역도함수표

1. 개요

여러 함수의 역도함수를 수록한 문서이다. 문서에서 [math(\mathsf{const.})]는 적분상수이다.[1][2] 거의 모든 미적분 관련 수학 교과서나 수학을 쓰는 대학교 전공서적에 부록으로 달려 있으며, 하도 많이 쓰이다 보니 사용하다보면 어느새 나중에는 유명한 적분들은 그냥 외우게 된다.

2. 기본 적분

2.1. 선형성(linearity)[3]

[math(\displaystyle \int \{ \alpha f( x ) + \beta g( x ) \}\,\mathrm{d}x=\alpha \int f( x )\, \mathrm{d}x + \beta \int g( x )\, \mathrm{d}x)]

2.2. f'(x)/f(x) 꼴[4]

해당 함수의 역도함수는 치환적분을 통해 도출할 수 있다. 해당 문서의 부정적분 단락 예제 1 참고.

[math(\displaystyle \int \frac{f'( x )}{f( x )}\,\mathrm{d}x=\ln{| f( x ) |}+ \mathsf{const.})]

2.3. 역함수

함수 [math(f(x))]의 역함수 [math(f^{-1}(x))]의 역도함수는 부분적분과 역함수의 미분 공식을 쓰면 유도할 수 있다.

[math(\displaystyle \int f^{-1}(x)\,\mathrm{d}x=xf^{-1}(x)-\int f(y)\,\mathrm{d}y \quad)] (단, [math(y=f^{-1}(x))])

또는,

[math(\displaystyle \int f^{-1}(x)\,\mathrm dx = xf^{-1}(x) - F(f^{-1}(x))+\mathsf{const.} \quad)] [math(\biggl( \biggr.)]단, [math(\dfrac{\mathrm dF}{\mathrm dx}=f(x))][math(\biggl. \biggr))]

2.4. 부분적분

기본꼴
[math(\displaystyle \int f(x)g'(x)\,\mathrm{d}x =f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,\mathrm{d}x)]
스틸체스꼴
[math(\displaystyle \int f(x)\,\mathrm{d}g(x) =f(x)g(x)-\int g(x)\,\mathrm{d}f(x))]

곱미분에서 유도되는 공식으로, 곧바로 적분이 되지 않을 경우 쓸 수 있는 공식이다.

2.5. 다항식

유의할 것은 [math(n)]이 상수여야 한다는 점이다. [math(y=x^x)]와 같은 함수는 초등함수를 유한 번 사용한 부정적분으로 표현할 수 없다.

[math(n \ne -1)]일 때

[math(\displaystyle \int x^n\,\mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+ \mathsf{const.})]

[math(n=-1)]일 때

[math(\displaystyle \int x^{-1}\,\mathrm{d}x = \int \frac1x\,\mathrm{d}x = \ln \left| x \right|+ \mathsf{const.})]

이 두 경우를 지시함수를 이용해 하나의 식으로 나타낼 수 있다.

[math(\displaystyle \int x^n\,{\rm d}x=\dfrac{1-{\bold 1}_{\{-1\}}(n)}{{\bold 1}_{\{-1\}}(n)+n+1}x^{n+1}+{\bold 1}_{\{-1\}}(n)\ln |x|+\mathsf{const.})]

2.6. 유리함수

[math(\displaystyle \int \frac{1}{ax+b} \, \mathrm{d}x=\frac{\ln{(ax+b)}}{a}+\sf const.)]
[math(\displaystyle \int \frac{1}{ax^2+bx+c} \, \mathrm{d}x)]

[math(\boldsymbol{ D > 0})]인 경우: [math(\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{D}} \ln\left|\frac{2ax+b+\sqrt{D}}{2ax+b-\sqrt{D}}\right|+\mathsf{const.}=\frac{-2}{\sqrt{D}}{\rm artanh}\left(\frac{2ax+b}{\sqrt{D}}\right)+\mathsf{const.} )][5]
[math(\boldsymbol{ D = 0})]인 경우: [math(\displaystyle\frac{-2}{2ax+b}+\mathsf{const.})]
[math(\boldsymbol{ D < 0})]인 경우: [math(\displaystyle\frac{2}{\sqrt{-D}}\arctan\left(\frac{2ax+b}{\sqrt{-D}}\right)+\mathsf{const.})][6]

위에서 [math(D=b^2-4ac)]이다.

