여기로 연결됩니다.
HTML 태그의 하나인 <div>에 대한 내용은 HTML/태그 문서 참고하십시오.어떤 국소적인 지점에서 유입되거나 유출되는 벡터장의 선속(flux)의 개수를 나타낸다. 물리적으로는 해당 벡터장을 해당 영역에 생성 혹은 소멸시키게 하는 원(source)의 크기를 나타낸다.
연산의 결과는 벡터 함수가 스칼라 함수로 변환되어 나온다.
정의는 다음과 같다.
[math(\begin{aligned} \boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot {\bf A} &\equiv \sum_{i=1}^n \frac1{h_1 h_2 \cdots h_n} \biggl( \frac{\partial}{\partial x_i} {\frac{h_1 h_2 \cdots h_n}{h_i} A_i} \biggr) \end{aligned} )] |
- 직교 좌표계:
\boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot {\bf A} = \dfrac{\partial A_x}{\partial x} +\dfrac{\partial A_y}{\partial y} +\dfrac{\partial A_z}{\partial z}
\end{aligned} )]}}}||
- 원통 좌표계:
\boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot {\bf A} = \dfrac1\rho \dfrac{\partial}{\partial\rho} (\rho A_\rho) +\dfrac1\rho \dfrac{\partial A_\theta}{\partial\theta} +\dfrac{\partial A_z}{\partial z}
\end{aligned} )]}}}||
- 구면 좌표계:
\boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot {\bf A} = \dfrac1{r^2} \dfrac{\partial}{\partial r} (r^2A_r) +\dfrac{\csc\theta}r \dfrac{\partial}{\partial\theta} (\sin\theta\cdot A_\theta) +\dfrac{\csc\theta}r \dfrac{\partial A_\phi}{\partial\phi}
\end{aligned} )]}}}||
참고로 [math(\boldsymbol\nabla \boldsymbol\cdot {\bf A} = \operatorname{div}{\bf A})]라고도 쓰기도 한다.
5.2.1. 정성적 분석
발산을 3차원 직교좌표계 상에서 정성적으로 분석하고자 한다. 발산은 벡터장이 어떠한 국소적인 영역 내부에서 유출되거나 유입되는 선속을 나타내므로, 3차원 직교좌표계에서 길이가 각각 [math(\Delta x)], [math(\Delta y)], [math(\Delta z)]인 직육면체를 고려하자. 이때, 이 직육면체에는 총 6개의 면이 있으며, 이 영역에 유입·유출되는 벡터장을 [math({\bf F}(x,y,z))]라 하자. 그런데 각 면에 유입·유출되는 벡터장의 선속은 그 벡터장의 평면의 법선 벡터와 평행인 성분만 관여를 하게 될 것이다.우선적으로 직육면체의 면의 법선 벡터가 [math(\bf\hat x)]의 방향과 평행한 경우의 두 면에 대한 선속량을 계산하자. 이때, 법선 벡터의 방향에 따라 음·양이 결정됨에 주의하자.
