1. 개요
피에르시몽 라플라스와 관련있는 편미분방정식이다. [math(n)]차원 유클리드 공간 위에서 다음과 같이 정의된 라플라스 연산자(Laplace operator) 혹은 라플라시안(Laplacian)
[math( \displaystyle \nabla^{2}f =\boldsymbol{\nabla} \cdot (\boldsymbol{\nabla}f )]) [2]
에 대해[math( \nabla^2 f = 0)]
의 방정식을 말한다.엄밀하게 세팅을 주자면 경계조건이 필요한데, 영역 [math(M)]이 주어져 있을 때 디리클레 경계조건은 [math(\partial M)] 위에서의 함수값을 지정하고, 노이만 경계조건은 [math(\partial M )] 위에서 경계의 법선벡터(normal vector) 방향으로의 방향미분을 제시한다. 더욱 일반적인 경우인 푸아송 방정식(Poisson equation)
[math( \nabla^2 f = \phi )]
의 경우도 디리클레/노이만 경계조건을 각각 생각할 수 있다.물리학에서 라플라시안이 갖는 의미는 확산이나 파동과 연관되어 정말 다양하게 생각될 수 있으므로, 여기서 나온 라플라스 방정식은 일종의 근본적인 방정식처럼 생각된다. 라플라스 방정식 뿐만이 아니라 라플라시안에 관련한 세 가지 방정식들 형태
- 라플라스 방정식: [math( \nabla^2 f = 0)]
- 열 방정식: [math( \frac{\partial f }{\partial t} = \alpha \nabla^2 f)]
- 파동 방정식: [math( \frac{\partial^2 f}{\partial^2 t} = c^2 \nabla^2 f )]
다행히도 라플라스 방정식은 비교적 해를 찾기 수월한 편미분방정식에 속한다. 순수수학의 추상적 편미분방정식 이론에서는, 라플라스 방정식 비스무레한 특성을 가진 타원형 편미분방정식(elliptic PDE)들은 모두 해가 잘 컨트롤되며 비슷한 해법이 존재한다는 것을 증명할 수 있다. 실전에서 해를 계산할 때는 영역의 모양에 따라 다양한 종류의 해법이 있고, 그 중 실제 손으로 계산할 수 있는 것들도 많다. 대부분의 편미방에서는 감히 엄두도 못낼 일이다.
2. 특성
2.1. 정규성
라플라스 방정식은 경계조건이 정해지면 해가 유일하게 존재한다. 상미분방정식 느낌으로 보면 아무것도 아닌 것 같아 보이지만, 해의 존재성조차 보장되지 않는 편미분방정식 기준에선 이건 엄청난 특혜이다. 해의 존재/유일성 뿐만이 아니라 정규성을 보면 더 엄청나다. 라플라스 방정식의 해를 조화함수(harmonic function)라고 하는데, 조화함수는 열린 영역 내부에서는 항상 매끄럽다. 이건 초기조건이 아무리 좋지 못한 함수여도 뭐든 간에 성립한다는 것이 더욱 놀랍다. 심지어 weak solution[3]에 대해서도 매끄러움이 보장된다.유일성의 증명은 발산 정리를 적용해 나온 다음 식에서
[math(\displaystyle \int_{\partial M} (f \nabla f) \cdot \vec{n} = \int_{M} (|\nabla f|^2 + f \nabla^2 f) )]
디리클레 경계조건 ([math(f=0)]) 혹은 노이만 경계조건 ([math(\nabla f \cdot \vec{n}=0)])이 0일 경우 해가 0임을 보이고, 선형성에 의거해 논증하면 된다. 다만 존재성의 일반적인 증명은 생각만큼이나 쉽지 않고, PDE의 고급 이론이 필요하다.조화함수는 매끄러움 외에도 여러가지 성질을 만족시킨다.
- 평균값 성질: 조화함수의 초구 혹은 초구면 위에서의 평균은 중심점에서의 값과 동일하다. 즉 다음이 성립한다. 여기서 [math(B_r, S_r)]은 반지름 [math(r)]인 n차원 초구/초구면, [math(\nu)]는 [math(S_r)] 위의 넓이측도이다.
[math( \displaystyle f(x) = \frac{1}{\mathrm{vol}(B_r)}\int_{|x-y|<r} f(y) dy = \frac{1}{\mathrm{vol}(S_r)} \int_{|x-y|=r} f(y) d \nu(y) )] - 최댓값 원리: 컴팩트인 영역 [math(K)] 위에서 조화함수 [math(f)]의 최댓값 혹은 최솟값은 [math(K)]의 경계 위에서 나온다.