2.7. 무리함수

2.7.1. 기본

[math(\displaystyle \int \sqrt {ax+b} \, \mathrm dx=\frac{2}{3a}(ax+b)\sqrt{ax+b}+\sf const.)]
[math(\displaystyle \int \sqrt {x^2\pm a^2} \, \mathrm dx= \frac{\displaystyle x\sqrt {x^2\pm a^2}\pm a^2\ln(\sqrt {x^2\pm a^2}+x)}{2}+\sf const.)][7]
[math(\displaystyle \int \sqrt{-x^2+ a^2} \, \mathrm dx=\frac12 \left[ x\sqrt{-x^2+ a^2} + a^2 \arcsin\left(\frac{x}{a}\right)\right] +\sf const.)]
[math(\displaystyle \int \sqrt{-x^2- a^2} \, \mathrm dx=\frac12 \left[ x\sqrt{-x^2+ a^2} + a^2 \arctan\left(\frac {x}{\sqrt{-x^2- a^2}}\right)\right] +\sf const.)]

2.7.2. 역수

[math(\displaystyle \int \frac 1{\displaystyle\sqrt {ax+b}} \, \mathrm dx=\frac{\displaystyle 2\sqrt{ax+b}}a +\sf const.)]
[math(\displaystyle \int \frac 1{\displaystyle\sqrt {x^2\pm a^2}} \, \mathrm dx={\rm artanh}\left(x \over \displaystyle\sqrt{x^2\pm a^2}\right) +\sf const.)]
[math(\displaystyle \int \frac 1{\displaystyle\sqrt {-x^2+ a^2}} \, \mathrm dx=\arcsin\left(\frac{x}{a}\right) +\sf const.)]
[math(\displaystyle \int \frac 1{\displaystyle\sqrt {-x^2- a^2}} \, \mathrm dx=\arctan\left(\frac {x}{\sqrt{-x^2- a^2}}\right) +\sf const.)]

2.8. 지수함수

[math(a > 0)]인 경우

[math(\displaystyle \int a^x\,\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+ \mathsf{const.})]

[math(a < 0)]인 경우, [math(\ln\left(-1\right)=i\pi)] 즉 복소수 [math(z = a)]에 대해, [math(-\pi<\arg z\le\pi)]일 때[8][9]

[math(\displaystyle \int a^x\,\mathrm{d}x = \frac{a^x}{\operatorname{Log}|a| + i\pi}+ \mathsf{const.})][10]

[math(i^x)]인 경우, 복소수 [math(z = i)]에 대해, [math(-\pi<\arg z\le\pi)]일 때

[math(\displaystyle \int i^x\,\mathrm{d}x = \frac2\pi \sin \frac{\pi x}2 - i\frac2\pi \cos \frac{\pi x}2 + \mathsf{const.} = -i\frac2\pi \operatorname{cis}\left(\frac{\pi x}2 \right) + \mathsf{const.})][11]

[math(\displaystyle xa^{x})]인 경우

[math(\displaystyle\int xa^x\,\mathrm{d}x=\frac{a^x(x\ln a-1)}{\ln^2 a}+ \mathsf{const.})]

부분적분을 이용한다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \int xa^{x}\mathrm{d}x&=\frac{x}{\ln a}a^{x}-\int \frac{a^{x}}{\ln a}\mathrm{d}x \\ &=\frac{x}{\ln a}a^x-\frac{1}{(\ln a)^{2}}a^{x}+ \mathsf{const.} \\ &=\frac{a^{x}(x\ln a-1)}{(\ln a)^2}+ \mathsf{const.} \end{aligned} )]

}}} ||

[math(\displaystyle x^n e^{-cx})] 꼴인 경우 (단, [math(n)]은 자연수)

[math(\displaystyle\int x^n e^{-cx}\,\mathrm{d}x=-\frac{n!}{c^{n+1}}\sum_{j=0}^n\frac{(cx)^j}{j!}e^{-cx}+\mathsf{const.})]