[math(\begin{aligned} [ {\bf F}(x+\Delta x,y,z) -{\bf F}(x,y,z) ] \boldsymbol\cdot \Delta y \Delta z \,\bf\hat x \end{aligned} )] |
[math(\begin{aligned} [ F_x(x+\Delta x,y,z) -F_x(x,y,z) ] \Delta y \Delta z \end{aligned} )] |
[math(\begin{aligned} [ F_y(x,y+\Delta y,z) -F_y(x,y,z) ] \Delta z \Delta x \\ [ F_z(x,y,z+\Delta z) -F_z(x,y,z) ] \Delta x \Delta y \end{aligned} )] |
[math(\begin{aligned} \dfrac{F_x(x+\Delta x,y,z)-F_x(x,y,z)}{\Delta x} \\ \dfrac{F_y(x,y+\Delta y,z)-F_y(x,y,z)}{\Delta y} \\ \dfrac{F_z(x,y,z+\Delta z)-F_z(x,y,z)}{\Delta z} \end{aligned} )] |
[math(\begin{aligned} \dfrac{F_x(x+\Delta x,y,z)-F_x(x,y,z)}{\Delta x} \to \dfrac{\partial F_x}{\partial x} \\ \dfrac{F_y(x,y+\Delta y,z)-F_y(x,y,z)}{\Delta y} \to \dfrac{\partial F_y}{\partial y} \\ \dfrac{F_z(x,y,z+\Delta z)-F_z(x,y,z)}{\Delta z} \to \dfrac{\partial F_z}{\partial z} \end{aligned} )] |
[math(\begin{aligned} \dfrac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} +\frac{\partial F_z}{\partial z} = \boldsymbol{\nabla\,\cdot}\,\bf F \end{aligned} )] |
아주 국소적인 부분에 대하여 벡터장의 유입·유출을 다루고 있다는 것을 상기하면, [math(\boldsymbol{\nabla\,\cdot}\,{\bf F} > 0)]이면 벡터장은 해당 영역에서 유출[5]되고 있다고 해석하고, [math(\boldsymbol{\nabla\,\cdot}\,{\bf F} < 0)]이면 해당 영역으로 유입[6]되고 있다고 해석한다. 그렇다면 [math(\boldsymbol{\nabla\,\cdot}\,{\bf F} = 0)]인 경우는 어떻게 해석할지 예상할 수 있을 것이다. 이 영역에서는 유입·유출이 없다고 해석한다. 즉, 벡터장이 유입된 만큼 다시 유출된다는 뜻이다.
참고로, 어떤 영역 [math(V)]의 벡터장의 유입·유출되는 선속량은 해당 벡터장 [math(V)]를 둘러싸는 면적 [math(\partial V)]에 대하여 다음 면적분을 이용해서도 구할 수 있으며,
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\oiint_{\partial V} {\bf V} \boldsymbol\cdot {\rm d}{\bf a}
\end{aligned} )]
위에서 구한 국소적인 부분의 선속은 위 값에 [math(V)]의 부피 [math(\Delta V)]를 나누어 규격화 시킨뒤 [math(\Delta V\to0)]의 극한을 취해서도 구할 수 있다. 즉,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla\,\cdot}\,{\bf F} = \lim_{\Delta V\to0} \frac1{\Delta V} \oiint_{\partial V} {\bf F} \boldsymbol\cdot {\rm d}{\bf a} \end{aligned} )] |
이상의 결과를 요약하면 아래와 같다.
- 발산은 국소적인 영역에서 벡터장의 유입·유출되는 것을 수치화한 것이며, 물리적으로 해당 지점에 벡터장을 생성·소멸하게하는 원의 크기를 나타낸다.
- 발산의 부호가 양이면 벡터장은 해당 영역에서 유출되고 있음을 나타내고, 이것은 물리적으로 해당 지점에 벡터장을 생성하게 하는 원이 있는 것으로 해석할 수 있으며, 발산의 부호가 음이면 벡터장은 해당 영역으로 유입되고 있음을 나타내고, 물리적으로 해당 지점에 벡터장을 소멸하게 하는 원이 있는 것으로 해석할 수 있다. 발산이 [math(0)]이면, 벡터장은 해당 영역에서 유입량과 유출량이 같다고 해석한다.
5.3. 회전(curl)
회전은 국소적인 영역의 단위 면적당 벡터장의 선속이 회전하는 양을 나타낸다.나블라 연산자의 외적 연산으로 주어지게 되며, 결과값은 벡터이다.
정의는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf A} \equiv \sum_{klm} \epsilon_{klm} \frac1{h_l h_m} \biggl( \frac\partial{\partial x_l} \,h_m A_m \biggr) {{\bf\hat x}_k} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf A} = \frac1{h_1h_2h_3} \begin{vmatrix} h_1{\bf\hat x}_1 & h_2{\bf\hat x}_2 & h_3{\bf\hat x}_3 \\ \\ \dfrac\partial{\partial x_1} & \dfrac\partial{\partial x_2} & \dfrac\partial{\partial x_3} \\ \\ h_1A_{x_1} & h_2A_{x_2} & h_3A_{x_3} \end{vmatrix} \end{aligned} )] |
위를 바탕으로 3차원 직교 좌표계, 원통 좌표계, 구면 좌표계의 회전을 나타내면 아래와 같다. 단, 수식이 너무 길어지기 때문에 성분별로 나열된 것에 유의하라.
