큰 수

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1. 개요

2. 상세

2.1. 과거의 큰 수

2.2. 1부터 절대적 무한까지

2.2.1. 물체의 수

2.2.2. 경우의 수

2.2.3. 수학적 거대수

3. 여러 큰 수의 이름

3.1. 유한

3.1.1. 전통적인 수 명명법

• 동아시아의 큰 수 명명법
• 1~9999까지의 수를 앞에 적고, 뒤에 10⁴ⁿ을 의미하는 수사를 붙여 만든다. (예시: 37 043 550 000 = 삼백칠십억 사천삼백오십오만)
• 영어와 달리 10⁴ⁿ을 의미하는 한자에는 규칙이 없고, 임의적이다.

• 영어의 큰 수 명명법
• short scale (현대 표준 영어)
• 1~999까지의 수를 앞에 적고, 뒤에 10³⁽ⁿ⁺¹⁾을 의미하는 수사를 붙이는 식으로 수를 부른다.
• 큰 수의 단위는 1000(thousand)을 제외하면 모두 '-illion'으로 끝나며, 앞에 10³⁽ⁿ⁺¹⁾에서 n을 의미하는 라틴어 접두사를 붙인다.
• long scale
• 10⁶ⁿ을 'n-illion', 10⁶ⁿ⁺³을 'n-illard'로 부른다.

3.1.1.1. 화엄경 계열의 큰 수

• 대방광불화엄경에 등장하는 큰 수들이다.
• 수 생성 방식은 [math(10^{7\times2^{n}})]이다. 즉, 지수가 지수함수적으로 2배씩 커진다.
• 경전 해석에서 달라져 같은 이름이 다른 수로 받아들여지는 경우도 있으나, 실생활에서 이 정도로 큰 수들은 잘 쓰이지 않고, 종교적으로도 '인간의 인지 능력을 벗어난 경지를 뜻하기 위해 만든 수'로 받아들여지기 때문에, 자세한 수의 크기에는 큰 의미를 두지는 않는다.

3.1.2. 유한한 큰 수

3.2. 비공식적인 수

4. 무한

5. SI 접두어

6. 특이한 큰 수들

• [math( \aleph )] (Aleph)
  무한집합의 크기를 나타내는 수다. 자연수의 개수 = 유리수의 개수는 [math( \aleph_0 )](Aleph null)이며, 실수의 개수는 [math( 2^{\aleph_0} )]‎이다.[103] 좀 더 자세한 내용은 초한기수와 연속체 가설 문서 참조.

• 80,801,742,479,451,287,588,645,990,496,171,075,700,575,436,800,000,000
  약 80항하사. 몬스터 단순군(Monster Simple Group)의 위수. 수학 정리에 나오는 독립적인 수 중에서 가장 큰 수이다.

• 겁
  어마어마한 시간을 비유적으로 나타내는 단위. 자세한 건 문서 참조.

• 그레이엄 수
  해당 문서 참조. 그레이엄 수는 여전히 크지만 최근 연구로 인해 그레이엄 수 관련 문제의 새로운 상한선에 해당하는 소그레이엄 수(2↑↑↑6)가 나오면서 많이 작아졌다.[104]

• 스큐스 수
  그레이엄 수와 비슷한 경우다.

• 모우저

• [math(dfrac{x}{y+z} + dfrac{y}{z+x} + dfrac{z}{x+y} = 4)]의 자연수해의 최솟값[105]

• [math(text{TREE}(3))]
  그레이엄 수 보다 더 큰 수로 많이 알려진 수이다. 그나마 그레이엄 수보다 큰데도 수학적인 의미가 있다.