2.8.1. 허수지수함수

[math(\displaystyle\int \operatorname{cis}(z) \,{\rm d}z = -i \operatorname{cis}(z)+\mathsf{const.})]
[math(\displaystyle\int \overline{\operatorname{cis}}(z) \,{\rm d}z = i \, \overline{\operatorname{cis}}(z)+\mathsf{const.})]

2.9. 로그함수

밑이 [math(\displaystyle a)]인 로그함수

[math(\displaystyle \int \log_ax \,{\rm d}x = \frac{x\ln x-x}{\ln a} +\mathsf{const.})]

특히, [math(a=)] [math(e)]일 때

[math(\displaystyle \int \ln x \,{\rm d}x = x\ln x -x +\mathsf{const.})]

일차함수와 합성된 로그함수

[math(\displaystyle \int \ln(ax+b) \,{\rm d}x = \dfrac1a (ax+b)\ln(ax+b) -x +\mathsf{const.})]

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \ln(ax+b) \,{\rm d}x &= x\ln(ax+b) -\int x \cdot \frac a{ax+b} \,{\rm d}x \\
&= x\ln(ax+b) -\int \frac{ax+b-b}{ax+b} \,{\rm d}x \\
&= x\ln(ax+b) -\int \biggl( 1-\frac b{ax+b} \biggr) {\rm d}x \\
&= x\ln(ax+b) -\biggl( x -\frac ba\ln(ax+b) \biggr) \!+\mathsf{const.} \\
&= \!\biggl( x +\frac ba \biggr) \!\ln(ax+b) -x +\mathsf{const.} \\
&= \dfrac1a (ax+b)\ln(ax+b) -x +\mathsf{const.}
\end{aligned} )]

}}}||

2.10. 삼각함수

2.10.1. 기본

[math(\displaystyle \int \sin x\,\mathrm{d}x=-\cos x+ \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \cos x\,\mathrm{d}x=\sin x+ \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \sec^2x\,\mathrm{d}x=\tan x+ \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \csc^2x\,\mathrm{d}x=-\cot x+ \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \sec x\tan x\,\mathrm{d}x=\sec x+ \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \csc x\cot x\,\mathrm{d}x=-\csc x+ \mathsf{const.})]

2.10.2. 사인 함수 및 코사인 함수의 거듭제곱 꼴

[math(\displaystyle \int \sin^nx\,\mathrm{d}x=\frac{-\sin^{n-1}x\cos x}n+\frac{n-1}n\int \sin^{n-2}x\,\mathrm{d}x \quad (n\in\mathbb N,\,n\ge2))]
[math(\displaystyle \int \cos^nx\,\mathrm{d}x=\frac{\cos^{n-1}x\sin x}n+\frac{n-1}n\int \cos^{n-2}x\,\mathrm{d}x \quad (n \in\mathbb N,\,n\ge2))]
[math(\displaystyle \int \sin^mx\cos^nx \mathrm{d}x=\frac{\sin^{m+1}x \cos^{n-1} x}{m+n}+\frac{n-1}{m+n}\int \sin^mx \cos^{n-2}x\,\mathrm{d}x \ \quad (m\ge0,\,n\ge1,\,n,\,m\in\mathbb N))]

2.10.3. 탄젠트 함수

[math(\displaystyle \int \tan x\,\mathrm{d}x=-\ln\left| \cos x \right|+ \mathsf{const.}=\ln\left| \sec x \right|+ \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \tan^nx\,\mathrm{d}x=\frac{\tan^{n-1}x}{n-1}-\int \tan^{n-2}x\,\mathrm{d}x \quad (n\in\mathbb N,\,n\ge2))]

2.10.4. 코탄젠트 함수

[math(\displaystyle \int \cot x\,\mathrm{d}x=\ln\left| \sin x \right|+ \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \cot^nx\,\mathrm{d}x=\frac{-\cot^{n-1}x}{n-1}-\int \cot^{n-2}x\,\mathrm{d}x \quad (n\in\mathbb N,\,n\ge2))]

2.10.5. 시컨트 함수

[math(\displaystyle \int \sec x\,\mathrm{d}x=\frac12\ln \left| \frac{\sin x+1}{\sin x-1} \right|+ \mathsf{const.}=\ln \left|\tan x+\sec x\right|+ \mathsf{const.}=\ )][math(text{igd}(x)+mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \sec^nx\,\mathrm{d}x=\frac{\sec^{n-2}x\tan x}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}x\,\mathrm{d}x \quad (n\in\mathbb N,\,n\ge2))]