2.2. 고유진동수와 스펙트럼
라플라스 방정식과 연관되어 있는 문제로 다음의 고유치 문제가 있다.[math( \nabla^2 f = \lambda f, f|_{\partial M} = 0 )]
사실 라플라스 방정식 자체만을 푼다면 이 고유치 문제는 관련이 적을 수도 있지만, 다른 유형의 방정식들(푸아송 방정식, 열 방정식, 파동 방정식 등등)과는 매우 밀접한 관련을 맺고 있다.이 방정식에 대해서는 다음과 같은 사실이 알려져 있다.
| 컴팩트인 영역 [math(M \subset \mathbb{R}^n)]에 대해 위의 고유치 문제의 해는 항상 다음과 같이 나타낼 수 있다: 음의 무한대로 수렴하는 고유값의 수열 [math(\lambda_1 \le \lambda_2 \le \cdots )]과 함수 [math(\varphi_i)]가 존재해 [math( (\lambda, \varphi_i))]가 모든 해가 된다. |
라플라스 방정식의 경우에는 아래의 변수분리법을 했을 때
[math( \nabla^2 f + \partial_t^2 f = 0)]
의 형태로 생각할 수 있는 경우가 많다. [math(t)]의 축이 다른 변수들과 직각을 이루고 있을 때. 이 때 변수분리법을 한다면 [math(t)]의 성분이 삼각함수 및 지수함수로 나타나고, 그에 직교하는 성분에 대해선 고유치 문제를 풀게 되는 것이다. 따라서 아래에 등장하는 베셀 함수 및 구면 조화 함수 같은 경우도, 각각 원판과 구면 위에서의 고유 진동 모드로 보는 것이 자연스럽다.2.3. 2차원 라플라스 방정식과 복소해석학
영역이 2차원일 때의 조화함수는 복소해석학으로 해석될 수 있는 특별한 성질을 만족하는데, 바로 복소해석 함수의 실수부(혹은 허수부)가 될 수 있다는 것이다.| 2차원 단순연결 영역 위의 [math(C^2)] 실함수 [math(u)]에 대해 다음 조건은 서로 동치이다. (1) [math(u)]는 조화함수이다. (2)의 조건을 만족시키는 [math(v)]는 상수만큼 차이나는 것을 제외하면 유일하게 결정된다. 이 [math(v)]를 [math(u)]의 조화 켤레/조화 공액(harmonic conjugate)이라 부른다.(2) [math(u+iv = f(x+iy))]가 되는 정칙(holomorphic)함수 혹은 복소해석(complex analytic)함수 [math(f)]가 존재한다. (3) [math(u,v)]가 코시-리만 방정식, 즉 [math(u_x = v_y, u_y = -v_x)] 을 만족시킨다. |
이를 이용하여 다음을 증명할 수 있다.
| 2차원 영역 [math(U)]와 [math(V)]가 등각사상(conformal mapping) [math(\phi: U \rightarrow V)]로 일대일대응된다고 하자. [math(u : U \rightarrow \mathbb{R})]이 조화함수일 필요충분조건은 [math( u \circ \phi^{-1})]이 조화함수인 것이다. |
| 푸아송 적분 공식(Poisson integral formula) 단위원을 포함하는 영역 위에서 조화함수 [math(f)]에 대해 다음이 성립한다. ([math(0 \le r< 1)]) [math(\displaystyle f(r e^{i \theta}) = \frac{1}{2\pi} \int_{\phi=0}^{2\pi} f(e^{i \phi}) \frac{1-r^2}{1-2r \cos(\theta-\phi)+ r^2} d \phi )] 푸아송 핵(Poisson kernel)은 함수 [math(\frac{1-r^2}{1-2r \cos(\theta-\phi)+ r^2} = P_r(\theta-\phi))]을 의미한다. |
3. 풀이법
경계조건이 주어져 있는 라플라스 방정식의 해법은 영역의 모양에 따라 바뀐다.영역의 형태가 좋은 직사각형 및 원형 영역의 경우에는 직교좌표/극좌표계 등 적절한 국소 직교 좌표계에 대해 변수분리법을 사용할 수 있다. 라플라스 방정식에 대해 변수분리법이 먹히는 이유는 (1) 우선 해의 존재성 및 유일성이 보장되기 때문이고 (2) 라플라스 작용소의 형태 자체가 매우 쉽기 때문이다. 수단과 방법을 가리지 않고 해를 일단 찾기만 하면 그것이 유일한 해이기 때문에, 꼼수같아 보이는 변수분리법도 일단 계산을 냈다면 정당성을 인정받는 것이다. 또한 라플라스 작용소는 2차 작용소 중 회전에 대해 불변이기 때문에 국소적으로 직교인 좌표계에서는 꽤나 표현이 쉽다.
