최근 수정 시각 : 2024-11-08 09:41:04

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1. 개요2. 진술
2.1. 고교 교육과정 하에서의 최대·최소 정리2.2. 최대·최소 정리(extreme value theorem)
3. 증명
3.1. 컴팩트성을 사용하지 않은 증명3.2. 컴팩트성을 사용한 증명
4. 관련 문서

1. 개요

최대·최소 정리(最大·最小 定理, extreme value theorem; EVT)는 함수의 최댓값, 최솟값에 관한 정리로, 연속함수의 대표적인 성질 중 하나이다.

이 성질은 미분가능성과는 별개의 성질이기 때문에, 바이어슈트라스 함수같이 미분이 불가능한 연속함수에서도 참이다.

2. 진술

2.1. 고교 교육과정 하에서의 최대·최소 정리

[ 정리 ] 최대·최소 정리(수학Ⅱ(2015))
함수 [math(f: \mathbb R \to \mathbb R)]가 닫힌 구간 [math([a, b])]에서 연속이면, 함수 [math(f)]는 구간 [math([a, b])]에서 최댓값과 최솟값을 가진다.
여기서 중요한 것은 닫힌 구간과 연속이다. 둘 중 한 조건이라도 성립하지 않는다면, 최댓값과 최솟값이 존재하지 않을 수도 있다.[* [math(f\left(x\right)=x)]라는 단순한 함수를 토대로 [math(\left(a,b\right)\left(a<b\right))]라는 열린 구간을 대상으로 해 보자. 이 경우, 모든 [math(f)]값이 [math(\left(a,b\right))] 사이에 들어가지만, 구간의 양 끝값 자체가 구간에 미포함되기 때문에 최대값도 최소값도 없다는걸 간단하게 보일 수 있다. 불연속일 경우는 [math(\left(0, 2\right))]라는 범위에서 [math(f\left(x\right)=x-\left\lfloor x\right\rfloor )]라는 함수를 정의하면, 그 치역은 [math(\left[0,1\right))]로 표현되어, 최대값이 없는 함수가 됨을 알 수 있다.][1] 일견 당연해 보이는 이 정리는, 고교 수준을 넘는다며 증명을 생략하고 넘어가는 경우가 대부분이다.

2.2. 최대·최소 정리(extreme value theorem)

[ 정리 ] 최대·최소 정리(extreme value theorem)
컴팩트집합 [math(X)]에서 정의된 연속함수 [math(f: X \to \mathbb R)]는 정의역 [math(X)]에서 최댓값과 최솟값을 가진다.
고교 수준의 정의에서 닫힌 유계구간이 컴팩트집합(compact set)으로 치환된 형태다. 실제로 하이네-보렐 정리에 따르면 실수 집합의 닫힌 유계구간은 전부 컴팩트집합이므로, 위 정리를 온전히 포함하게 된다.

위 정리는 다음과 같이 [math((\mathbb R, <))] 뿐만이 아닌, 임의의 전순서 집합 위의 순서 위상에 대한 정리로 일반화할 수 있다.
[ 정리 ] 최대·최소 정리(extreme value theorem)
컴팩트집합 [math(X)]와 전순서(total order) [math(<)]가 주어진 위상 공간 [math((Y, <))] 사이에 정의된 연속함수 [math(f: X \to Y)]는 정의역 [math(X)]에서 최댓값과 최솟값을 가진다.

3. 증명

당연해 보이는 것의 증명이 더욱 어려운 법이다. 이 정리를 증명하기 위해서는 유계(boundness)나 컴팩트성(compactness)을 알아야 한다.

3.1. 컴팩트성을 사용하지 않은 증명

[ 보조정리 ]
함수 [math(f: \mathbb R \to \mathbb R)]가 닫힌 구간 [math([a, b])]에서 연속이면, 함수 [math(f)]는 구간 [math([a, b])]에서 유계 함수이다.
[ 증명 ]
임의의 실수 [math(M \in \mathbb R)]를 잡아도 그보다 큰 함수값 [math(f(x) > M)]을 지니는 [math(x \in [a, b])]가 존재한다고 가정해 보자.

