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1. 개요2. 공리
2.1. 외연 공리(Axiom of Extensionality)2.2. 존재 공리(Axiom of Existence) 또는 공집합 공리(Axiom of the Empty Set)2.3. 분류 공리꼴(Axiom Schema of Specification 또는 Axiom Schema of Separation)2.4. 짝 공리(Axiom of Pairing)2.5. 합집합 공리(Axiom of the Union)2.6. 멱집합 공리(Axiom of the Power Set)2.7. 무한 공리(Axiom of Infinity)2.8. 기초 공리(Axiom of Foundation) 또는 정칙성 공리(Axiom of Regularity)2.9. 치환 공리꼴(Axiom Schema of Replacement)2.10. 선택 공리(Axiom of Choice)
3. 관련 문서1. 개요
공리계 중 하나이다. 20세기 초에 나온 러셀의 역설은 기존까지 쓰이던 집합론에 모순이 있음을 학계에 알린 계기가 되었다.따라서 수학 학계는 그 당시 집합을 완전성의 상징처럼 여겼던 전의 기조에서 벗어나서, 집합을 규정해야 할 필요가, 공리적 집합론을 도입해야 할 필요가 생기게 되었다. 이러한 배경 속에서 탄생한 것이 체르멜로(Zermelo) 공리계이다. 후에 프렝켈(Fraenkel)이 정칙성 공리와 치환 공리꼴을 추가한 것이 ZF 공리계이고, 이에 선택공리(Axiom of Choice)를 추가한 것이 ZFC 공리계이다.
무정의 용어(primitive notion)를 "집합"과 "포함관계([math(\in)])"로 두고, 간접적으로 집합이 가지는 성질을 제시하고 집합으로 다른 집합을 구성하는 것을 공리로 두고 있다. 무한 공리, 치환 공리꼴, 선택공리와 같은 몇몇 공리(특히 선택공리)는 수학 분야에서 다루는 정리들에 대한 공리화를 목적한다.
ZFC 공리계는 애매할 정도로 과도하게 광범위한 집합을 집합이라고 여기지 않는다. 역설을 발생시킬 수 있는 "너무 큰 집합"은 러셀의 역설을 발생시킬 수 있고, 따라서 '모든 것의 집합' 등을 집합이라고 할 수 없다는 것이다. '모든 서수의 집합'과 같은 "너무 큰 집합"에 대해서도 집합이라 할 수 없게 만든다. 이에 대한 자세한 내용은 분류 공리꼴 참조.
이 ZFC 공리계를 통해, 기존 집합론에서 논의되었던 집합 중 거의 모든 경우에 대해 계속 쓸 수 있게 되었고, 수많은 수학적 오브젝트에 대해 집합으로 보는 논의를 다시 진행할 수 있게 되었다.[1], 따라서 이 공리들로부터 자연수부터 실수 등 수 체계가 적절하게 정의되는 것을 비롯하여 수학의 거의 모든 이론이 구성될 수 있게 되었으며, 때문에 현대 수학의 표준적인 공리계로 사용된다.
한편, 집합론에서도 ZFC에 새로운 공리를 추가하여 확장시키는 연구가 계속되고 있다. 특히 선택공리나 (일반화)연속체 가설 등 ZF와 독립적인 여러 공리들을 포괄하기 위해 constructibility(구성 가능성)라는 개념을 공리로서 추가해야 한다고 주장하는 학자들도 있다. 그러나 구성 가능 공리는 정칙성 공리와 마찬가지로 집합을 구성하는 공리가 아니라 집합을 제약하는 공리이기 때문에 몇몇 수학적 발견을 폐기[2]해야 되는, 지나치게 강한 주장이기에 구성 가능 공리보다 약하면서도 연속체 가설을 함의하는 diamond principle에 관한 연구 등으로 이어진 사례가 많다. 심지어는 연속체 가설마저 마틴 공리로 약화시킨 뒤 그걸 강화해 연속체 가설의 부정을 내포하는 Proper Forcing Axiom, Martin's Maximum에 대한 연구 등도 활발하게 이루어졌기 때문에, 구성 가능 공리를 ZF공리계에 추가하자는 주장은 설득력을 크게 잃었다고 볼 수 있다.