2.10.6. 코시컨트 함수

[math(\displaystyle \int \csc x\,\mathrm{d}x=-\frac12\ln\left| \frac{\cos x+1}{\cos x-1} \right|+ \mathsf{const.}=-\ln \left|\cot x+\csc x\right|+ \mathsf{const.}=\ln\left| \cot x-\csc x\right|+ \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \csc^nx\,\mathrm{d}x=\frac{-\csc^{n-2}x\cot x}{n-1}-\frac{n-2}{n-1}\int \csc^{n-2}x\,\mathrm{d}x \quad (n\in\mathbb N,\,n\ge2))]

2.11. 쌍곡선 함수

2.11.1. 기본

[math(\displaystyle \int \sinh x \,\mathrm{d}x=\cosh x +\mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \cosh x \,\mathrm{d}x=\sinh x +\mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \tanh x \,\mathrm{d}x=(\ln\circ\cosh)( x) +\mathsf{const.})]

2.11.2. 역수 꼴

[math(\displaystyle \int \mathrm{csch} x \,\mathrm{d}x=(\ln \circ \tanh)\biggl(\frac{x}{2}\biggr)+\mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \mathrm{sech} x \,\mathrm{d}x=2(\arctan\circ\tanh)\biggl(\frac{x}{2}\biggr)+\mathsf{const.}=\,)][math(mathrm{gd}(x)+mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int {\rm coth}\,x \,\mathrm{d}x=\ln{|\sinh(x)|} +\mathsf{const.})]

3. 특수 적분

적분의 결과로 특수함수가 나오는 식이다.

3.1. 절댓값 함수

[math(\displaystyle \int |x|\,\mathrm{d}x = \frac{1}2x^{2}\, \mathrm{sgn}\,x + \mathsf{const.})]

일반적인 일차함수 적분과 비슷해 보이지만, [math(x < 0)] 구간이 음수 방향으로 뒤집어져 있다는 차이가 존재한다. [math(\mathrm{sgn}\,x)]는 부호 함수이다.

[math(\displaystyle \int | f(x) |\,\mathrm{d}x = (\mathrm{sgn} \circ f)(x) \int f(x)\,\mathrm{d}x)]

3.1.1. 부호 함수

[math(\displaystyle \int \operatorname{sgn} x\, \mathrm{d}x = |x| + \mathsf{const.})]

3.1.2. 삼각함수와의 합성함수

[math(\displaystyle \int \sin |x|\,\mathrm{d}x = \left(1- \cos x\right)\mathrm{sgn}\,x + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \cos |x|\,\mathrm{d}x = \sin x+ \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \tan |x|\,\mathrm{d}x = \left(\ln \left| \sec x \right|\right) \mathrm{sgn}\,x + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \sec |x|\,\mathrm{d}x = \ln \left| \tan x + \sec x \right| + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \csc |x|\,\mathrm{d}x = \left(\ln \left| \cot x - \csc x \right|\right)\mathrm{sgn}\,x + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \cot |x|\,\mathrm{d}x = \left(\ln \left| \sin x \right|\right)\mathrm{sgn}\,x + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \left|\sin x\right|\,\mathrm{d}x = 2\left\lfloor\frac x\pi\right\rfloor -\cos\left(x - \left\lfloor\frac x\pi \right\rfloor\pi\right) + \mathsf{const.})][A]
[math(\displaystyle \int \left|\cos x\right|\,\mathrm{d}x = 2\left\lfloor\frac x\pi + \frac12\right\rfloor + \sin\left(x - \left\lfloor\frac x\pi + \frac12 \right\rfloor\pi\right) + \mathsf{const.})][A]
[math(\displaystyle \int \left| \tan x \right|\,\mathrm{d}x = -(\mathrm{sgn} \circ \tan)(x) \ln \left| \cos x \right| + \mathsf{const.} \quad )][math(\biggl( \biggr.)]단, [math(|x| < n \pi - \dfrac{\pi}{2})] [math(\biggl. \biggr))]
[math(\displaystyle \int \left| \sec x \right| \, \mathrm{d}x = \mathrm{sgn}\left(\sec x\right) \ln \left|\sec x + \tan x\right| + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \left| \csc x \right| \, \mathrm{d}x = -\mathrm{sgn}\left(\csc x\right) \ln \left|\csc x + \cot x\right| + \mathsf{const.} = \mathrm{sgn}\left(\csc x\right) \ln \left|\csc x - \cot x\right| + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \left| \cot x \right| \, \mathrm{d}x = \mathrm{sgn}\left(\cot x\right) \ln \left|\sin x\right| + \mathsf{const.} \quad)][math(\biggl( \biggr.)]단, [math(|x| < n \pi - \dfrac{\pi}{2})] [math(\biggl. \biggr))]

