1. 개요
이중 타원 전이(Bi-elliptic transfer)이중 타원 전이는 반으로 잘린 두 개의 타원궤도를 거쳐 목표 궤도에 도달하여 두 궤도 사이를 이동하는 방법이다. 전이에 걸리는 시간이 길고 세 번의 점화가 필요하다는 단점이 있으나, 조건에 따라 호만 전이보다 더 적은 연료로 이동할 수 있다.
2. 상세
2.1. 계산
분석에 앞서, 초기 궤도와 목표 궤도는 평면상의 원 궤도이며, 목표 궤도의 반지름이 초기 궤도보다 크다고 가정하자. 그림과 같이, 물체가 있는 초기 원 궤도의 반지름은 [math(r_1)]이라 하자. 궤도 상의 임의의 점 [math(\rm A)]에서 물체가 순간적인 [math(\Delta v_1 > 0)]의 속력 변화를 받으면 물체의 궤도는 초기 원 궤도에서 타원 궤도로 변하게 된다. 이 타원 궤도의 원지점 거리를 [math(r_a)]라고 하자. 전이 항로를 정할 때 [math(r_a)]값은 자유롭게 정할 수 있다. 물체가 첫번째 전이 타원 궤도의 원지점 [math(\rm B)] 에서 접선 방향으로 순간적인 [math(\Delta v_2 > 0)]의 속력 변화를 받고 궤도의 근지점 거리는 [math(r_1)]에서 목표 원 궤도의 반지름인 [math(r_2)]로 증가하게 되어, 물체의 궤도는 두번째 전이 타원 궤도로 변하게 된다. 물체가 두번째 전이 타원 궤도의 근지점 [math(\rm C)]에서 접선 방향으로 순간적인 [math(\Delta v_3 < 0)]의 속력 변화를 받고 궤도의 원지점 거리가 [math(r_a)]에서 [math(r_2)]로 감소하게 되면 최종적으로 물체는 목표 원 궤도에 도달하게 된다.
첫번째 전이 궤도의 긴반지름은 [math(a_1 = \dfrac{r_1+r_a}{2})], 두번째 전이 궤도의 긴반지름은 [math(a_2 = \dfrac {r_2+r_a}{2})]이다. 활력 방정식 [math(v^2 = GM\left(\dfrac {2}{r} - \dfrac {1}{a}\right))]과 물체의 고도 [math(r)], 표준 중력 변수 [math(GM)], 긴반지름 [math(a)]를 이용해 속력을 계산하여 필요한 [math(\Delta v)]의 값들을 다음과 같이 계산할 수 있다.
[math(\Delta v_1 = \sqrt{\dfrac {2GM}{r_1} - \dfrac {GM}{a_1}} - \sqrt \dfrac {GM}{r_1})]
[math(\Delta v_2 = \sqrt{\dfrac {2GM}{r_a} - \dfrac {GM}{a_2}} - \sqrt{\dfrac {2GM}{r_a} - \dfrac {GM}{a_1}})]
[math(\Delta v_3 = \sqrt{\dfrac {2GM}{r_2} - \dfrac {GM}{a_1}} - \sqrt \dfrac {GM}{r_2})]
[math(r_a=r_2)]일 때의 항로는 호만 전이와 같게 되며 [math(\Delta v_3=0)]이 되는 것을 볼 수 있다. 따라서 이중 타원 전이는 호만 전이를 특수한 경우로서 포함하는 더 일반적인 항법이라 할 수 있다.
[math(r_a = \infty)]일때 총 [math(\Delta v)]는 최소값을 가지며, 이 값은 [math(\sqrt \dfrac{GM}{r_1} \left(\sqrt 2-1\right)\left(\sqrt \dfrac {r_1}{r_2}+1\right))]로 간략화된다.
전이에 걸리는 시간도 구해보자. 이를 위해 케플러 3법칙 [math(T = 2\pi \sqrt \dfrac {a^3}{GM})]을 이용할 수 있다. 이중 타원 전이에서는 전이 타원 궤도의 절반만 돌기 때문에 도는데 걸리는 시간도 절반이 되는 것에 유의하여 시간을 구하면
[math(t_1 = \pi \sqrt \dfrac {a_1^3}{GM}\ ,\ t_2 = \pi \sqrt \dfrac {a_2^3}{GM})]
따라서 걸리는 총 시간은
[math(t = t_1 + t_2 = \pi \sqrt \dfrac {a_1^3}{GM} + \pi \sqrt \dfrac {a_2^3}{GM})]
또한, 긴반지름은 전이 타원 궤도의 원지점 거리와 목표 궤도 또는 초기 궤도의 반지름으로 나타낼 수 있으므로 이를 대입하면,
[math(t = \pi\left(\sqrt \dfrac {(r_1+r_a)^3}{8GM} - \sqrt \dfrac {(r_2+r_a)^3}{8GM}\right))]