2. 공리
ZFC는 다음 10개의 공리로 공리계를 이루고 있으나, 몇몇 공리가 다른 공리들로부터 유도되기 때문에 몇 개를 빼기도 한다. 일반적으로 존재 공리를 뺀 9개라고 하는 편이다. 그런데, 존재 공리 그 자체가 너무나 중요한 의미를 가지고 있고, ZFC가 아닌 다른 공리 체계에서는 이 공리가 필요하기 때문에 항상 같이 언급된다. 즉 존재 공리는 다른 공리들로부터 자명하게 도출될 수 있는 공리이기는 하나, 그렇게도 막연하게 생략하기에는 너무 중요한 공리라는 것이다.엄격하게는, 아래의 분류 공리꼴과 치환 공리꼴로 인해 무한히 많은 문장으로 이루어진 공리계가 된다. 1961년 Richard Montague는 ZFC 공리계가 유한한 명제로 구성할 수 없음을 증명하였다.
2.1. 외연 공리(Axiom of Extensionality)
두 임의의 집합에 대하여 임의의 원소가 한 집합의 원소일 때 다른 집합의 원소가 되고[3] 그 역도 성립할 때,[4] 두 집합을 같다고 정의한다.
[math( \forall X \forall Y \left(\forall a \left( a \in X \Leftrightarrow a \in Y\right) \Rightarrow X=Y\right) )]
[math( \forall X \forall Y \left(\forall a \left( a \in X \Leftrightarrow a \in Y\right) \Rightarrow X=Y\right) )]
두 집합의 모든 원소가 같다면 두 집합은 같다는 것이다.[5] 이로부터, 공집합과 아래에 나오는 많은 집합(합집합, 멱집합 등등...)의 유일성을 보이고, 거기에 이름을 붙일 수 있다. Extension은 확장이 아니라 외연(반대개념은 내포)을 뜻한다. 즉 집합은 그 집합이 가지는 성질(내포)에 의해서가 아니라 집합의 원소(외연)에 의해서 구별된다는 것이다.
수많은 수학의 이론들이 동치관계를 굉장히 중요시하는 것을 볼 때, 중요한 공리라고 할 수 있다.
2.2. 존재 공리(Axiom of Existence) 또는 공집합 공리(Axiom of the Empty Set)
공집합이 존재한다.
[math( \exists X \forall a \,\ \left( \lnot \left(a\in X\right)\right) )]
[math( \exists X \forall a \,\ \left( \lnot \left(a\in X\right)\right) )]
간단하게, 공집합이 존재한다는 공리이다.
현재 이 공리를 보고 꽤 놀라워하는 사람이 있을 것이다. 아마 가장 큰 이유는 ZFC 공리계를 다룬 많은 교과서에서 이 공리가 없기 때문일 것이고, 따라서 이렇게 기본적인 공리가 왜 빠져 있었는지 궁금해 할 사람이 있을 것이다. 많은 수학자들이 이 공리를 제외한 이유는 다음과 같다.
먼저 이 공리가 ZFC 공리계에서 무한 공리와 분류 공리꼴로부터 유도[6]될 수 있기 때문이다. 주류 수학 학계에서 되도록이면 공리를 줄이는 것을 선호하기 때문에 존재 공리를 제외한 것이다. 이것은 직관주의자들에게 비판을 받는다. 직관주의자들은 공집합이라는 집합을 유도하기 위해, 무한 공리 덕분에 존재하는 집합 [math(I)]을 사용한다는 것이 이상하다고 볼 것이기 때문. 직관주의자 중 유한주의자라면 무한 공리를 부정할 것이기에 말할 것도 없고.