- 직교 좌표계
- 성분 표시
[\boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf A}]_x &= \frac{\partial A_z}{\partial y} -\frac{\partial A_y}{\partial z} \\
[\boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf A}]_y &= \frac{\partial A_x}{\partial z} -\frac{\partial A_z}{\partial x} \\
[\boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf A}]_z &= \frac{\partial A_y}{\partial x} -\frac{\partial A_x}{\partial y}
\end{aligned} )]}}}||
- 행렬 표시
\boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf A} = \begin{vmatrix}
\bf\hat x & \bf\hat y & \bf\hat z \\ \\
\dfrac\partial{\partial x} & \dfrac\partial{\partial y} & \dfrac\partial{\partial z} \\ \\
A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}
)]}}}||
- 원통 좌표계
- 성분 표시
[\boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf A}]_\rho &= \frac1\rho \frac{\partial A_z}{\partial\theta} -\frac{\partial A_\theta}{\partial z} \\
[\boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf A}]_\theta &= \frac{\partial A_\rho}{\partial z} -\frac{\partial A_z}{\partial\rho} \\
[\boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf A}]_z &= \frac1\rho \biggl( \frac\partial{\partial\rho} (\rho A_\theta) -\frac{\partial A_\rho}{\partial\theta} \biggr)
\end{aligned} )]}}}||
- 행렬 표시
\boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf A} = \begin{vmatrix}
\boldsymbol{\hat\rho}/\rho & \boldsymbol{\hat\theta} & {\bf\hat z}/\rho \\ \\
\dfrac\partial{\partial\rho} & \dfrac\partial{\partial\theta} & \dfrac\partial{\partial z} \\ \\
A_\rho & \rho A_\theta & A_z \end{vmatrix}
)]}}}||
- 구면 좌표계
- 성분 표시
[\boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf A}]_r &= \frac{\csc\theta}r \biggl( \frac\partial{\partial\theta} (A_\phi \sin\theta) -\frac{\partial A_\theta}{\partial\phi} \biggr) \\
[\boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf A}]_\theta &= \frac1r \biggl( \frac{\partial A_r}{\partial\phi} \csc\theta -\frac\partial{\partial r} (rA_\phi) \biggr) \\
[\boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf A}]_\phi &= \frac1r \biggl( \frac\partial{\partial r} (rA_\theta) -\frac{\partial A_r}{\partial\theta} \biggr)
\end{aligned} )]}}}||
- 행렬 표시
\boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf A} = \begin{vmatrix}
{\bf\hat r}\csc\theta/r^2 & \boldsymbol{\hat\theta}\csc\theta/r & \boldsymbol{\hat\phi}/r \\ \\
\dfrac\partial{\partial r} & \dfrac\partial{\partial\theta} & \dfrac\partial{\partial\phi} \\ \\
A_r & rA_\theta & rA_\phi\sin\theta \end{vmatrix}
)]}}}||
참고로 [math(\boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf A} = \operatorname{\bf curl}\bf A)]라고 쓰기도 한다.
4차원에서의 curl을 구하면 성분이 6개인 벡터가 나온다.
5.3.1. 정성적 분석
회전은 발산에 비해 이해하기 어려운 양이다. 따라서 전자기 유도의 유도기전력에 대해서 생각해보면서 회전을 정성적으로 분석해보고자 한다.유도기전력은 어떠한 폐곡선 상의 전하가 전기장에 의해 이동되며 생겨나는 전위차이다. 분석하는 벡터장을 전기장이라 한다면, 결국 회전이라 함은 이 기전력 생성에 얼마나 기여하는지를 수치화한 것으로 이해할 수 있다. 어떠한 폐곡선에서 기여분은 결국 이 폐곡선과 평행한 성분의 일(work)이므로, 폐곡선 전체에서 이 기여분은 결국 폐곡선 전체에 대해 해당 벡터장을 선적분하면 구할 수 있다.