[math(a_i)] = "[math(f(x) > i)]인 임의의 [math(x \in [a, b])]"인 수열 [math(\{a_n\})]을 정의하자. 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의해, 이 수열의 집적점(accumulation point) [math(v)]는 구간 [math([a, b])]안에 존재한다. 다시 말해, 임의의 [math(\delta > 0)]을 잡아도 구간 [math((v - \delta, v + \delta) \cap [a, b])] 내에 [math(a_i)]가 들어가게 되는 [math(i)]가 무한히 많이 존재한다.

함수 [math(f)]는 [math(v)]에서 연속이므로, 엡실론-델타 논법에 따라 임의의 [math(\epsilon > 0)]에 대해 [math((v - \delta, v + \delta) \cap [a, b])] 상의 모든 함수값이 [math((f(v) - \epsilon, f(v) + \epsilon))]에 포함되도록 하는 [math(\delta > 0)]를 찾을 수 있어야 한다.
하지만 [math(\delta)]를 어떻게 잡아도, 임의로 큰 [math(i > f(v) + \epsilon)]를 잡아 [math(a_i)]가 그 구간 안에 들어가게 할 수 있고, 이 경우 [math(f(a_i) > i > f(v) + \epsilon)]이므로, 조건을 만족하는 [math(\delta)]를 찾을 수 없게 된다.

따라서 가정은 틀렸고, 구간 [math([a, b])] 상에서 [math(f)]의 모든 함수값보다 큰 [math(M \in \mathbb R)], 즉 [math(f)]의 상한이 존재해야 한다.

같은 방식으로 [math(f)]의 하한이 존재한다는 사실을 증명할 수 있고, 따라서 [math(f)]는 구간 [math([a, b])]에서 유계 함수이다. [math(\blacksquare)]
이 증명의 핵심은 볼차노-바이어슈트라스 정리를 이용하는 것인데, 컴팩트성 문서에도 적혀 있듯이 사실 이것은 [math([a, b])]의 점렬 컴팩트성을 이용한 것과 마찬가지이다.
[ 정리 ] 최대·최소 정리(수학Ⅱ(2015))
함수 [math(f: \mathbb R \to \mathbb R)]가 닫힌 구간 [math([a, b])]에서 연속이면, 함수 [math(f)]는 구간 [math([a, b])]에서 최댓값과 최솟값을 가진다.
{{{#!folding [ 증명 ]
[ 보조정리 ]에 의해 [math(f)]는 [math([a, b])]에서 유계이다. 그러므로 집합 [math(\{ f(x) \,|\, x \in [a ,b] \})]의 최소 상한 [math(M \in \mathbb R)]이 존재한다. 이제 [math(f(x) = M)]인 [math(x \in [a ,b])]가 존재함을 증명하자.

결론을 부정하여, 임의의 [math(x \in [a ,b])]에 대해 [math(f(x) \neq M)], 즉 [math(f(x) < M)]을 가정하자. 그러면 다음과 같이 정의된 함수 [math(g: [a ,b] \to \mathbb R)]는 잘 정의되며, 연속이다. (연속함수의 성질 참고.)		<table width=100%>
[math(\displaystyle \begin{aligned}
g(x) = \frac1{M-f(x)}
\end{aligned} )]
그러므로 [math(g)]에도 [ 보조정리 ]를 적용할 수 있다. [math(g)]도 구간 [math([a, b])]에서 유계이므로, 적당한 실수 [math(N)]이 존재하여 [math(g(x) = |g(x)| \leq N)]이 성립한다. 따라서 모든 [math(x \in [a, b])]에 대해 [math(\dfrac1{M-f(x)} \leq N)]이고 [math(f(x) \leq M - \dfrac1N)]이다. 이는 [math(M)]이 집합 [math(\{ f(x) \,|\, x \in [a, b] \})]의 최소 상한이라는 가정에 모순이다.