논쟁이 되는 경우는 다른 곳에도 있다. 루트비히 비트겐슈타인의 tautology를 이용한다면, 1차 논리 내에서 집합을 "유도"해낼 수 있음을 통해 공집합을 "만들어낼 수 있기" 때문이다... 엄밀히 말하자면, 1차 논리 내에서 [math( \exists x \left(x = x\right) )] 이라는 "정체불명의 무언가"를 이끌어낼 수 있다. 여기에 집합론을 밀어넣으면 "집합이 존재한다" 라는 명제라고 할 수 있다. 이곳에서 분류 공리꼴을 써서 공집합을 만들어내는 정리가 가능하다.[7] 이것에 대해서 비판받는 점이 있다. 일단 이것을 empty set을 만드는 과정이라고 하기 뭐하기 때문에(...) 차라리 공리라고 하자는 논리학자들이 있다는 점도 있다. 하지만 중요한 것은 tautology에서의 진리치 여부가 분석철학 내에서 논쟁 중이라는 것[8] 때문에 이렇게 공집합을 만드는 것에 대해서도 같이 진리치 관련 논란이 생겨난다는 점이 있다.
마지막으로 이 공리에 대한 콰인의 접근을 예로 들 수 있다. 이 공리는 "공집합이 존재한다"는 것을 뜻하는데, 이와 같은 명제에 대해, 콰인은 "그러면 집합은 무엇인가?" 나 "그러면 포함관계는 무엇인가?" 와 같은 무정의 용어로 답해줄 수 없는 것에서 모자라서 분석성과 동의성으로 논란이 되는 명제를 생성을 하게 된다고 보았다. 또한, 이 공리의 접근은 콰인이 기존 존재론을 비판하는 글에서 수리철학을 도입할 때 사용하던 방식과 차이를 두게 될 것이다.
요약하면 다음과 같다. 써도 되고 안 써도 좋다. 하지만 수학자들은 이 공리로 기존 수학의 정리를 정당화할 수 있기는커녕, 아예 다른 공리에서 유도가 될 뿐만 아니라, 수리논리적으로 논의를 해야 할 부분이 커지므로 생략을 하는 경우가 많은 것이다.
2.3. 분류 공리꼴(Axiom Schema of Specification 또는 Axiom Schema of Separation)
임의의 집합에 대해, 그 집합에 포함되며 특정 성질을 만족하는 원소들의 집합이 존재한다.
[math( P\left(a\right))]가 [math( a)] 의 성질이라 할 때, [math( \forall X \exists Y \forall a \left(a\in Y \Leftrightarrow \left(a\in X \land P\left(a\right)\right)\right) )]
[math( P\left(a\right))]가 [math( a)] 의 성질이라 할 때, [math( \forall X \exists Y \forall a \left(a\in Y \Leftrightarrow \left(a\in X \land P\left(a\right)\right)\right) )]
집합이 주어져있으면, 거기서 특정 성질을 만족하는 원소들만 모아놓은 집합이 존재한다는 것. 쉽게 말하자면 [math( Z=\left\{\cdots,-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,\cdots\right\} )]에서 [math( \left\{ x\in Z | x>0 \right\} = \left\{1, 2, 3, 4, \cdots \right\} )]를 만들듯이 부분집합을 만들 수 있다는 것이다. 외연 공리에 따라 이러한 부분집합은 유일하게 존재한다. 또한 이 공리로부터 교집합도 만들 수 있다. ([math( A\cap B = \left\{x\in A | x\in B \right\} )])
여기서 특정 성질을 만족하는 원소들을 모아놓은 집합이 그냥 존재하는 것이 아니라, 굳이 이미 존재하는 집합의 부분집합으로 한정하는 이유는 러셀의 역설 때문이다. [math( A= \left\{x | x \notin x \right\} )]와 같이 정의해버리면 러셀의 역설과 같은 일이 발생하기 때문이다. 자세한 것은 해당 문서 참고.