수치해석적으로도 라플라스 방정식은 다른 미분방정식들에 비해 다루기 편리한 편인데, 해의 정규성이 수치해석적 기법들의 안정성을 보장해 주기 때문이다. 즉 수치해석 알고리즘으로 얻은 해가 실제 해에 수렴함을 증명할 수 있다. 이는 라플라스 방정식의 특성을 이어받은 타원형 편미분방정식들은 모두 공유하는 성질이다. 이게 보장되지 않은 일반적 경우에는 별도의 알고리즘을 그때그때 개발하거나, 안정성을 보장받지 않고 사용해 해가 현실을 전혀 반영하지 못하고 이상한 값으로 튀어 버리는 경우도 감수해야 함을 생각하면 정말 다행한 일이다.
3.1. 변수분리법
변수분리법은 구하려는 함수가 각각 단일변수 함수의 곱으로 나타난다고 가정하고 푸는데, 대개의 경우 [math(u_1, u_2, \cdots, u_m, \cdots)] 식으로 자연수 개수만큼의 해가 나오게 된다. 일반해를 찾고 싶으면 이 해들을 선형결합해 [math( \sum u_i c_i = f)] 꼴을 생각하고, 경계조건이 주어진 문제를 풀고 싶으면 경계조건을 저 선형결합으로 나타내면 (즉 [math( \sum u_i c_i|_{\partial M} = g)]를 풀면) 된다. 많은 경우에 이들 함수는 [math(L^2(\partial M))] 공간의 직교기저를 이루는데, 사실 이는 우연의 일치가 아니고 위의 스펙트럼 이론에 따른 결과이다.아래의 경우 다음처럼 주어지는 라플라시안의 다른 좌표계 표현을 잘 활용하자.
- 직교좌표계: 영역이 다포체[4](끝이 있거나 없는)일 때. 쌍곡선함수와 삼각함수의 조합으로 나타난다.
[math(\displaystyle \nabla^2 f = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2} )] - 2차원 극좌표계: 영역이 원형일 때. 역시 삼각함수와 지수함수의 조합이지만 직교좌표계로 변환하면 2변수 조화다항식[5]을 얻는다.
[math(\displaystyle \nabla^2 f = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2f}{\partial \theta^2})] - 3차원 원통좌표계: 영역이 원통일 때. 베셀 함수가 나타난다.
[math(\displaystyle \nabla^2 f = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\partial f}{\partial \rho}\right)+\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2f}{\partial \phi^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2})] - 3차원 구면좌표계: 영역이 구일 때. 르장드르 다항식 혹은 동일하게 구면 조화 함수가 나온다.
[math(\displaystyle \nabla^2 f=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 f}{\partial\phi^2})]
3.1.1. 구면좌표계
경계조건이 구형으로 주어질 경우, 구면좌표계를 도입한다.[math(\displaystyle\nabla^2 f\left(r,\theta,\phi\right)=0)] 에서
[math(\displaystyle f\left(r,\theta,\phi\right)=R\left(r\right)\Theta\left(\theta\right)\Phi\left(\phi\right))]라고 하면
[math(\displaystyle\nabla^2{f\left(r,\theta,\phi\right)}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta^2}\frac{\partial^2 f}{\partial\phi^2})]
[math(\displaystyle=\frac{\Theta\Phi}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)+\frac{R\Phi}{r^2\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)+\frac{R\Theta}{r^2\sin^2\theta}\frac{d^2 \Phi}{d\phi^2}=0)]
i) 우선 [math(\Phi)]에 대해 풀기 위해
양 변에 [math(\displaystyle\frac{r^2\sin^2\theta}{R\Theta\Phi})]를 곱하면
[math(\displaystyle\frac{\sin^2\theta}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)+\frac{\sin\theta}{\Theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)+\frac{1}{\Phi}\frac{d^2 \Phi}{d\phi^2}=0)]
위에서 세 번째 항에서 [math(\displaystyle\Phi\left(\phi\right))]는 [math(\phi)] 외의 다른 변수의 영향을 받지 않아야 하므로 [math(\displaystyle\frac{1}{\Phi}\frac{d^2 \Phi}{d\phi^2})]는 상수이다.