위 식에서 [math(\lfloor \cdot \rfloor)]는 바닥함수이다.

3.2. 역삼각함수

[math(\displaystyle \int \arcsin x\,\mathrm{d}x = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2}+ \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \arccos x\,\mathrm{d}x = x \arccos x - \sqrt{1-x^2}+ \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \arctan x\,\mathrm{d}x = x \arctan x - \frac12\ln(x^2+1)+ \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \mathrm{arcsec}\,x\,\mathrm{d}x = x\,\mathrm{arcsec}\,x - \mathrm{sgn}\,x \ln(x+\sqrt{x^2-1})+ \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \mathrm{arccsc}\,x\,\mathrm{d}x = x\,\mathrm{arccsc}\,x + \mathrm{sgn}\,x \ln(x+\sqrt{x^2-1})+ \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \mathrm{arccot}\,x\,\mathrm{d}x = x\,\mathrm{arccot}\,x + \frac12\ln(x^2+1)+ \mathsf{const.})]

3.3. 역쌍곡선 함수

[math(\displaystyle \int \mathrm{arsinh}\,x\,\mathrm{d}x =\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} +\mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \mathrm{arcosh}\,x\,\mathrm{d}x = \frac{1}{\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}}+\mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \mathrm{artanh}\,x\,\mathrm{d}x = \frac{1}{1-x^2}+\mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \mathrm{arcsch}\,x\,\mathrm{d}x =- \frac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2} }+1} +\mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \mathrm{arsech}\,x\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{x\sqrt{\dfrac{1-x}{x+1}}} (x+1) +\mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \mathrm{arcoth}\,x\,\mathrm{d}x =\frac{1}{1-x^2}+\mathsf{const.})]

3.4. 오차함수

[math(\displaystyle \int e^{-x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{\sqrt\pi}2\mathrm{erf}( x )+ \mathsf{const.})]

3.5. 지수 적분 함수

[math(\displaystyle \int \frac{e^x}x\,\mathrm{d}x = \mathrm{Ei}(x) + \mathsf{const.} = -\int_{-x}^\infty\frac{e^{-t}}t\,\mathrm{d}t + \mathsf{const.})]

대표적인 초월함수 중 하나다. 해당 함수는 [math(x>0)]에서 역시 코시 주요값 문서의 예처럼 정의된다.

[math(\displaystyle \int a^{1/x}\,\mathrm{d}x = xa^{1/x} - \mathrm{Ei}\left(\frac{\ln a}x\right) \ln a + \mathsf{const.} = x a^{1/x} + \ln a \int_{-{\ln a}/x}^\infty\frac{e^{-t}}t\,\mathrm{d}t + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int e^x \ln x \,\mathrm{d}x = e^x \ln x - \mathrm{Ei}(x) + \mathsf{const.} = \int_{-x}^\infty\frac{e^{-t}}t\,\mathrm{d}t + e^x \ln x + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \operatorname{Ei}(x)\, \mathrm{d}x = x\operatorname{Ei}(x) - e^x + \sf const.)]
[math(\displaystyle \int e^{e^x}\, \mathrm{d}x = \operatorname{Ei}(e^x) + \sf const.)]

3.6. 로그 적분 함수

[math(\displaystyle \int \frac1{\ln x}\,\mathrm{d}x = \mathrm{li}(x) + \mathsf{const.} = \mathcal P\int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{\ln t} + \mathsf{const.}=\lim_{a \to 0+} \left[\int_{0}^{1-a} \frac{1}{\ln t} \mathrm{d}t + \int_{1+a}^x \frac{1}{\ln t} \mathrm{d}t\right]=\int_\mu^x \frac{1}{\ln t} \mathrm{d}t +\mathsf{const.})][14]

이것도 역시 초월함수다. [math(x>1)]일 때 [math( \mathrm{li}(x)=\int_0^x (\ln{t})^{-1}\,{\rm d}t)]에 대해서는 코시 주요값 참고하라.