이를 일반화하면, 회전은 벡터장이 한 폐곡선을 따라 얼마나 회전하는지를 수치화한 것으로 볼 수 있다. 위에서 일이라고 불렸던 양이 일반적인 벡터장에서는 순환(circulation)이라고 불리며, 면적이 [math(\Delta S)]인 곡면 [math(S)]를 둘러싸는 폐곡선 [math(\partial S)]과 벡터장 [math(\bf F)]에 대하여
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\oint_{\partial S} {\bf F} \boldsymbol\cdot {\rm d}{\bf l}
\end{aligned} )]
로 정의된다. 그런데 발산과 같이 국소적인 영역에 대해 이 순환을 계산하는 것이 목표이므로, 영역의 면적으로 나눠주어 규격화시킨 뒤 영역의 넓이를 [math(0)]으로 보내는 극한을 사용한다. 즉, 회전은
[math(\displaystyle \begin{aligned} ( \boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf F} ) \boldsymbol\cdot {\bf\hat n} = \lim_{\Delta S\to0} \frac1{\Delta S} \oint_{\partial S} {\bf F} \boldsymbol\cdot{\rm d}{\bf l} \end{aligned} )] |
위에서 유도기전력 예시를 이해했다면, 이 수치는 결국 각속도와 유사하게 한 곡면의 수직한 방향으로 나타날 것임을 예상할 수 있다. 또한 회전에 관련되어 있으므로 영역을 잡을 때는 오른손 법칙을 고려해야 함을 알 수 있다.
이제부터 3차원 직교좌표계에 대해 이 회전을 정성적으로 유도해보고자 한다. 위 그림과 같이, 회전을 구하기 원하는 점 [math((x,y,z))]에서 각각의 축으로 [math(\Delta x)], [math(\Delta y)], [math(\Delta z)] 만큼 늘리고, [math(xy)]평면, [math(xz)]평면, [math(yz)]평면에 평행한 사각고리 영역 [math(C_1\sim C_3)]를 고려하자. 각각의 영역을 조사하면 [math(( \boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf F} ) \boldsymbol\cdot {\bf\hat z})], [math(( \boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf F} ) \boldsymbol\cdot {\bf\hat y})], [math(( \boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf F} ) \boldsymbol\cdot {\bf\hat x})]를 구할 수 있으며, 이 성분들을 모두 더하면
[math(\begin{aligned} \boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf F} = (( \boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf F} ) \boldsymbol\cdot {\bf\hat x}){\bf\hat x} +(( \boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf F} ) \boldsymbol\cdot {\bf\hat y}){\bf\hat y} +(( \boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf F} ) \boldsymbol\cdot {\bf\hat z}){\bf\hat z} \end{aligned} )] |
우선적으로 위와 같이 [math(C_1)]에 대해 고려해보도록 하자. 이 영역에서의 순환은
[math(\displaystyle \begin{aligned} & \oint_{\partial C_1} {\bf F} \boldsymbol\cdot {\rm d}{\bf l} \\ =& \biggl( \int_{{\rm b}\to{\rm c}}-\int_{{\rm d}\to{\rm a}} \biggr) F_y \,{\rm d}y +\biggl( \int_{{\rm a}\to{\rm b}}-\int_{{\rm c}\to{\rm d}} \biggr) F_x \,{\rm d}x \\ =& \int_y^{y+\Delta y} [ F_y(x+\Delta x,y,z)-F_y(x,y,z) ] \,{\rm d}y -\int_x^{x+\Delta x} [ F_x(x,y+\Delta y,z)-F_x(x,y,z) ] \,{\rm d}x \end{aligned} )] |
[math(\begin{aligned} F_y(x+\Delta x,y,z) &= \dfrac{\partial F_y(x,y,z)}{\partial x} \,\Delta x +F_y(x,y,z) \\ F_x(x,y+\Delta y,z) &= \dfrac{\partial F_x(x,y,z)}{\partial y} \,\Delta y +F_x(x,y,z) \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_y^{y+\Delta y} \frac{\partial F_y(x,y,z)}{\partial x} \,\Delta x \,{\rm d}y -\int_x^{x+\Delta x} \frac{\partial F_x(x,y,z)}{\partial y} \,\Delta y \,{\rm d}x \end{aligned} )] |