[math(\displaystyle\frac{1}{\Phi}\frac{d^2 \Phi}{d\phi^2}=M)]
[math(\displaystyle\frac{d^2 \Phi}{d\phi^2}-M\Phi=0)] (M은 상수)
여기에서 상수 [math(M)]의 부호에 따라 [math(\Phi)]는 삼각함수(음수일 때), 쌍곡함수(양수일 때), 일차함수(0일 때)로 나뉘어지는데, 일반적으로 [math(\phi)]는 구면좌표계에서 방위각을 나타내며, [math(\Phi\left(\phi\right))]는 [math(\phi)]가 2π/n(n은 정수)의 주기로 반복되어야하므로 삼각함수가 되어야 한다. 따라서 상수 M을 음수로 놓는다.
[math(\displaystyle\frac{d^2 \Phi}{d\phi^2}+m^2\Phi=0)]
[math(\displaystyle\Phi=\begin{cases}\sin m\phi \\ \cos m\phi \end{cases})]
ii) 이제 [math(R)]에 대해 변수분리하여 풀려면
[math(\displaystyle\frac{\sin^2\theta}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)+\frac{\sin\theta}{\Theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)+\frac{1}{\Phi}\frac{d^2 \Phi}{d\phi^2}=0)]에서
[math(\displaystyle\frac{1}{\Phi}\frac{d^2 \Phi}{d\phi^2}=-m^2)]이므로,
[math(\displaystyle\frac{\sin^2\theta}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)+\frac{\sin\theta}{\Theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)-m^2=0)]
양 변에 [math(\displaystyle\dfrac{1}{\sin^2\theta})]을 곱하면
[math(\displaystyle\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)+\frac{1}{\Theta\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)-\frac{m^2}{\sin^2\theta}=0)]
첫 항 [math(\displaystyle\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right))]에서 역시 [math(R\left(r\right))]은 [math(r)] 이외의 변수에 영향을 받지 않아야 하므로 해당 항은 상수여야 한다. 해당 상수를 편의상 [math(l\left(l+1\right))]로 놓으면
[math(\displaystyle\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)=l\left(l+1\right))]
[math(\displaystyle r^2R''+2rR'-l\left(l+1\right)R=0)]
위 이차 상미분방정식의 해는
[math(\displaystyle R=\begin{cases}r^l \\ r^{-l-1}\end{cases})] 로 잘 알려져 있다.
iii) 마지막으로 [math(\displaystyle\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)=l\left(l+1\right))]를 대입하면 라플라스 방정식은 [math(\Theta\left(\theta\right))]에 대해
[math(\displaystyle\frac{1}{\Theta\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)+l\left(l+1\right)-\frac{m^2}{\sin^2\theta}=0)]
[math(\displaystyle\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)+\left[l\left(l+1\right)-\frac{m^2}{\sin^2\theta}\right]\Theta\sin\theta=0)]
[math(\mu=\cos\theta)]로 놓으면 연쇄법칙에 따라
[math(\displaystyle\frac{dF}{d\theta}=\frac{dF}{d\mu}\frac{d\mu}{d\theta}=-\sin\theta\frac{dF}{d\mu})]이고, (F는 [math(\theta)]에 관한 함수)
[math(\displaystyle-\sin\theta\frac{d}{d\mu}\left(-\sin^2\theta\frac{d\Theta}{d\mu}\right)+\left[l\left(l+1\right)-\frac{m^2}{\sin^2\theta}\right]\Theta\sin\theta=0)]
[math(\displaystyle\frac{d}{d\mu}\left[\left(1-\cos^2\theta\right)\frac{d\Theta}{d\mu}\right]+\left[l\left(l+1\right)-\frac{m^2}{\sin^2\theta}\right]\Theta=0)]
[math(\displaystyle\frac{d}{d\mu}\left[\left(1-\mu^2\right)\frac{d\Theta}{d\mu}\right]+\left[l\left(l+1\right)-\frac{m^2}{1-\mu^2}\right]\Theta=0)]
이 이차 상미분방정식의 해는
[math(\displaystyle \Theta=\begin{cases}P_l^m(\mu)=P_l^m(\cos\theta) \\ Q_l^m(\mu)=Q_l^m(\cos\theta)\end{cases})]으로 잘 알려져있다.