러셀의 역설을 막는다는 점 때문에 제르멜로, 프랑켈에 더불어 괴델까지 이 공리를 굉장히 중요하다고 평가했지만...
공리(Axiom)가 아니라 공리꼴(Axiom schema)인 이유는 서로 다른 성질 [math( P\left(x\right) )]마다 공리가 다르다고 봐야 하기 때문이다. ZFC는 1차 논리로 기술되는데, 1차 논리는 2차 논리와 달리 술어 [math( P )]에 양화사를 적용할 수 없다.
2.4. 짝 공리(Axiom of Pairing)
임의의 두 집합에 대해, 그 두 집합을 원소로 가지는 집합이 존재한다.
[math( \forall a \forall b \exists X \left(a\in X \,\ \land \,\ b\in X\right) )]
[math( \forall a \forall b \exists X \left(a\in X \,\ \land \,\ b\in X\right) )]
집합 [math( A, B )] 가 있으면 그 둘을 원소로 가지는 집합 [math( \left\{A, B\right\} )] 등이 존재한다는 공리이다. 이 때 집합이 꼭 [math( \left\{A, B\right\})] 가 아니라 [math( \left\{A, B, C, D,\cdots\right\})]같은 것일 수도 있지만, 위의 분류 공리꼴로 [math( \left\{A, B\right\})]도 집합임을 보일 수 있으니 상관 없다.
거의 누구도 이 공리에 대해서 비판을 제시하지 않고, 이것과 사실상 동치인 명제가 다른 공리계에서도 나오지만, ZFC 공리계에서는 치환 공리꼴과 무한 공리-분류 공리꼴, 혹은 치환 공리꼴과 존재 공리-멱집합 공리로부터 유도될 수 있다.[9]
2.5. 합집합 공리(Axiom of the Union)
임의의 집합에 대해, 그 집합의 원소들의 원소들을 원소로 가지는 집합이 존재한다.
[math( \forall X \exists U \forall a\left(\exists b\left(b\in X \,\ \land \,\ a\in b\right) \Rightarrow a\in U\right))]
[math( \forall X \exists U \forall a\left(\exists b\left(b\in X \,\ \land \,\ a\in b\right) \Rightarrow a\in U\right))]
합집합에 관한 공리이지만, 흔히 생각하는 합집합([math( A\cup B)] 같은)과는 다르다. 여기서 말하는 [math( A )]의 합집합으로서의 [math( U )]는, [math( A )]의 원소들의 원소들을 다 모아놓은 집합이다. 즉, [math( A = \left\{A_1, A_2, A_3,\cdots\right\} )]라 하면, [math( U = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots)] 가 되는 셈. 이렇게 만들어진 집합 [math( U )]를 [math( \bigcup A )] 라 쓴다. [10]
이 합집합 공리와 짝 공리를 통해 우리가 알고 있는 합집합([math( A\cup B)])이 집합임을 알 수 있다[11].
2.6. 멱집합 공리(Axiom of the Power Set)
임의의 집합에 대해, 그 집합의 부분집합들을 원소로 가지는 집합이 존재한다.
[math( \forall X \exists P \forall Y\left(\forall a\left(a\in Y \Rightarrow a\in X\right) \Rightarrow Y\in P\right) )][12]
[math( \forall X \exists P \forall Y\left(\forall a\left(a\in Y \Rightarrow a\in X\right) \Rightarrow Y\in P\right) )][12]
임의의 집합 [math( X )]에 대해, [math( X )]의 부분집합들을 다 모아놓은 집합인 멱집합 [math(\mathcal{P}(X))] 가 존재한다는 공리이다. 예컨대 [math( X = \left\{0, 2\right\} )]라면 [math( \mathcal{P}(X) = \left\{\emptyset, \left\{0\right\}, \left\{2\right\}, \left\{0, 2\right\}\right\} )]가 된다.