로그 적분 함수를 다시 적분한 함수는 지수 적분 함수와 로그함수, 로그 적분 함수로 나타내어진다.

[math(\displaystyle \int \operatorname{li}(x)\mathrm{d}x = x\,\mathrm{li}(x) - \mathrm{Ei}(2\ln x) + \sf const.)]

3.7. 삼각 적분 함수

[math(\displaystyle \int \frac{\sin x}x\,\mathrm{d}x = \mathrm{Si}(x) + \mathsf{const.} = \int_0^x\frac{\sin t}t\,\mathrm{d}t + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \frac{\cos x}x\,\mathrm{d}x = \mathrm{Ci}(x) + \mathsf{const.} = -\int_x^\infty\frac{\cos t}t\,\mathrm{d}t + \mathsf{const.})]

이외에도 삼각함수와 지수함수를 합성한 꼴, 로그함수와 삼각함수의 곱 꼴, 정의역에 역수를 취한 꼴에서도 이 초월함수가 나온다.

[math(\displaystyle \int \sin e^x\,\mathrm{d}x = \mathrm{Si}(e^x) + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \cos e^x\,\mathrm{d}x = \mathrm{Ci}(e^x) + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \sin x \ln x\,\mathrm{d}x = \mathrm{Ci}(x) - \cos x \ln x + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \cos x \ln x\,\mathrm{d}x = -\mathrm{Si}(x)+ \sin x \ln x + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \sin(x^{-1})\,\mathrm{d}x = -\mathrm{Ci}(x^{-1}) + x \sin(x^{-1}) + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \cos(x^{-1})\,\mathrm{d}x = \mathrm{Si}(x^{-1}) + x \cos(x^{-1}) + \mathsf{const.})]

3.8. 프레넬 적분 함수

[math(\displaystyle \int \sin x^2 \,\mathrm{d}x = S(x) + \mathsf{const.} )]
[math(\displaystyle \int \cos x^2 \,\mathrm{d}x = C(x) + \mathsf{const.} )]

[math(S(x))], [math(C(x))]에 대한 정보는 프레넬 적분 함수 문서를 참조하라.

제곱이 아닌 경우는 불완전 감마 함수로 표현되는 복잡한 꼴로 정리된다.

[math(\displaystyle \int \sin x^n \, \mathrm{d}x = - \dfrac{ix((ix^n)^{-1/p}Γ(n^{-1},ix^n)}{2n}+ \dfrac{ix(-ix^n)^{-1/p}Γ(n^{-1},-ix^n)}{2n} + \sf const.)]
[math(\displaystyle \int \cos x^n \, \mathrm{d}x = - \dfrac{x (x^{2n})^{-1/n} ((-ix^n)^{-1/n}Γ(n^{-1},ix^n)}{2n} - \dfrac {x (x^{2n})^{-1/n}(ix^n)^{-1/n}Γ(n^{-1},-ix^n) )}{2n} + \sf const.)]

3.9. 삼각함수와 다항함수의 곱

[math(\displaystyle \int x \sin x\,\mathrm{d}x = \sin x - x \cos x + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int x \cos x\,\mathrm{d}x = x \sin x + \cos x + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int x \tan x\,\mathrm{d}x = \frac i2[\mathrm{Li}_2(-e^{2ix})+x\{x+2i \ln(1+e^{2ix})\}]+ \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int x \csc x\,\mathrm{d}x = -2i\,\mathrm{Li}_2(e^{ix}) + \frac i2\mathrm{Li}_2(e^{2ix}) - 2x\,\mathrm{artanh}\,e^{ix} + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int x \sec x\,\mathrm{d}x = i\{\mathrm{Li}_2(-ie^{ix}) - \mathrm{Li}_2(ie^{ix}) - 2x\arctan e^{ix}\} + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int x \cot x\,\mathrm{d}x = x\ln(1-e^{2ix}) - \frac12i\{x^2+\mathrm{Li}_2(e^{2ix})\}+ \mathsf{const.})]

탄젠트, 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트는 조금만 조작이 가해져도 적분이 다소 어려워진다.