• [math(\text{SSCG}(3))], [math(\text{SCG}(13))]
  SSCG(Simple Subcubic graph)는 TREE 그래프와 달리 색칠을 하지 않는 그래프이며, 꼭 트리 형태의 그래프가 아니어도 된다. 이때 그래프를 순서대로 그려 나가며, [math(G_i)]는 최대 i+n개의 정점을 가질 수 있으며, 각 그래프에서 하나의 정점에는 3개의 간선이 연결될 수 있으며, 뒤의 그래프는 앞의 어떤 그래프도 포함해서는 안 된다. 이때 포함이라 함은 간선에 연결된 정점을 제거하거나, 같은 간선 사이에 연결된 정점을 통합할 수 있으면 포함 관계가 성립한다.[106] 이때 정점이 하나도 없는 empty graph를 포함하여 n값에 따라 그릴 수 있는 최대의 그래프 수를 SSCG(n)으로 부른다. SSCG(0)=2, SSCG(1)=5이며, SSCG(2)=12이다, SSCG(3)의 약한 하한은 fgh로 [math(f_{\psi(\Omega^{\Omega^{\omega^22}})}(10))] 정도이고,[107] 이는 TREE(3)의 추정치보다 더 큰 값이다. TREE(3)을 TREE(3)번 재귀하는 걸 TREE(3)번 반복한 것조차도 SSCG(3)에는 콧배기에도 얼씬거리기 못할 정도로 훨씬 더 큰 수다.[108] SSCG에서 조건을 완화시킨 SCG 함수도 존재하는데, SSCG에서 simple이 빠진 그냥 subcubic graph이고, 여기서는 SSCG와 달리 정점에 간선을 루프로 연결하는 것이 허용된다.[109] SCG(0)=1이며, SCG(1)=8이고, SCG(2)는 SVO를 넘어서며, TREE를 재귀로 넘어설 수 있을 정도로 커진다. 당연히 SCG(3)은 SSCG(3)보다 크며,[110] SCG(13)보다 SSCG(100)이 훨씬 크고 SCG(100)을 SCG(100)만큼 재귀한 값조차 BIGG보다는 훨씬 작고 {3,3,3/2}보다도 작으며 {3,3,2/2} 정도는 재귀로도 충분히 뛰어넘을 수 있다.[111] 게다가 계산 가능한 수이기 때문에 나중에는 바쁜 비버 함수와 같은 계산 불가능 함수한테도 초월당하게 된다.[112]
  참고로 TREE(n)의 경우 G(n)보다 성장률이 월등하지만 포컬, 하이퍼 그레이엄이 존재하는 G(n)과 달리 TREE(n)은 그렇지 않은 이유는 애초에 그 단계에서는 거의 제자리걸음일 뿐이다. 실제로도 SSCG(3)은 TREE 함수로 따라잡는 게 거의 불가능할 정도로 큼에도 불구하고 TREE(3) 바로 다음 단계의 수가 SSCG(3)일 정도로 크다. {3,3,3,3}은 이보다도 훨씬 크다. 절대 TREE 함수의 성장률이 낮은 게 아니다. 그럼에도 SSCG(n)은 TREE(n)보다 큰데도 불구하고 55만 해도 SCG(13)의 다음 단계로 넘어갈 수 있는 수준이니 성장률이 엄청나게 높은 셈이다. 하지만 SSCG(n), SCG(n) 둘 다 n의 값이 구골 이상으로 충분히 크다면 여전히 SCG(n) 쪽이 더 크긴 해도 서로의 크기 차이가 의미가 없어진다. 두 함수의 성장률의 한계는 BEAF로 대략 {n,n/2} 정도이며 {3,3,3/2}부터는 따라잡는 게 불가능해진다. SCG(n)보다 {n,3/2}의 값이 더 크다. 굳이 비교하자면 SCG^{SCG(SCG(100))}(10¹⁰⁰) 정도면 {10¹⁰⁰,10¹⁰⁰/2}보다는 약간 크며 {3,3,2/2} 정도로 추정된다. 물론 {3,3,3/2}보다는 어마어마하게 작다.

• 라요 수([math(\text{Rayo}(10^{100}))])
  라요 수의 크기가 얼마나 되는지 아는 사람은 아무도 없다. 애초에 현재로서는 크기가 fgh 등으로 근사되는 것은 타르인타르 정도까지이다.[113] 그 이상인 로더의 수부터는 수치가 아니라 어떤 재귀적 이론에서 대각선화되는지, 계산 가능성 유무에 따라 그 성장률을 예측할 뿐이다. 가령 바쁜 비버 함수 같은 계산 불가능한 함수는 계산 가능한 그 어떠한 함수보다 빨리 성장하다고 명시되어 있기 때문에 아무리 큰 수라도 유한한 계산 가능한 수라면 바쁜 비버 함수보다는 작다는 것을 알 수 있다.[114] 마찬가지로 라요 함수 역시 FOST(일차 집합론)로 구현 가능한 그 어떠한 함수보다 빨리 성장하다고 명시되어 있는 거나 마찬가지이기 때문에 바쁜 비버 함수는 물론, 고차 바쁜 비버 함수 더 나아가 무한시간 튜링 기계까지 압도한다는 것을 알 수 있다. 라요 수보다 큰 수인 피쉬 수 7, 거대수 정원수의 경우 피쉬 수 7은 고차 라요 함수를 사용하였기 때문에 당연히 라요 수보다 월등히 크고 거대수 정원수는 아예 고차 집합론을 뛰어넘은 일차이론의 개념을 사용하였기 때문에 라요 수는 물론 피쉬 수 7까지 압도한다는 사실을 알 수 있다.[115]