2.7. 무한 공리(Axiom of Infinity)
공리에 앞서 정의가 하나 필요하다.임의의 집합 [math( x )] 에 대해, [math( S\left(x\right) )][13]를 [math( x \cup \left\{x\right\} )] 라고 정의한다.
즉, [math( S\left(\left\{1, 2\right\}\right) = \left\{1, 2\right\} \cup \left\{\left\{1, 2\right\}\right\} = \left\{1, 2, \left\{1, 2\right\}\right\}, S\left(\emptyset\right) = \left\{ \emptyset \right\}, S\left(\left\{ \emptyset \right\} \right) = \left\{ \emptyset, \left\{ \emptyset \right\} \right\} \cdots)]와 같다.공집합을 원소로 가지고, [math(x)]를 원소로 가진다면 [math(S\left(x\right))]도 항상 원소로 가지는 집합[math(I)]가 존재한다.
[math(\exists I \left(\emptyset \in I \land \left(\forall x\left(x\in I \Rightarrow S\left(x\right)\in I\right)\right)\right) )]
[math(\exists I \left(\emptyset \in I \land \left(\forall x\left(x\in I \Rightarrow S\left(x\right)\in I\right)\right)\right) )]
비형식적 언어 없이도 쓸 수 있다.
[math(\exists I, \exists X(X\in I\wedge \forall x,\neg x\in X)\wedge\forall Y,Y\in I\Rightarrow\exists Z,Z\in I\wedge \forall y,y\in Z\Leftrightarrow (y \in Y\vee \forall z(z\in y\Leftrightarrow z=Y)))]
공집합과, 공집합의 successor, 공집합의 successor의 successor, ....과 같이 만들어지는 모든 집합을 원소로 가지는 집합이 존재한다는 공리이다. 즉 0을 원소로 가지고 successor 연산에 대해 닫혀 있는 집합이 존재하고, 따라서 이러한 집합은 무한 개의 원소를 갖게 된다. 지금까지의 공리로는 아무리 만들어봤자 유한 개의 원소를 가지는 집합밖에 만들 수 없었으니, 자연수나 실수 같은 체계를 만들려면 이 공리가 필요한 셈.
그런데 자연수 문서의 '자연수 구성하기' 단락을 보면 알겠지만 공집합을 0으로 정의하고, [math(0)]의 successor를 [math(1)], [math(1)]의 successor를 [math(2)], [math(2)]의 successor를 [math(3)]....과 같이 정의한다. 즉, 이 집합은 결국 [math(0)], [math(1)], [math(2)], [math(3)]....을 원소로 가지는 것이므로, 이 공리는 결국 자연수 집합의 존재성을 보장하는 셈이 된다. 실제로 자연수의 집합 [math( N )]은 이러한 성질을 만족하는 집합[14]들 중 가장 크기가 작은 집합[15]으로 정의된다. 수학적 귀납법의 타당성도 이러한 자연수 집합의 정의로부터 바로 유도된다.
2.8. 기초 공리(Axiom of Foundation) 또는 정칙성 공리(Axiom of Regularity)
공집합이 아닌 모든 집합은 자신과 서로소인 원소를 가진다.
[math( \forall X \left(\exists a\left(a \in X\right) \Rightarrow \left(\exists b \left(b \in X \,\ \land \,\ \lnot \,\ \exists c \left(c \in b \,\land c \in X\right)\right)\right)\right))]
[math( \forall X \left(\exists a\left(a \in X\right) \Rightarrow \left(\exists b \left(b \in X \,\ \land \,\ \lnot \,\ \exists c \left(c \in b \,\land c \in X\right)\right)\right)\right))]
집합이 원소를 하나라도 가진다면 자신과 서로소인(교집합이 공집합인) 원소를 가진다는 공리이다. 처음 볼 때는 이 공리가 왜 필요한지, 무슨 의미인지 파악하기 어려울 수 있지만, 많은 유용한 결과들을 함의한다. 이 공리에 따라 자기 자신만을 포함하는 집합이나 재귀적인 집합(즉, [math(A=\left\{A\right\})] 또는 [math(A=\left\{B\right\})], [math(B=\left\{A\right\})] 따위)은 존재할 수가 없다.