[math(\begin{aligned} \dfrac{\partial F_y(x,y',z)}{\partial x} \,\Delta x\Delta y -\dfrac{\partial F_x(x',y,z)}{\partial y} \,\Delta x\Delta y \end{aligned} )] |
[math(\begin{aligned} \dfrac{\partial F_y(x,y,z)}{\partial x} -\dfrac{\partial F_x(x,y,z)}{\partial y} \end{aligned} )] |
[math(\begin{aligned} ( \boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf F} ) \boldsymbol\cdot {\bf\hat z} = \dfrac{\partial F_y}{\partial x} -\dfrac{\partial F_x}{\partial y} \end{aligned} )] |
[math(\begin{aligned} ( \boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf F} ) \boldsymbol\cdot {\bf\hat x} = \dfrac{\partial F_z}{\partial y} -\dfrac{\partial F_y}{\partial z} \\ ( \boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf F} ) \boldsymbol\cdot {\bf\hat y} = \dfrac{\partial F_x}{\partial z} -\dfrac{\partial F_z}{\partial x} \end{aligned} )] |
각속도 벡터와 유사하게, [math(( \boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf F} ) \boldsymbol\cdot {\bf\hat n} > 0)]이면 벡터장은 국소화된 영역에 대하여 반시계 방향의 회전에 기여하고 있으며, [math(( \boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf F} ) \boldsymbol\cdot {\bf\hat n} < 0)]이면 시계 방향의 회전에 기여하고 있으며, [math(( \boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf F} ) \boldsymbol\cdot {\bf\hat n} = 0)]이면 벡터장이 회전에 기여하지 못함을 알 수 있다. 이때 [math(\bf\hat n)]은 임의의 폐곡선에 오른손 법칙을 적용했을 때의 단위 법선 벡터이다.
즉, 위의 결과는 아래로 요약된다.
- 회전은 벡터장의 선속이 국소적인 영역에서 얼마나 회전하는지를 수치화한 것이다. 수학적으로는 순환의 극한을 나타낸다.
- 회전의 벡터가 어떠한 곡면의 법선벡터의 방향과 일치하면 벡터장은 반시계 방향으로 회전하고 있음을, 반전되면 시계 방향으로 회전하고 있음을, 회전이 영벡터이면 벡터장은 회전하지 않고 있음을 나타낸다.
5.3.1.1. 물리학적 회전과의 관계
실제로 회전이 물리학적 회전과 어떠한 관련이 있는지를 이 문단에서 보고자 한다. 어떠한 강체가 어떤 축을 중심으로 회전한다고 하자. 이때, 각속도 벡터를[math(\begin{aligned}
\boldsymbol\omega = \omega_x {\bf\hat x} +\omega_y {\bf\hat y} +\omega_z {\bf\hat z}
\end{aligned} )]
로 잡자. 이때, 강체의 각 입자에 대해 위치 벡터 [math(\bf r = x+y+z)]를 사용했을 때, 이 강체의 입자에 대한 선속도 벡터는
[math(\begin{aligned} {\bf v} &= \boldsymbol{\omega\,\times}\,{\bf r} \\ &= {\bf\hat x}(-\omega_zy+\omega_yz) +{\bf\hat y}(\omega_zx-\omega_xz) +{\bf\hat z}(-\omega_yx+\omega_xy) \end{aligned} )] |
이때, 벡터장의 회전 정도는 각 입자들의 선속도 벡터로 기술될 것이라 기대되므로, 이를 회전하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf v} &= 2( \omega_x{\bf\hat x} +\omega_y{\bf\hat y} +\omega_z{\bf\hat z} ) \\ &= 2\boldsymbol\omega \end{aligned} )] |
즉, 회전은 물리학적 회전과 밀접한 영향을 가지고 있으며, 어떠한 벡터장의 영향을 받은 입자가 어떠한 폐곡선 주위로 어떠한 축을 중심으로 회전하게 될 때 주어지는 각속도 벡터의 2배임을 알 수 있다. 와도(소용돌이도, vorticity)를 [math(\boldsymbol\zeta)]라 쓰고
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\boldsymbol\zeta &\equiv 2\boldsymbol\omega \\
&= \boldsymbol{\nabla\,\times}\,\bf A
\end{aligned} )]
라 정의하는 경우도 있다.