• co피쉬 수 7
  크기에 대한 오해가 많은 수이다. 당장 이 문서에서도 co피쉬 수 7과 거대수 저택수가 비슷한 크기인 것으로 적혀 있었지만 이는 완전히 사실과 다르다. 흔히 오해하는 게 바쁜 비버함수는 ZFC 공리계로 정의할 수 없는 수라고 생각하는데 BB(748) 이상의 값은 ZFC 공리계에서 알 수 없다는 것이지 바쁜 비버 함수 748의 값 자체는 잘 정의된 하나의 자연수이다. 제작자의 말에 따르면, co피쉬 수 7은 이렇게 ZFC 공리계에서 공식화할 수 있는 계산 불가능한 수 중 가장 큰 수에 해당한다. 따라서 바쁜 비버함수는 물론이고 고차 바쁜 비버 함수를 사용한 피쉬 수 4보다도 아득히 큰 수이다. 라요 수나 피쉬 수 7, 거대수 정원수는 ZFC 공리계에서 정의 내릴 수 없는 수이다.

• 최소 초월정수(Transcendental integer)
  TREE(3), SSCG(3), SCG(13)으로 유명한 Harvey Friedman이 만들어낸 엄청나게 큰 수이다.
  이 수의 정의는 최대 2¹⁰⁰⁰개의 기호로 ZFC 공리계에서 정지한다는 것을 증명할 수 있는 튜링 머신 m이 있다면 그 튜링 머신은 n단계에서 정지한다. 다시 말해 n은 2¹⁰⁰⁰개 이하의 기호로 ZFC 공리계 내에서 정지성을 증명할 수 있는 모든 튜링 머신의 정지시간보다 크거나 같다. 이때 n 이상의 모든 정수는 초월정수이며 n을 최소 초월 정수라고 한다.
  최소 초월정수부터 그 성장률이 ZFC의 증명서수일 것으로 예측된다. 그렇기 때문에 최소 초월정수부터 계산 가능한 가장 큰 클라스라고 볼 수 있다. 너무나 당연하게도 TarinTar와 같은 계산 가능한 수 중에서 최후반부에 있는 수들을 우주가 끝날 때까지 끝없이 재귀해도 티끌만큼도 도달하지 못할 것이다.[116]
  추가로 '최소'라는 단어 때문에 최대 초월정수도 생각날 수도 있다. 하지만 이는 최대공배수와 마찬가지로 아예 무한대이므로 의미가 없고 보통 초월정수라는 말도 유한한 값과 무한한 값의 중간값을 의미하므로 무한대에 2를 나누는 꼴이기에 역시 무한대이므로 의미가 없다. 설령 최댓값 역시 유한하다고 해도 중간 초월정수에 대해서는 문제가 발생하는데 애초에 이 단계에서 '중간'이라는 표현을 사용하는 것 자체가 부적절하다. 예를 들어 G(64)와 TREE(3)의 중간값은 아주 단순하게 보자면 (TREE(3)/2)+G(64) 정도인데 이 값은 애초에 이 단계에서는 TREE(3)의 값과 거의 같다. 차라리 A(100)의 값이 최소 초월정수이고 A(200)의 값이 최대 초월정수인 극도로 빠르게 증가하는 함수가 있다고 치면 A(150)의 값을 중간 초월정수로 정의하는 게 훨씬 합리적이다. n번째로 작은 초월정수도 생각해 볼 수 있는데 여기서 n의 값을 재귀한다고 해도 기존의 최소 초월정수에 2를 곱하는 것에 불과하기에 성장률이 아득하게 낮다. 애초에 곱하기는 거대수를 만들기 위한 이론 중에서 더하기 다음으로 하위 단계에 해당하기에 여기서 n을 재귀하면 수가 커질 수는 있어도 바로 전단계 수인 Y 수열 수에 1을 더하는 것만큼이나 의미없는 짓이다. 차라리 수의 정의를 2¹⁰⁰⁰+1로 정의하는 게 기존의 정의 그대로 둔 채 n번째로 작은 초월정수라며 n의 값을 우주가 끝날 때까지 재귀한 수보다 비교도 안 될 정도로 크다. BIGG와는 다르게 여기서 사용된 '초월'이라는 단어는 실제로 '초월적인 크기를 자랑한다'를 의미한다.

