상위 문서: 도함수
1. 개요
二階導函數 / second order derivative도함수의 도함수이다. 즉, 도함수를 한 번 더 미분한 결과이다. 주로 도함수가 어떻게 변하는지 알기위해 사용된다. 그걸로 함수 [math(f(x))]가 어디로 오목한지 확인 할 수 있다.
이계도함수도 멱 규칙을 두번 적용하면 법칙이 성립한다.
2. 응용
이계도 함수를 사용해서 그래프가 어느 방향으로 볼록한지 알 수 있다. 예를 들어 보면[math(f(x)=x^2)]라는 함수가 있다.
그럼 이 함수의 도함수는 [math(f'(x)=2x)]이고
이계도함수는 [math(f''(x)=2)]이다.
이계도함수의 값이 양수이기 때문에 [math(f(x))]는 아래로 볼록한 함수다.
그럼 이 함수의 도함수는 [math(f'(x)=2x)]이고
이계도함수는 [math(f''(x)=2)]이다.
이계도함수의 값이 양수이기 때문에 [math(f(x))]는 아래로 볼록한 함수다.
2.1. 이차 근사
일계도함수도 선형근사를 보이는것 처럼 이계도함수도 선형 근사가 적용된다. 이계도함수의 선형근사는 다음과 같다.[math(f(x) \approx f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2)]
이는 일계도함수의 선형근사보다 더욱 정밀한 결과가 나온다.2.2. 고계도함수
高階導函數 / [math(n)]th order derivative그래프를 2번 이상 미분해서 나온 도함수이다. [math(n)]차함수 그래프가 어디로 볼록한지 알아낼때 쓴다. 예를 들면,
[math(f(x)=-3x^4)]함수가 있다.
일계도함수는 [math(f'(x)=-12x^3)]이고,
이계도함수는 [math(f''(x)=-36x^2)]이다.
삼계도함수는 [math(f'''(x)=-72x)]
사계도함수는 [math(f''''(x)=-72)]이다.
-72는 음수이므로 [math(f(x))]는 위로 볼록한 함수다.
일계도함수는 [math(f'(x)=-12x^3)]이고,
이계도함수는 [math(f''(x)=-36x^2)]이다.
삼계도함수는 [math(f'''(x)=-72x)]
사계도함수는 [math(f''''(x)=-72)]이다.
-72는 음수이므로 [math(f(x))]는 위로 볼록한 함수다.