위 식에서 [math(\mathrm{Li}_2)]는 폴리로그함수, [math(\arctan)]는 역탄젠트, [math(\mathrm{artanh})]는 역쌍곡선 탄젠트이다.

3.10. 삼각함수와 지수함수의 곱

[math(\displaystyle \int e^x \sin x\,\mathrm{d}x = \frac{\sin x - \cos x}2 e^x + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int e^x \cos x\,\mathrm{d}x = \frac{\sin x + \cos x}2 e^x + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int e^x \tan x\,\mathrm{d}x = ie^x{}_2F_1\biggl(-\frac i2,~1;~1-\frac i2;~-e^{2ix}\biggr) - \frac{2 + i}5 e^{(1+2i)x}{}_2F_1\biggl(1,~1-\frac i2;~2-\frac i2;~-e^{2ix}\biggr) + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int e^x \csc x\,\mathrm{d}x = -(1+i) e^{(1+i)x} {}_2F_1\biggl(\frac{1-i}2,~1;~\frac{3-i}2;~e^{2ix}\biggr) + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int e^x \sec x\,\mathrm{d}x = (1-i) e^{(1+i)x} {}_2F_1\biggl(\frac{1-i}2,~1;~\frac{3-i}2;~-e^{2ix}\biggr) + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int e^x \cot x\,\mathrm{d}x = -ie^x {}_2F_1\biggl(-\frac i2,~1;~1-\frac i2;~e^{2ix}\biggr) - \frac{2+i}5 e^{(1+2i)x} {}_2 F_1\biggl(1,~1-\frac i2;~2-\frac i2;~e^{2ix}\biggr) + \mathsf{const.})]

위 식에서 [math({}_2 F_1)]은 초기하함수이다.

3.11. 타원 적분

[math(\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta} }}\,\mathrm{d}\theta=F(\phi,\,k)+\mathsf{const.} \qquad (0 \leq k \leq 1) )]
[math(\displaystyle \int \sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta}}\,\mathrm{d}\theta =E(\phi,k)+\mathsf{const.} \qquad (0 \leq k \leq 1) )]

3.12. 디랙 델타 함수

[math(\displaystyle \int \delta(x)\, \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\mathrm{sgn}\,x+\mathsf{const.}=\mathbf{1}_{\mathbb N_0}+\sf const.)]

3.13. 헤비사이드 계단 함수

[math(\displaystyle \int \theta (x)\, \mathrm{d} x = x\theta (x)+\mathsf{const.} = \frac{x + |x|}{2} + \mathsf{const.}=x\mathbf{1}_{[0,\infty)}+\sf const.)]

3.14. 최대, 최소 정수 함수

[math(\displaystyle \int \lfloor x \rfloor \mathrm{d}x = \dfrac{\lfloor x-1 \rfloor(\lfloor x-1 \rfloor+1)}{2}+\lfloor x \rfloor \{ x \} + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \lceil x \rceil \mathrm{d}x = \dfrac{\lfloor x \rfloor(\lfloor x \rfloor+1)}{2}+ \{ x \}(\lfloor x \rfloor+1) + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \dfrac 1{\lfloor x \rfloor} \mathrm{d}x = H_{\lfloor x \rfloor})][math(+\dfrac 1{\lfloor x \rfloor} (\{x\} -1)+\mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \dfrac 1{\lceil x \rceil} \mathrm{d}x = H_{\lfloor x \rfloor+1})][math(+\dfrac 1{\lfloor x+1 \rfloor} (\{x+1\} -1)+\mathsf{const.})]

[math({x}=x-lfloor x rfloor)]이며 [math(H_x)]는 조화수이다.