5.4. 라플라시안(Laplacian)
밑의 정의에서 알 수 있듯이, 스칼라 라플라시안의 경우 기울기벡터의 발산을 구한 것이다. 학부 수준에서 다루는 고전역학 및 전자기학 문제들이 대부분 2계 미분 방정식이라 3차원 등으로 나타내면 이 연산자를 보게 된다. 라플라스 방정식 참고.
이 연산자에 대해 고찰해보자면, 우선적으로 어떤 스칼라 함수의 기울기벡터를 구하는 것([math(\boldsymbol\nabla\!f)])은 그 함수의 변화량이 급변하는 방향의 벡터 함수를 구하는 것과 동치이며, 어떤 벡터장의 발산을 구하는 것([math(\boldsymbol{\nabla\,\cdot}\,\bf A)])은 국소적인 영역에서 벡터장의 유입 혹은 유출을 구하는 것과 동치이다(즉, 벡터장이 일정하게 흐르지 않는 영역을 찾는 것과 동치이다). 따라서 라플라시안([math(\boldsymbol{\nabla\cdot\nabla}\!f)])은 어떠한 스칼라 함수의 변화량이 급변하는 방향의 벡터장에 대해 발산을 구한 것이므로, 해당 스칼라 함수의 기울기벡터가 일정하게 흐르지 않는 영역을 찾는 것이다.
또한, 이 연산자에 대한 매우 흥미로운 물리적 해석이 있는데, 매끄러운 함수 [math(f:\R^3\rightarrow\R)]의 영역 안에 있는 점 [math((x,y,z))]를 상상해보라. 이 점 주변에 있는 점들을 [math((x,y,z))]의 '근방'이라 한다. [math(\nabla^2\!f(x,y,z))]는 [math(f(x,y,z))]와 이 근방점들의 함수값의 평균적인 차이라고 해석하면 된다.
정의는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\nabla^2\!f = \boldsymbol{\nabla\,\cdot}\,(\boldsymbol{\nabla}\!f)
\end{aligned} )]
책에 따라 [math(\Delta f= \nabla^2\!f)]로 쓰는 곳도 있다.[7] 이를 바탕으로 3차원 상의 직교 좌표계, 원통 좌표계, 구면 좌표계의 라플라시안을 나타내면 아래와 같다.
- 직교 좌표계:
\nabla^2\!f = \dfrac{\partial^2\!f}{\partial x^2} +\dfrac{\partial^2\!f}{\partial y^2} +\dfrac{\partial^2\!f}{\partial z^2}
\end{aligned} )]}}}||
- 원통 좌표계:
\nabla^2\!f = \dfrac1\rho \dfrac\partial{\partial \rho} \biggl( \rho \,\dfrac{\partial f}{\partial\rho} \biggr) \!+\dfrac1{\rho^2} \dfrac{\partial^2\!f}{\partial\phi^2} +\dfrac{\partial^2\!f}{\partial z^2}
\end{aligned} )]}}}||
- 구면 좌표계:
\nabla^2\!f = \dfrac1{r^2} \dfrac\partial{\partial r} \biggl( r^2 \dfrac{\partial f}{\partial r} \biggr) \!+\dfrac{\csc\theta}{r^2} \dfrac\partial{\partial\theta} \biggl( \sin\theta \,\dfrac{\partial f}{\partial\theta} \biggr) \!+\dfrac{\csc^2\theta}{r^2} \dfrac{\partial^2\!f}{\partial\phi^2}
\end{aligned} )]}}}||
5.5. 벡터 라플라시안(vector Laplacian)
벡터 라플라시안은 다음과 같이 정의된다.[math(\begin{aligned} \nabla^2{\bf A} = \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\nabla\,\cdot}\,{\bf A} ) - \boldsymbol{\nabla\,\times}\, ( \boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf A} ) \end{aligned} )][8] |
대학 미분적분학을 공부하다 보면 벡터의 외적을 공부하게 되는데, 여기서 나오는 벡터 삼중곱의 성질을 가져와 쓴 것이다. 또한, 전자기학에서도 후반(전자기파 방사)으로 가면 [math(mathbf{E})]-field나 [math(mathbf{H})]-field에 대한 2계 편미분방정식을 유도하는 등 이 연산을 쓸 일이 있을 것이다.