• 거대수 정원수(巨大数庭園数), (large number garden number)
  이 분야의 끝판왕. 앞예서 얘기했던 모든 유한한 수가, 이 수에 비교하면 0이나 다름 없다. 정의가 이것저것 복잡하지만, 이 수는 1차 우주 이론 U를 사용하는데, U(0)는 이전에 사용했던 지금까지 거대수를 만들기 위한 모든 이론들이 다 포함된다. 뭔가 중2병이 생각난다. 물론 크기를 생각해 보면 허세는 아니지만. 그렇게 되면 당연히 바로 전단계의 수인 피쉬 수 7에 사용된 이론으로 U(0)를 따라잡는 게 매우 어려워진다. 즉 U(1)은 이러한 U(0)으로 만들 수 있는 모든 이론을 초월한다. 사실 더 나아갈 거 없이 모든 거대수(계산 불가능한 수 포함)는 U(1)의 벽을 넘을 수가 없다. 그리고 U(2)는 U(1)에서 만들어질 수 있는 모든 이론을 다 초월한다... 최종적으로 U(e0)을 사용한 것이 거대수 정원수이다. 얼핏 보면 U 함수에 FGH에 사용된 함수를 이용하는 것만으로도 거대수 정원수에 도달할 수 있을 것 같으나 마냥 그렇지만은 않다. 함수는 [math(f^{10}(10↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑10))]인데 이 f 함수는 U 함수를 또다시 아득히 초월한다... 이 정도면 무한이 아닐까 생각이 들지만 분명히 유한한 수이기 때문에 이보다 큰 수 또한 무한히 존재한다. 다만 거대수 정원수에서 만든 개념이나 수의 크기 자체가 워낙 거대하기 때문에 이론상 거대수 정원수와도 비교 자체가 무의미한 유한한 수야 무한히 많지만 적어도 인간이 만든 수학 체계 내에서 만든 유한한 수라면 거대수 정원수보다 아무리 큰 수라도, 거대수 정원수의 성장률을 감안하면 제자리 걸음이나 마찬가지일 것이다.
  다만 U(0), U(10¹⁰⁰)같은 건 피쉬 수 7보다도 엄청나게 큰 건 사실이나 만든 사람이 따로 이름을 내지 않았다.

6.1. 인위적으로 창조된 큰 수

7. 외부 링크

• 큰 수들 텍사스 대학교 오스틴의 교수인 스콘 아론손의 글.

• 영어 이름의 경우 [math(1)]부터 [math({10}^{10000})]까지의 수 이름을 서술해놓은 사이트가 있다.

• 일본어를 이해할 수 있다면 이 페이지도 참고해 보자.

• 1부터 그레이엄 수까지 정리한 이 링크의 내용도 참고해 보도록 하자. 단, 스큐스 수가 상한이 떨어졌음에도 이 링크에서는 이 점이 반영되지 않았다는 점을 알고 가자.

• 구골플렉스 이후의 저 특이한 수들이 뭔지 궁금하면 Googology Wiki의 큰 수 목록으로 가보라. 큰 수란 큰 수는 모두 모아놨고 또 자세히 설명하고 있다. 위 표의 수들은 극히 일부만 가져온 것인데, 실제로는 20페이지 구성이며 분량도 엄청 많다.

• 인피니티 스크래퍼즈라고 Meameamealokkapoowa oompa까지의 큰 수 목록을 정의했던 글이 있다. 이 글이 작성된 시기는 2000년대 후반이었고 당시는 끽해야 그레이엄 수보다 큰 수 따위는 상상하지도 않던 때였다. 게다가 이제는 그보다도 더 큰 수들을 정의하면서 페이지를 추가로 갱신하여, 마침내 Oblivion 시스템으로 BIG FOOT까지 최종 등록한 듯하다. [120]

8. 관련 문서

• 수
• 수 단위
• 작은 수
• 큰 수의 법칙
• 테트레이션
• 과학적 표기법
• 커누스 윗화살표 표기법
• 콘웨이 연쇄 화살표 표기법
• fgh
• 서수(수학)
• 서수(수학)/큰 가산서수
• BEAF
• BAN
• 유효한 가장 큰 수
• 무한대
• E 표기법