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1. 개요
Delta-v, [math(\Delta v)]항공우주공학 용어로, 우주선이 목표 기동을 위해 필요한 추력의 총량을 속도 단위로 환산한 것이다. 쉽게 말해 우주선이 목적지까지 가는 데 필요한 연료 예산을 나타낸다.
예를 들어 현재 5km/s로 이동 중인 우주선이 3km/s의 델타 V를 보유하고 있다면, 이 델타 V를 진행 방향으로 전부 사용할 경우 속도를 최대 8km/s까지 높일 수 있고, 반대 방향으로 전부 사용할 경우 속도를 최소 2km/s까지 낮출 수 있다.[1] 또한 방향 회전을 할 때도 추력이 필요하므로 델타 V를 소모하게 된다. 만약 중간에 델타 V를 모두 소모하여 0이 되면 조종이 아예 불가능해진다.
따라서 델타 V를 이용하면 우주선이 어떤 기동까지 수행 가능한지, 즉 목적지까지 도달할 수 있는지 여부를 미리 판단할 수 있다. 예를 들어 로켓이 지구에서 탈출하려면 델타 V가 탈출 속도보다 커야 한다. 또한 지구에서 출발하여 달에 착륙하는 것보다 화성에 착륙하는 것이 훨씬 높은 델타 V를 요구한다.
속도 변화량(change in velocity)이라고도 하는데, '우주선을 얼마나 밀어야 하는가'는 곧 '얼마나 속도가 변하는가'를 의미하기 때문. 따라서 델타 V의 단위는 속도의 단위와 같다.
2. 정의
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Delta v=\int_{t_1}^{t_2} \frac{|\mathbf{T}(t)|}{m(t)} \,dt \end{aligned} )]
- [math(t)] : 시간.
- [math(\mathbf{T}(t))] : 시간 [math(t)]에서 로켓의 추력.
- [math(m(t))] : 시간 [math(t)]에서 로켓의 질량. 로켓은 연료를 태울수록 가벼워진다.
이때, [math(t)]의 단위를 초([math(\text s)]), [math(\mathbf{T}(t))]의 단위를 [math(\pu{kg\cdot m/s^2})][2], [math(m(t))]의 단위를 [math(\text{kg})]이라고 놓으면 [math(\Delta v)]의 단위는 [math(\text{m/s})]가 된다.
3. 변형
델타 V의 정의식에서 [math(\mathbf{T})]는 추력이므로 [math(\mathbf{T}(t) = \mathbf{v_e} \cdot dm/dt)][3]으로 놓을 수 있다. 로켓은 연료를 소모하며 시간에 따라 질량이 감소하므로 [math(dm/dt < 0)]이고, 스칼라 값인 [math(|\mathbf{T}(t)|)]는 음수가 될 수 없으므로 다음과 같이 쓸 수 있다.[math(\displaystyle |\mathbf{T}(t)| = -v_e \frac{dm}{dt} )]
이를 델타 V의 정의식에 대입하면,
[math(\displaystyle \Delta v = \int_{t_1}^{t_2} \frac{|\mathbf{T}(t)|}{m(t)}\, dt = \int_{t_1}^{t_2} \frac{-v_e \frac{dm}{dt}}{m(t)}\, dt = -v_e \int_{t_1}^{t_2} \frac{1}{m(t)} \frac{dm}{dt}\, dt )]
우변의 적분은 치환적분을 통해 질량에 대한 적분으로 바꿀 수 있다. 시간 [math(t_1)], [math(t_2)]에서의 로켓 질량을 각각 [math(m_i)](초기 질량), [math(m_f)](최종 질량)라 하면,
[math(\displaystyle \Delta v = -v_e \int_{m_i}^{m_f} \frac{1}{m}\, dm = -v_e \left[ \ln m \right]_{m_i}^{m_f} = -v_e (\ln m_f - \ln m_i) )]
이를 정리하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Delta v = v_e \ln \left( \frac{m_i}{m_f} \right) \end{aligned})]
가 되며, 이는 치올콥스키 로켓 방정식과 같다. 이 식은 로켓의 배기 속력([math(v_e)])과 초기·최종 질량비([math(m_i/m_f)])로 로켓이 낼 수 있는 델타 V를 계산할 수 있음을 보여주며, 로켓 설계 시 필요한 연료의 양을 산출하는 데 사용된다.
4. 기타
- 델타 V의 정의식은 로켓에 추력만 적용하는 이상적인 상황을 가정한 것이다. 따라서 중력이나 공기저항 같은 다른 힘은 전혀 고려하지 못하는데, 이를 보완하기 위해 중력 손실이나 항력 손실과 같이 실제 발사 과정에서 발생하는 손실들도 마치 하나의 기동인 것처럼 델타 V 예산에 포함시켜 계산한다. 예를 들어 지구 저궤도에 도달하는 데 필요한 이상적인 궤도속도(약 7.8km/s)에 중력손실(약 1~1.5km/s), 항력손실(약 0.1~0.3km/s) 등을 더해 실제 발사에 필요한 델타 V 예산(약 8.9~9.6km/s)을 산출한다.
- Kerbal Space Program에서도 나온다. 잘 이용하면 내가 만든 우주선이 어디까지 날아갈지 감을 잡을 수 있다.
[1] 다만 실제로는 중력이나 공기저항 등 로켓에 추력 외에 다른 힘도 작용하므로, 델타 V가 실제 우주선의 속도 변화량과 항상 일치하는 것은 아니다.[2] 뉴턴([math(\text N)]) 단위와 같다.[3] [math(\mathbf{v_e})]는 로켓 연료로 쓰이는 추진제의 배기 속도(exhaust velocity)이며, 이는 시간에 따라 일정하다고 가정한다.