여기에서 [math(\displaystyle P_l^m(x))]는 x에 대한 르장드르 연관 다항식(associated Legendre Polynomial)이며,
[math(\displaystyle Q_l^m(x))]는 미분방정식 [math(\displaystyle\frac{d}{dx}\left[\left(1-x^2\right)\frac{dy}{dx}\right]+\left[l\left(l+1\right)-\frac{m^2}{1-x^2}\right]y=0)]의 또 다른 해인 제 2종 르장드르 연관 다항식(associated Legendre function of the second kind)이다.
종합하여
[math(\displaystyle f\left(r,\theta,\phi\right)=R\Theta\Phi=\begin{Bmatrix}r^l \\ r^{-l-1}\end{Bmatrix}\begin{Bmatrix}P_l^m(\cos\theta) \\ Q_l^m(\cos\theta)\end{Bmatrix}\begin{Bmatrix}\sin m\phi \\ \cos m\phi \end{Bmatrix})]
3.2. 수치적 풀이
컴퓨터를 이용하여 근사적인 해를 구할 때에는 미분방정식의 미분 연산을 이웃한 두 지점 사이의 차로 표현한다. 미분계수의 정의를 역으로 이용한 것.[math(\displaystyle \frac{\partial^2f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x+h,y)-2f(x,y)+f(x-h,y)}{h^2})]
[math(\displaystyle \frac{\partial^2f}{\partial y^2} \approx \frac{f(x,y+h)-2f(x,y)+f(x,y-h)}{h^2})]
따라서 아래 변형된 식을 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle \frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=0 \Rightarrow 4f(x,y)=f(x+h,y)+f(x-h,y)+f(x,y+h)+f(x,y-h))]
3차원에서도 모양이 비슷하게 나온다. 라플라스 방정식에서는 한 지점의 함숫값은 (전후)상하좌우로 이웃한 지점들의 평균과 같다[6]는 근사적인 관계식이 나온다.
[math(\displaystyle 6f(x,y,z)=f(x+h,y,z)+f(x-h,y,z)+f(x,y+h,z)+f(x,y-h,z)+f(x,y,z+h)+f(x,y,z-h))]
정의역을 간격이 [math(h)]인 격자로 취급하고, [math(s_k=s_0+kh(s:x,y,z))]인 경계면 내의 격자점들을 변수로 풀이를 한다.
§예시
위 그림과 같이 경계선(회색) 상의 값들이 주어져 있다. 그러면 위 방정식에 따라 내부 값들을 계산하면 흰색 네모의 결과가 도출된다. 내부의 한 지점이 그것의 상하좌우의 평균과 근사적으로 일치함을 알 수 있다.
3.3. 복소해석학을 이용한 풀이
2차원 디리클레 문제 한정으로, 복소해석학에 익숙하다면 영역을 등각사상으로 변환시켜 해결할 수 있다.풀이과정은 아래와 같다.
- 경계 조건을 해를 찾기 좋게 변형할 수 있는 미분 가능한 복소수함수를 찾는다.
- 경계선의 조건을 새로운 [math(u,v)]복소평면에 적용한다.
- [math(u,v)] 상에서 라플라스 방정식의 해(즉 조화함수)[math(f(u,v))]를 찾는다.
- 앞서 대응시킨 복소수함수에 대한 [math(u(x,y),v(x,y))]를 구한다.
- [math(x,y)]복소평면 상의 해는 [math(g(x,y)=f(u,v))]이다.
§예시
위 왼쪽 그림과 경계 조건이 제1사분면에서 주어졌다고 하자.
[math(f(x,0)=1(0\leq x\leq a);0(x>a),\ f(0,y)=0)]
복소평면상에서, 제1사분면을 제1+제2사분면으로 변환시켜주는 미분 가능한 복소수함수는 [math(w(z)=z^2)]이다. 이를 적용하면 오른쪽 그림이 된다.
[math(f(u,0)=1(0\leq x\leq a^2);0(u<0\ \text{or}\ u>a^2))]
이 조건을 만족하는 라플라스 방정식의 해는 [math(f(u,v)=\pi^{-1}\left(\tan^{-1}\frac{v}{u-a^2}-\tan^{-1}\frac{v}{u}\right))]이다.
한편 [math(w=(x+iy)^2,\ u=x^2-y^2,\ v=2xy)]이므로, 구하고자 하는 해는 아래와 같다.
