1. 개요
어림은 복잡한 수를 간단히 표현하기 위해 대략적인 범위를 추정하는 것을 가리킨다. 추산(推算), 개산(槪算), 견적(見積)이라고도 한다. 수학에서의 어림은 일의 자리부터 시작하여 그 정도에 따라 정한 자리까지 모두 0으로 표시함을 일컫는다.[1] 예를 들어 99,999을 '대략 100,000'으로 대신 쓰는 것이다. 어림을 통해 얻는 값을 '근삿값(어림값, 어림수)'라고 한다.2. 어림의 종류
어림하는 방법은 크게 올림, 버림, 반올림 세 가지가 있다. 어림을 구하려는 수와 자릿수를 받기 때문에 셋 모두 이변수함수이다.2.1. 올림
| [math({\rm roundup}(x;\,n) = 10^{-n} \lceil10^n x\rceil)] |
| 올림 함수.[2] |
예) 24115 => 25000
2.2. 버림
| [math({\rm rounddown}(x;\,n) = 10^{-n} \lfloor10^n x\rfloor)] |
| 버림 함수.[3] |
예) 24115 => 24000
2.3. 반올림
2.4. 도함수를 이용한 어림
3. 어림하는 자리를 표현하는 방법('에서'와 '까지')
어림하는 자리를 표현하는 방법은 '에서'와 '까지' 두 가지가 있다.'에서'와 '까지'는 'from'과 'until'의 번역언데 'until'은 한국어로 '전까지'가 맞다. 따라서 어림에서의 '에서'는 해당 자리까지 포함하고 '까지'는 해당 자리 전까지[4] 포함한다고 생각하면 된다.
가령, 만의 자리에서 어림하라는 것은, 일의 자리부터 만의 자리까지 0으로 표시하라는 것이다. 반면, 만의 자리까지 어림하라는 것은, 만의 자리 바로 오른쪽 자리까지, 즉 천의 자리까지만 0으로 표시하라는 것이다. 곧,
[math(10^
n-1)]의 자리에서 어림하라=[math(10^{n})]의 자리까지 어림하라([math(n)]은 정수)가 된다.
이게 헷갈리면 다르게 생각해볼 수도 있다.
가령, 만의 자리에서 어림한 수를 읽으면, '십만'으로 끝난다. 123456을 만의 자리에서 올림하면 200000, 즉 '이십만'이 되어 '십만'으로 끝난다. 만의 자리까지 어림한 수를 읽으면, 130000, 즉 '십삼만'이 되어 '만'으로 끝난다. 곧, 어떤 자리까지 어림한 수는 읽으면 그 자리로 끝난다고 생각하면 된다. 그러나 이 방법은 소수점 이하 자리에서는 통하지 않는다. 소수점 이하 자리를 읽을 때는 자릿수를 부르지 않기 때문이다.
4. 올림, 버림, 반올림의 관계
일반적인 반올림은 0, 1, 2, 3, 4에서는 버리고 5, 6, 7, 8, 9에서는 올리는 어림이기 때문에 0, 1, 2, 3, 4에서는 버림과, 5, 6, 7, 8, 9에서는 올림과 결과가 같아진다.위의 정의에 바닥 함수, 천장 함수가 들어가는데, 바닥 함수는 아래의 무한급수[5]
[math(\displaystyle \left\lfloor x\right\rfloor=x-\frac12 +\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(2n\pi x)}{n\pi}\quad\left(x\notin\mathbb Z\right))]
으로 정의되며, 천장 함수는 바닥 함수를 원점에 대칭시켜 유도할 수 있기 때문에[6] 어림은 해석학의 맥락으로 볼 수 있는 것이다. 이는 미분으로 어림하기를 배울 때 더더욱 명확해진다.
5. 여담
- 초등학교 5학년 2학기 1단원 <수의 범위와 어림하기>에 나오는 개념이다. 초등학교 4학년 때 만(10000, 104)부터 천조(1000000000000000, 1015)까지의 십진수인 큰 수를 배우고 나서 어림을 배운다.