5.6. 달랑베르시안(d'Alembertian)
달랑베르 파동방정식으로부터 달랑베르시안은 아래와 같이 정의된다.[9][math(\displaystyle \begin{aligned}
\square &= \partial^\mu \partial_\mu \\
&= g^{\mu\nu} \partial_\nu \partial_\mu \\
&= \dfrac1{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} -\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_i^2}
\end{aligned} )]
시간과 공간 방향을 분리하여 라플라시안을 사용해서 나타내면 다음과 같다.[10]
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\square = \frac1{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2
\end{aligned} )][11]
물리학과 전공자의 경우 전자기학 후반부의 상대론적 전자기학이나 파동방정식에서 만날 수 있는 연산자로, 4차원 시공간에서 라플라시안에 대응되는 연산자이다.
라플라시안과 달리 달랑베르시안은 통일된 표기법이 없다. 라플라시안과 형태를 비슷하게 맞추고 스칼라로서의 본성을 강조하기 위해 [math(\square^2)]의 표기를 선호하는 이들도 있고, 4차원에서 수식을 표현하는 것이 당연시되는 일부 물리 분야에서는 [math(\partial^2)]으로 표현하기도 한다.
5.7. 예제
| 스칼라 함수 [math(\phi=xyz)], 벡터 함수 [math({\bf V} = xy^2{\bf\hat x} +xyz{\bf\hat y} +z{\bf\hat z})]에 대하여 다음을 각각 구하시오. | ||
| (a) [math(\boldsymbol\nabla\phi)] | (b) [math(\boldsymbol{\nabla\,\cdot}\,\bf V)] | (c) [math(\boldsymbol{\nabla\,\times}\,\bf V)] |
| (d) [math(\nabla^2\phi)] | (e) [math(\boldsymbol\nabla (\boldsymbol{\nabla\,\cdot}\,\bf V))] | (f) [math(\boldsymbol{\nabla\,\times}\,(\boldsymbol{\nabla\,\times}\,\bf V))] |
| (g) [math(\nabla^2\bf V)] | ||
(a)
[math(\begin{aligned} \boldsymbol\nabla \phi &= \!\biggl[ {\bf\hat x} \frac\partial{\partial x} +{\bf\hat y} \frac\partial{\partial y} +{\bf\hat z} \frac\partial{\partial z} \biggr] xyz \\ &= yz{\bf\hat x} +xz{\bf\hat y} +xy{\bf\hat z} \end{aligned} )] |
(b)
[math(\begin{aligned} \boldsymbol{\nabla\,\cdot}\,{\bf V} &= \frac\partial{\partial x} (xy^2) +\frac\partial{\partial y} (xyz) +\frac\partial{\partial z} (z) \\ &= xz+y^2+1 \end{aligned} )] |
(c)
[math(\begin{aligned} \boldsymbol{\nabla\,\times}\,{\bf V} &= \begin{vmatrix} {\bf\hat x} & {\bf\hat y} & {\bf\hat z} \\ \\ \dfrac\partial{\partial x} & \dfrac\partial{\partial y} & \dfrac\partial{\partial z} \\ \\ xy^2 & xyz & z \end{vmatrix} \\ &= -xy{\bf\hat x} +y(z-2x){\bf\hat z} \end{aligned} )] |
(d)