[math(g(x,y)=\pi^{-1}\left(\tan^{-1}\frac{2xy}{x^2-y^2-a^2}-2\tan^{-1}\frac{y}{x}\right))]
보통 옮기는 모양은 원형 혹은 반평면이 추천되는데, 원형의 경우는 위의 푸아송 공식을 활용하고 반평면의 경우에도 슈왈츠 핵(Schwarz kernel)을 사용한 유사한 풀이법이 있어, 일단 모양을 바꿨다면 계산은 단순 적분이다. 잘 옮기는 함수를 찾는 것이 사실상 가장 어려운 부분인데, 쉬운 경우에는 복소해석학 교재 앞부분 등을 참고하자. mathworld의 등각사상 관련 참고자료 일반적인 다각형 모양의 경우 슈바르츠-크리스토펠 사상(Schwarz-Christoffel mapping)이라는 공식으로 반평면과 다각형을 오갈 수 있지만, 유리식에 근호 씌운 걸 적분하므로 대수적 계산은 불가능한 경우가 대부분이다. 이론적으로는 리만 사상 정리(Riemann mapping theorem)로 모든 단순연결 영역을 원으로 바꾸는게 가능은 하지만 계산법을 주는건 아니니까..
4. 사례
여러 학문 분야에서 라플라스 방정식이 나타난다. 대부분 Source가 없는 (우변이 0이므로) 형태의 물리적인 현상을 표현할 때 사용된다. 다만 물리적으로 Source가 0이라는 경우는 매우 특수한 경우인 만큼, 라플라스 방정식은 보통 다른 방정식을 단순화하는 과정에서 나타나게 된다. 여담으로 Source가 0이 아닐 경우에는 이를 푸아송 방정식이라 부르며, Source 하나만 추가되어도 비동차 미분방정식이 되어 풀이의 난이도가 꽤나 올라간다.라플라스 방정식이 등장하는 주요한 경우는 전자기학에서의 전하가 없는 정전기학 문제, 중력 퍼텐셜 문제, 열전도 문제, 유체역학에서 다루는 2차원 Potential Flow 문제 등이 있다. 이 외에도 제어 이론에서도 초기 Input이 0일 경우에 자주 등장하는 방정식이기도 하다.
4.1. 전자기학
전자기학에서는 전기 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜에 관한 방정식에서 라플라스 방정식을 찾을 수 있다. 도출 과정은 해당 문서 참고.[math(\nabla^2 \phi=0;\ \nabla^2 \vec{A}=0)]
정전기학에서는 주로 전하와 도체의 분포를 다루는데, 특히 도체가 문제 상황에 들어가 있으면 전하 분포를 알 수 없어서 정전기력으로 전기장이나 전기 퍼텐셜을 셈하기 심히 곤란해진다. 그렇지만 도체는 라플라스 방정식의 '경계 조건'을 주기 때문에, 위 미분방정식을 풀면 도체 표면의 전하 분포를 모르더라도 전기 퍼텐셜을 구할 수 있다.
4.2. 열역학
열이 전도할 때, 특정 지점에서 온도의 변화는 아래와 같은 식을 따른다.[math(\frac{\partial T}{\partial t}=\sigma \nabla^2 T)]
그런데 만일 온도가 변하지 않는 정적 상태(static state)라면, 위 식에서 좌변의 시간 미분이 0으로 사라지고, 결국 온도의 라플라시안만 남는다. 따라서 정적인 상황에서는 라플라스 방정식이 된다.
5. 관련 문서
[1] 수학에서 쓰이는 아름답다는 표현은 미적분과 선형대수학, 대수학에서 쓰이는 표현들이 시각적인 상태를 나타내는 3개의 위치 변수에 방정식으로 구현했다는 것이다. 오일러 등식도 역시 수학에서 상관없어 보이는 여러 표현들이 사용되어 주기 함수를 해석적으로 설명했다는 측면에서 아름답다고 표현한다.[2] 라플라시안의 표기에 대해 물리학자들은 [math(\nabla^2)], 수학자들은 [math( \Delta)]를 선호하는 경향이 있다. 다만 델을 사용한 [math(\nabla^2)] 표기법은 유클리드 공간 전용으로, 다양체 위의 일반화된 라플라스-벨트라미 작용소(Laplace-Beltrami operator)를 말할 때에는 사용하면 안된다.[3] 미분불가능할 수 있지만 분포이론 접근에서 조건을 만족시키는 해의 일종[4] 직사각형, 직육면체 등.[5] [math((x+iy)^n)]의 전개에서 나온다[6] 단, 간격이 어느 방향으로든 전부 동일해야 한다.