또한 모든 집합은 공집합의 멱집합, 공집합의 멱집합의 멱집합, 공집합의 멱집합의 멱집합의 멱집합...과 같은 식으로 만들어진 집합(이러한 집합들을 모두 모아놓은 것을 폰 노이만 전체라고 한다)들 중 하나에 속한다는 것을 보일 수 있다. 쉽게 말하면 아무 집합이나 가져다 놔도 그것의 원소, 원소의 원소...이런 방식으로 계속 내려가면 공집합이 나온다는 것이다. 역으로 모든 집합들은 공집합에 원소를 하나씩 추가해 나가면서 다시 만들 수 있으며, 따라서 모든 집합들의 모임이 폰 노이만 전체와 같다는 것을 보일 수 있다. 실제로 집합론에서 ZFC 공리계를 차용할 때 나오는 자연수, 실수, 함수 등등의 모든 오브젝트들이 다 이러한 꼴이다.
2.9. 치환 공리꼴(Axiom Schema of Replacement)
임의의 집합 [math(A)]에 대하여, 모든 [math( x\in A)]에 대해 관계 [math( \phi\left(x, y\right) )]를 만족시키는 [math( y)]가 유일하게 존재하면,[16]
[math(A)]의 [math( \phi\left(x, y\right) )]에 의한 상을 포함하는 집합이 존재한다.
[math(\forall A\left[\forall x\in A \exists !y \phi\left(x, y\right) \Rightarrow \exists Y\forall x\in A\exists y\in Y \phi\left(x, y\right)\right])][17]
[math(A)]의 [math( \phi\left(x, y\right) )]에 의한 상을 포함하는 집합이 존재한다.
[math(\forall A\left[\forall x\in A \exists !y \phi\left(x, y\right) \Rightarrow \exists Y\forall x\in A\exists y\in Y \phi\left(x, y\right)\right])][17]
이 공리의 전건부는 모든 각 [math( x\in A)]에 대해 [math( \phi\left(x, y\right) )]를 만족하는 [math( y)]가 유일하게 존재한다는 것을 말한다. 후건부는 [math( A )]의 원소들에 대응되는 원소들, 정확히는 각 [math(x\in A)]마다 유일하게 존재하는 [math(y)]을 모두 포함하는 집합 [math(Y)]가 존재한다는 것이다. 이 때 [math( A)]와 [math( Y)] 사이에는 일대일 대응이 존재할 이유가 없음에 유의하자.
이 공리를 이용하여, 모든 '정렬가능 집합'에 대해 그 집합과 크기가 같은 서수가 유일하게 존재한다는 것을 증명할 수 있다.
공리(Axiom)가 아니라 공리꼴(Axiom Schema)인 이유는 서로 다른 관계 [math( \phi\left(x,y\right) )]마다 공리가 다르다고 봐야 하기 때문이다. ZFC는 1차 논리로 기술되는데, 1차 논리는 2차 논리와 달리 술어 [math( \phi )]에 양화사를 적용할 수 없다.
2.10. 선택 공리(Axiom of Choice)
공집합을 포함하지 않는 임의의 집합[18]에 대해, 그 집합의 원소들로부터 원소를 하나씩 고를 수 있다.
