1. 개요
Borel-Cantelli Lemma확률론에서 보렐-칸텔리 보조정리는 일련의 사건들 가운데 무한 개가 일어날 확률이 0일 충분조건과 1일 충분조건을 제시하는 정리이다. 이 정리를 처음 제시한 에밀 보렐(Félix Édouard Justin Émile Borel)과 프란체스코 파올로 칸텔리(Francesco Paolo Cantelli)의 이름을 따서 지어졌다.
2. 정의
보렐-칸텔리 보조정리는 (제1) 보렐-칸텔리 보조정리((first)Borel-Cantelli lemma)와 제2 보렐-칸텔리 보조정리(second Borel-Cantelli lemma)로 나뉜다.확률공간 [math((\Omega, \mathcal{F}, P))]에서 [math(E_1, E_2, \ldots, E_n, \ldots)]가 사건의 수열이라고 하자. 이때, 보렐-칸텔리 보조정리는 다음과 같다:
(제1) 보렐-칸텔리 보조정리
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty P(E_n)<\infty)]이면 [math(\displaystyle P(\limsup_{n\rightarrow \infty} E_n)=0)]}}}{{{#!wiki style="text-align: center"
제2 보렐-칸텔리 보조정리
{{{#!wiki style="text-align: center"
사건 [math(E_n)]들이 모두 독립이고 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty P(E_n)=\infty )] 이면 [math( \displaystyle P(\limsup_{n\rightarrow \infty} E_n)=1 )]}}}{{{#!wiki style="text-align: center"
여기서 "limsup"은 집합에서의 상극한(limit supremum)을 의미한다. 즉, [math((E_n))]이 무한번 일어나는 사건들을 모아 놓은 집합이다. 수식적으로는 다음과 같이 엄밀하게 정의된다.
[math(\displaystyle \limsup_{n\rightarrow \infty} E_n=\bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k=n}^\infty E_k)]
집합 [math(\limsup_{n\rightarrow \infty}E_n)] 은 가끔 [math(\{ E_n\, \text{i.o.}\})]로 표기되기도 하는데 여기서 "i.o."는 "infinitely often"을 나타낸다.