3.15. 브링 근호

[math(\displaystyle \int \operatorname{BR}(x)\,{\rm d}x = - \frac{[ \operatorname{BR}(x) ]^6 + 3 [ \operatorname{BR}(x) ]^2}{6} + x \operatorname{BR}(x) + x + {\sf const.})]

3.16. 람베르트 W 함수

[math(\displaystyle \int W(x)\,{\rm d}x = x\left[ W(x)-1+\frac1{W(x)} \right]+{\sf const.})]

4. 기타

[math(\displaystyle\int\{f(x) \pm f'(x)\}e^{ \pm x}\;{\rm d}x=\pm f(x)e^{\pm x}+\mathsf{const.}\quad)] (복부호 동순)
[math(\displaystyle\int{}f(ax+b)\;{\rm d}x=\frac{1}{a}F(ax+b)+\mathsf{const.})]
[math(\displaystyle\int{}f'(x) \cdot e^{f(x)}\;{\rm d}x=e^{f(x)}+\mathsf{const.})]

5. 관련 문서

[1] 이런 표기를 쓰는 이유는 아래의 프레넬 코사인 함수의 이름자가 적분상수로 자주 쓰이는 표기인 [math(C)]와 겹치기 때문.[2] 어차피 역도함수인 걸 아니까 일부 서적에서는 상수는 빼고 적어 놓는 경우도 있다.[3] 어떤 연산자가 분배 법칙 및 상수배 성질을 만족시키는 경우 선형성이 있다고 하며, 이런 형태의 결합을 선형결합(linear combination)이라고 한다.[4] 탄젠트 함수, 코탄젠트 함수, 쌍곡 탄젠트 함수, 쌍곡 코탄젠트 함수의 적분이 여기서 유도된다.[5] [math(\rm artanh)] 함수의 정의역은 [math((-1,1))]이므로, 일반적인 경우에는 자연로그가 포함된 전자의 공식을 써야 한다. 혹은 [math(\mathbb R \setminus [-1,\,1] )] 부분을 [math(\rm arcoth)]로 해서 조각적으로 정의하는 방법도 있다.[6] 처음의 [math(D>0)]인 경우 공식과 이 공식이 같은 공식이라 생각하면, [math(i\arctan(x)={\rm artanh}(ix))]를 얻을 수 있고, 여기서 [math(\tanh(i\theta)=i\tan\theta)]를 유도할 수 있다. [math(\tanh)] 함수의 정의를 활용하면 여기서 오일러 공식까지 얻어낼 수 있다. 요한 베르누이가 1702년경 이 방법으로 해당 공식을 얻을 뻔했으나, 복소 로그에 대한 이해 부족으로 공식 완성까지는 못 한 것으로 여겨진다.[7] [math(+)]인 경우 한정으로 [math(\displaystyle \int \sqrt{x^2+ a^2} \, \mathrm dx=\frac12 \left[ x\sqrt{x^2+ a^2} + a^2\,{\rm arsinh}\left(\frac{x}{a}\right)\right] +\sf const.)]로도 계산 가능하다.[8] 복소로그함수의 성질로부터 유도된 식인데, 복소수 [math(z)]의 편각 [math(\arg z)]가 다가함수, 그러니까 엄밀히는 [math(e^{\left(\pi+2n\pi\right)i}=-1)]이기 때문에 이렇게 정의하지 않으면 부정적분이 하나로 정의되지 않는다.[9] 이 편각의 범위를 주요값(principal value)이라고 하고 이렇게 정의된 복소로그함수는 [math(\mathrm{Log})]로, 편각은 [math(\text{Arg})]로 나타낸다. [math(\mathrm{Ln})]이 아닌 이유는 복소로그함수 참조.[10] 그런데 [math(a <0)]일 때 [math(\operatorname{Log} a = \ln|a| + i\pi)]라서 [math(a>0)]일 때의 식과 다를 게 없다. 사실 [math(\operatorname {Log})] 자체를 그렇게 정의하기도 했고.[11] 이 역시 [math(\operatorname{Log}i = \dfrac \pi2)]와 [math(e^\frac {i\pi}2=i)]에 의하면 [math( -i\dfrac2\pi \operatorname{cis}\left(\dfrac{\pi x}2 \right)=\dfrac {i^x}{\operatorname{Log}i})]이다.[A] 단순히 부호 함수를 이용해서 나타낼 수도 있겠으나, 이럴 경우 [math(x=n\pi \; (n \in \mathbb{N}))]에서 미분이 불가능하다는 문제가 생긴다.[A] [14] [math(\mu)]는 [math(x)]절편인 라마누잔-졸트너 상수로 [math(-\Gamma(0,\ln 2)-i\pi)]이다.

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