[math( \forall S \,\ \left[\left(\emptyset \notin S\right) \Rightarrow \left(\exists f \in \left(\bigcup S\right)^S \, \forall A \in S \, \left(f\left(A\right) \in A\right)\right)\right])]
[math( \forall S \,\ \left[\left(\emptyset \notin S\right) \Rightarrow \left(\exists f \in \left(\bigcup S\right)^S \, \forall A \in S \, \left(f\left(A\right) \in A\right)\right)\right])]
선택 공리는 Zorn's Lemma, 정렬 가능성 정리와 동치이다. 정렬 가능성 정리는 '모든 집합은 정렬 가능하다'라는 내용이므로, 위의 치환 공리꼴의 결과와 함께 '모든 집합에 대해 그 집합과 크기가 같은 서수가 유일하게 존재한다'를 증명할 수 있다. 즉, 집합의 크기를 정의할 수 있다. 초한기수 문서 참조.
또한, 선택 공리는 ZF 공리와 독립적인 공리이기 때문에, 부정되더라도 ZF 공리계 그 자체에는 영향을 주지 않는다.
NBG 공리계[19]에서는 선택공리 대신에 전역 선택 공리(Axiom of Global Choice)라는 보다 강력한 공리를 채택한다.
3. 관련 문서
[1] 평소에 그냥 집합이 아니라 그냥 원소라고 생각하던 0, 1, 심지어 더하기나 곱하기 등의 함수마저 집합으로서 정의된다.[2] 구성 가능 공리를 가정할 경우, 당장 [math( 0#)]과 [math( 0#)]보다 강한 large cardinal의 존재를 부정하게 된다.[3] 이 경우가 우리가 잘 아는 부분집합([math(X \subset Y)])의 정의이다.[4] 다시 말해, [math(X \subset Y)]이고 [math(Y \subset X)]일 때.[5] 지금 이 명제는 소박한 집합론(naive set theory, 중/고등학교 교육과정에서의 집합을 생각하면 편하다)에서 실제 정의이던 것이지만, ZFC 공리계에선 어느 집합의 원소도 그 자체로 집합이기 때문에 이러한 진술은 순환논법이 된다.[6] 간단히 생각해 분류공리의 [math(Y)] 자리에 [math(\lnot X)]를 대입해보자.[7] 여기서 외연 공리를 사용하여 유일성을 증명할 수 있어서 [math( \emptyset )] 라는 기호를 쓸 수 있게 할 수 있다.[8] tautology에서 true는 논리적이지 않다.[9] 직접 유도해보면 치환 공리꼴이 꽤나 강력하다는 것을 알 수 있다...[10] 합집합 공리에서도 짝 공리와 마찬가지로, 존재하는 합집합이 우리가 원하는 합집합보다 더 클 수도 있지만(즉, [math( U )]가 [math( A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots)]보다 더 클 수도 있지만), 분류 공리꼴을 통해 우리가 원하는 크기로 줄일 수 있으므로 상관 없다.[11] 집합 [math( A, B )] 가 있으면 짝 공리에 의해 [math( \left\{A, B\right\} )]가 존재한다. 또, 합집합 공리에 의해 [math( \bigcup\left\{A, B\right\} = A\cup B)]가 존재한다.[12] 중간의 [math(\forall a\left(a\in Y \Rightarrow a\in X\right))]는 [math( Y \subseteq X )]로 이해하면 편하다. 왜 저렇게 써 넣었냐면, [math(Y \subseteq X)]는 공리계의 언어로 사용되지 않는 비형식 언어이기 때문.[13] [math( x )]의 successor, 즉 후임자 또는 따름수라고 한다.[14] 귀납적 집합(inductive set)이라 한다.[15] 어떤 성질을 만족하는 집합들의 교집합도 그 성질을 만족한다면, 그 교집합이 그러한 성질을 만족하는 집합들 중 가장 작은 집합이라 할 수 있을 것이다.[16] 함수 관계를 생각하면 편하다.[17] 엄밀하게는 [math(\phi)]가 다른 변수를 free variables로 가질수도 있으므로 위 식의 universal closure를 취해야 한다.[18] 집합들의 집합으로 이해하는 것이 편하다.[19] 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합공리계