1. 개요
| 3Blue1Brown의 고계도함수 설명 영상 |
도함수의 도함수이다. 즉, 도함수를 한 번 더 미분한 결과이다. 주로 도함수가 어떻게 변하는지 알기위해 사용된다. 이를 통해 가속도나 함수가 어디로 오목한지 확인 할 수 있다. 식으로는 [math(\dfrac{\rm d^2y}{{\rm d}x^2})]라고 쓴다.
이계도함수도 멱 규칙을 두번 적용하면 법칙이 성립한다.
2. 응용
2.1. 가속도
이동거리 함수를 미분하면 속도 함수가 나오고 이를 한번더 미분하면 가속도 함수가 나온다. 자세한건 가속도 문서 참조.2.2. 이차 근사
일계도함수도 선형근사를 보이는것 처럼 이계도함수도 선형 근사가 적용된다. 이계도함수의 선형근사는 다음과 같다.[math(f(x) \approx f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2)]
이는 일계도함수의 선형근사보다 더욱 정밀한 결과가 나온다.3. 고계도함수(n계도함수)
高階導函數 / [math(n)]th order derivative[math(\dfrac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{d}x^m}x^n=n(n-1)...(n-m+1)x^{n-m})] ([math(m,n\in\mathbb Z)])
[math(\dfrac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}e^x=e^x)] ([math(n\in\mathbb Z)])
그래프를 2번 이상 미분해서 나온 도함수이다. 이를 통해 함수가 오목한지 볼록한지와 가속도의 변화량의 변화량 등을 구할수 있다.3.1. 고계도함수의 응용
3.1.1. 함수의 오목/볼록 파악
[math(f(x)=-3x^4)]함수가 있다.
일계도함수는 [math(f'(x)=-12x^3)]이고,
이계도함수는 [math(f''(x)=-36x^2)]이다.
삼계도함수는 [math(f'''(x)=-72x)]
사계도함수는 [math(f''''(x)=-72)]이다.
-72는 음수이므로 [math(f(x))]는 위로 볼록한 함수다.
일계도함수는 [math(f'(x)=-12x^3)]이고,
이계도함수는 [math(f''(x)=-36x^2)]이다.
삼계도함수는 [math(f'''(x)=-72x)]
사계도함수는 [math(f''''(x)=-72)]이다.
-72는 음수이므로 [math(f(x))]는 위로 볼록한 함수다.