[math(\begin{aligned} \nabla^2\phi &= \boldsymbol{\nabla\,\cdot}\,(\boldsymbol\nabla\phi) \\ &= \!\biggl[ \frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2} \biggr] xyz \\ &= \frac\partial{\partial x}(yz) +\frac\partial{\partial y}(xz) +\frac\partial{\partial z}(xy) \\ &= 0 \end{aligned} )] |
(e)
[math(\begin{aligned} \boldsymbol\nabla (\boldsymbol{\nabla\,\cdot}\,\bf V) &= \boldsymbol\nabla ( xz+y^2+1 ) \\ &= \!\biggl[ {\bf\hat x} \frac\partial{\partial x} +{\bf\hat y} \frac\partial{\partial y} +{\bf\hat z} \frac\partial{\partial z} \biggr] (xz+y^2+1) \\ &= z{\bf\hat x} +2y{\bf\hat y} +x{\bf\hat z} \end{aligned} )] |
(f)
[math(\begin{aligned} \boldsymbol{\nabla\,\times}\,(\boldsymbol{\nabla\,\times}\,\bf V) &= \boldsymbol{\nabla\,\times}\, (-xy{\bf\hat x} +y(z-2x){\bf\hat z}) \\ &= \begin{vmatrix} {\bf\hat x} & {\bf\hat y} & {\bf\hat z} \\ \\ \dfrac\partial{\partial x} & \dfrac\partial{\partial y} & \dfrac\partial{\partial z} \\ \\ -xy & 0 & y(z-2x) \end{vmatrix} \\ &= (z-2x){\bf\hat x} +2y{\bf\hat y} -x{\bf\hat z} \end{aligned} )] |
(g)
[math(\begin{aligned} \nabla^2\bf V &= \boldsymbol\nabla (\boldsymbol{\nabla\,\cdot}\,\bf V) -\boldsymbol{\nabla\,\times}\,(\boldsymbol{\nabla\,\times}\,\bf V) \\ &= (z{\bf\hat x} +2y{\bf\hat y} +x{\bf\hat z}) -( (z-2x){\bf\hat x} +2y{\bf\hat y} -x{\bf\hat z} ) \\ &= 2x{\bf\hat x} +2x{\bf\hat z} \end{aligned} )] |
6. 기타
7. 관련 문서
8. 관련 참고 거리
[1] 사실 정의하기 나름이다. Scaling factor는 계량 텐서가 대각행렬일 때만 정의할 수 있다. 어떤 책에서는 위에서 보정한 성분을 physical component라고도 한다.[2] 쉽게 말하면 선형변환을 기술하는 행렬이다.[3] '그래디언트'라고 하는 경우도 있는데, 발음상 '그레이디언트'가 맞다.[4] 예를 들어, 전위의 기울기벡터를 구하면 전기장이 되고, 전기장을 일정한 경로에 대해 적분하면 전압이 된다.[5] 즉, 벡터장을 생성하는 원(源)이 있다는 것으로 해석 가능[6] 즉, 벡터장을 소멸시키는 원이 있다는 것으로 해석 가능[7] 단, 비슷한 표기법인 변화량(증분)과 혼돈하기 쉬우므로 주의하자.[8] 스칼라 곱 - 벡터 곱[9] 수식이 깨진 게 아니라 기호 모양이 '네모'이다.[10] 출처: Basics of Fluid Mechanics, Genick Bar-Meir 2014 GFDL #[11] 그리피스의 "기초 전자기학" 책에는 부호가 반대로 되어 있다. 그 이유는, 달랑베르시안은 계량 텐서(metric tensor) [math(g^{\mu\nu})]를 어떻게 정의하느냐에 따라 달라지기 때문이다. 이 문서에서는 계량 텐서를 ([math(+)], [math(-)], [math(-)], [math(-)])로 채택하였다.[12] 나블라 연산자 기호를 별도의 프로그램 없이 작성하고 싶다면, ㄷ → 한자 키 → PgDn → PgDn → 2로 입력 가능하다.