역함수

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대표적인 역함수 관계인 [math(boldsymbol{y = a^x})]과 [math(boldsymbol{y = log_a x})]

1. 개요2. 엄밀한 정의3. 성질4. 도출5. 역함수의 예6. 역함수의 미분7. 역함수의 적분8. 기타

1. 개요

逆函數 / inverse function

어떤 함수의 정의역과 치역[1] 사이의 대응 관계를 거꾸로 한 함수를 말한다. 함수 [math(f: X \to Y)]가 전단사(일대일대응)이면 그 역함수 [math(f^{-1}: Y \to X)]를 생각할 수 있는데, 이는 집합 [math(Y)]의 원소 [math(y)]에 대해 [math(f(x) = y)]인 유일하게 존재하는 [math(x)]를 대응시키는 것이다. 즉,

[math(f(x) = y \iff f^{-1}(y) = x)]

이고, 함수의 정의 때문에 이는 [math(f)]가 전단사일 때밖에 생각할 수 없다. 전단사가 아닌 함수는 조각적 정의나 복소해석학에 기반한 해석적 확장 [2] 등을 사용해야 한다.

2. 엄밀한 정의

집합 [math(X, Y)]에 대해 함수 [math(f: X \to Y)]는

[math(\displaystyle \forall x \in X \quad \exists! y \in Y \quad (x, y) \in f)]

을 만족하는 이항 관계 [math(f \subseteq X \times Y)]로 정의된다.[3] 이에 대해 [math(f)]의 각 원소의 순서만 바꾼 역관계 [math(f^\top \subseteq Y \times X)]를 생각할 수 있다. 이것이 함수의 조건을 만족하면, 즉

[math(\displaystyle \forall y \in Y \quad \exists! x \in X \quad (y, x) \in f^\top)]

을 만족하면 이를 [math(f)]의 역함수라고 하고 [math(f^{-1})]로 적는다.

앞에서 [math(f)]의 역함수가 존재하기 위한 조건은

[math(\displaystyle \forall y \in Y \quad \exists! x \in X \quad (x, y) \in f)]

임을 알 수 있다. 그런데 임의의 [math(y \in Y)]에 대해 [math((x, y) \in f)]인, 즉 [math(f(x) = y)]인 [math(x \in X)]가 존재하는 함수를 전사 함수라고 하고, 임의의 [math(y \in Y)]에 대해 [math((x, y) \in f)]인 [math(x \in X)]가 존재하면 유일한 함수를 단사 함수라고 한다. 따라서 [math(f)]의 역함수가 존재할 필요충분조건은 [math(f)]가 전단사인 것이다.

이제 역함수를 다른 관점으로 정의하자. 전단사 함수 [math(f: X \to Y)]와 이의 역함수 [math(f^{-1}: Y \to X)]에 대해 다음이 성립한다.

[math(f(x) = y)]인 임의의 [math(x \in X, y \in Y)]에 대해, [math((x, y) \in f)]에서 [math((y, x) \in f^{-1})], 즉 [math(f^{-1}(y) = x)]이므로 [math(f^{-1}(f(x)) = x)]이다. 따라서 [math(f^{-1} \circ f)]는 [math(X)]의 항등 함수이다.
[math(f^{-1}(y) = x)]인 임의의 [math(x \in X, y \in Y)]에 대해, [math((y, x) \in f^{-1})]에서 [math((x, y) \in f)], 즉 [math(f(x) = y)]이므로 [math(f\bigl( f^{-1}(y) \bigr) = y)]이다. 따라서 [math(f \circ f^{-1})]은 [math(Y)]의 항등 함수이다.

이제 이의 역이 성립함을 보인다. 함수 [math(f: X \to Y, g: Y \to X)]에 대해 [math(g \circ f)]는 [math(X)]의 항등 함수이고 [math(f \circ g)]는 [math(Y)]의 항등 함수라고 가정하자. 그러면 임의의 [math((x, y) \in f)]에 대해 [math(f(x) = y)]에서

[math(\displaystyle g(y) = g(f(x)) = x)]

이므로 [math((y, x) \in g)]이다. 또한 임의의 [math((y, x) \in g)]에 대해 [math(g(y) = x)]에서

[math(\displaystyle f(x) = f(g(y)) = y)]

이므로 [math((x, y) \in f)]이다. 따라서 [math(g)]는 [math(f)]의 역관계이다. 또한 [math(g)]는 함수이므로 [math(f)]의 역함수이다.

따라서 함수 [math(f: X \to Y)]의 역함수를

‘[math(f^{-1} \circ f)]는 [math(X)]의 항등 함수이고 [math(f \circ f^{-1})]는 [math(Y)]의 항등 함수인 함수 [math(f^{-1}: Y \to X)]’

로 정의해도 상관없다. 오히려 역함수를 이렇게 정의하면 정의에서 집합의 원소 등의 개념을 사용하지 않았으므로, 범주론에서 함수를 일반화한 개념인 사상에 대해서도 같은 방식으로 역사상을 정의할 수 있다. 그래서 일반적으로는 이를 역함수의 정의로 사용한다.[4]

3. 성질

역함수가 존재하는 함수 [math(f: X \to Y)]와 그 역함수 [math(f^{-1}: Y\to X)]에 대하여 다음이 성립한다.

본 함수와 역함수의 합성

[math(f \circ f^{-1})]는 [math(Y)]에서의 항등함수이다.
[math(f^{-1} \circ f)]는 [math(X)]에서의 항등함수이다.[5]
[math(f)]의 정의역과 공역이 실수 전체 집합이면, [math(f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = \operatorname{id}_\R)] (단, [math(\operatorname{id}_\R)]는 항등함수)
[math(f \circ f = f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f^{-1})]인 함수는 대합(involution)이다.