귀류법 가정이 틀렸으므로, [math(f(x) = M)]인 [math(x \in [a, b])]가 존재한다. 즉, [math(f)]는 구간 [math([a, b])]에서 최댓값 [math(M)]을 가진다. 한편, [math(\inf f = -\sup(-f))] 및 [math(\min f = -\max(-f))]을 이용하면 최솟값에 대한 결론도 얻을 수 있다. [math(\blacksquare)]
}}}||

3.2. 컴팩트성을 사용한 증명

컴팩트성과 관련된 다음 두 개의 보조정리를 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.
[ 보조정리 1 ]
컴팩트집합 [math(X)] 상에서 정의된 연속함수 [math(f: X \to Y)]의 치역 [math(f(X))]는 컴팩트 집합이다.
[ 증명 ]
[math(f(X))]의 열린 덮개 [math(C)]가 있다면, [math(f)]가 연속 함수이므로 [math(D = \{f^{-1}(S) \,|\, S \in C\})]는 [math(X)]의 열린 덮개이다. [math(X)]는 컴팩트하므로, [math(D)]의 유한 부분덮개 [math(D')]가 존재한다. 즉, [math(C' = \{f(S') \,|\, S' \in D'\})]는 [math(f(X))]를 덮는 [math(C)]의 유한 부분덮개가 된다.

이는 임의의 열린 덮개 [math(C)]에 대해 성립하므로, [math(f(X))]는 컴팩트 집합이다. [math(\blacksquare)]
[ 보조정리 2 ]
전순서 [math(<)]가 주어진 위상 공간 [math((Y, <))]의 임의의 컴팩트집합 [math(Z)]의 최소상계 [math(\sup Z)] 및 최대하계 [math(\inf Z)]는 존재하고, [math(Z)]에 포함된다. 즉, [math(Z)]는 최댓값과 최솟값을 포함한다.
[ 증명 ]
편의상 [math(y \in Y)]가 있을 때, 하집합(lower set) [math(\{y' \in Y \,|\, y' < y \})]를 [math((-\infty, y))]라고 표기하자.

열린 구간의 집합 [math(C = \{ (-\infty, z) \,|\, z \in Z \})]가 있을 때, 만약 이 [math(C)]가 [math(Z)]의 덮개라면, 유한 부분덮개 [math(C' = \{(-\infty, z_1), \cdots, (-\infty, z_n)\} \subseteq C)]가 존재해야 한다. 하지만 [math(C')]는 [math(\max \{z_1, \cdots, z_n\})]을 덮을 수 없으므로 [math(C')]는 [math(Z)]의 덮개일 수 없고, 따라서 [math(C)]는 [math(Z)]의 덮개가 아니다.

즉, [math(Z' = Z \setminus \bigcup C)]는 공집합이 아니다. 이 집합의 원소 [math(z')]와, [math(Z)]의 임의의 원소 [math(z)]가 있으면, [math(z' \not\in (-\infty, z))]이므로, [math(z \le z')]이여야 한다. 따라서, [math(z' = \sup Z \in Z)]이다. (사실 [math(Z' = \{z'\})]이다.) 같은 방식으로 [math(\inf Z \in Z)]임을 증명할 수 있다. [math(\blacksquare)]
[ 정리 ] 최대·최소 정리(exterme value theorem)
컴팩트집합 [math(X)]와 전순서(total order) [math(<)]가 주어진 위상 공간 [math((Y, <))] 사이에 정의된 연속함수 [math(f: X \to Y)]는 정의역 [math(X)]에서 최댓값과 최솟값을 가진다.
[ 증명 ]
[ 보조정리 1, 2 ]에 의해 [math(f(X))]는 최댓값과 최솟값을 포함하는 컴팩트집합이다. [math(\blacksquare)]

4. 관련 문서

[1] 이 정의의 역은 성립되지 않는다. 대표적인 반례로 완전 불연속 함수의 하나인 디리클레 함수가 있는데, 이 함수는 임의의 구간에서 유리수에서 최댓값 1, 무리수에서 최솟값 0을 띠므로 이 정의에 의해 연속함수로 간주되는 모순이 생긴다.

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