역함수의 그래프 [math(\boldsymbol{y = f^{-1}(x)})]의 그래프는 본 함수 [math(\boldsymbol{y = f(x)})]와 [math(boldsymbol{y = x})]에 대하여 대칭이다.

이는 본 함수의 그래프가 [math((x, f(x)))]를 지나면, 역함수는 정의에 의하여 [math((f(x), x))]를 지나기 때문이다.
본 함수가 미분 가능한 함수이고 그 도함수의 함숫값이 [math(0)]인 점이 있을 경우, 역함수의 도함수에서 대응점은 특이점이 된다.

연속함수의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점

증가하는 연속함수의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점이 존재하면 그 점은 [math(y = x)] 위에 있다.
감소하는 연속함수의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점의 개수는 홀수이며, 항상 [math(y = x)] 위의 교점을 하나 가진다.

4. 도출

역함수는 [math(y = x)]에 대칭이기 때문에, 다음과 같은 방법으로 역함수를 도출할 수 있다.

#!wiki
 1. 본 함수의 [math(x)], [math(y)]의 자리를 바꾼다.
 1. 1의 식에서 다시 [math(y)]를 [math(x)]에 대한 식으로 정리한다.[* 순서를 바꿔서 [math(x)]를 [math(y)]에 관한 식으로 정리한 다음 [math(x)]와 [math(y)]를 바꿔도 된다.]

예시 1. [math(y = 3 x + 1)]의 역함수

[math(x = 3 y + 1)]}}}

1의 식에서 다시 [math(y)]를 [math(x)]에 대한 식으로 표현함으로써 역함수를 얻는다. {{{#!wiki style="text-align:center; margin:0.5em;"

[math(\displaystyle \begin{aligned} & \implies 3 y = x - 1 \\ & \implies \boldsymbol{y = \frac{x - 1}{3}} \end{aligned})]}}}

예시 2. [math(y = \mathrm{e}^{x - 4})]의 역함수(단, [math(\mathrm{e})]는 자연로그의 밑)

[math(x = \mathrm{e}^{y - 4})]}}}

1의 식에서 다시 [math(y)]를 [math(x)]에 대한 식으로 표현함으로써 역함수를 얻는다. {{{#!wiki style="text-align:center; margin:0.5em;"

[math(\displaystyle \begin{aligned} & \implies \ln x = \ln \mathrm{e}^{y - 4} = y - 4 \\ & \implies \boldsymbol{y = \ln x + 4} \end{aligned})]}}}

5. 역함수의 예

[math(x)]가 곱해진 지수함수 ↔ 람베르트 [math(W)] 함수

6. 역함수의 미분

자세한 내용은 역함수 정리 문서

#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를

#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[역함수 정리#s-|]]번 문단을

#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[역함수 정리#|]] 부분을

참고하십시오.

7. 역함수의 적분

역함수의 부정적분(역도함수)은 치환적분과 부분적분을 이용해 그 공식을 도출할 수 있다. [math(y = f(x))]의 역함수 [math(x = f^{-1}(y))]가 잘 정의되고 [math(F)]가 [math(f)]의 부정적분일 때, 아래와 같은 식이 도출된다.

[math(\displaystyle \int f^{-1}(y) \mathrm{d}y = y f^{-1}(y) - \bigl( F \circ f^{-1} \bigr)(y) + \mathsf{const.})]

하지만 공식이 위와 같이 도출된다고 하더라도 실제로 적용하면, 원본 함수 대비 비교가 되지 않는 난도를 자랑한다. 가령 삼각함수와 지수함수는 부분적분에서 LIATE 법칙의 오른쪽(적분 우선)에 속하는 반면 그 역함수인 역삼각함수와 로그함수는 왼쪽(미분 우선)이다. 심지어 람베르트 [math(W)] 함수 같은 경우 LIATE 밖의 함수답게 로그함수 적분을 따위로 만들 정도의 까다로움을 자랑한다.

정적분의 경우는 해석기하학적 방법을 이용할 수도 있다.

8. 기타

북한에서는 역함수를 '거꿀함수'라고 한다.[8]

[1] 역함수가 정의될려면 치역과 공역이 같아야한다.[2] 가령 [math(\sin)]의 역함수인 [math(\arcsin)]의 경우 [math(|x| > 1)]인 실수 영역에서는 [math(\dfrac{\pi}{2} \operatorname{sgn}(x) + i k)](단, [math(k \in \R \setminus \{ 0 \})])꼴로 함숫값을 표현한다.[3] 정확히는 정의역과 공역의 정보를 포함한 [math((X, Y, f))]의 꼴로 정의된다.[4] 참고로 전단사 함수를 역함수가 존재하는 함수로 정의하지는 않는다. 범주론에서는 전단사 사상이 역사상을 가지지 않을 수 있기 때문이다. 범주론의 관점에서 전단사 함수가 항상 역함수를 가지는 것은 특별한 경우라고 할 수 있다.[5] 앞 문단에서 서술했듯 이 두 가지를 역함수의 정의로 사용하기도 한다.[6] 정의역과 치역에 유의[7] 범'함수'로서의 역함수 관계. 이는 따로 견인(pullback)이라고 칭한다.[8] 김홍종 교수가 지은 『미적분학 1』 제3개정판 88쪽에는 "역함수를 거꿀함수라고 부르는 이가 북쪽에 있다." 라는 각주가 달려있다.

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