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1. 개요
특정 물리량의 차원을 정의하기 위해 기본적인 도량형으로 분해하는 것. 차원해석이라고도 한다.도량형을 쓰다 보면 상당수의 도량형이 기본적인 물리량[1]의 곱 또는 몫으로 이뤄져 있음을 알 수 있는데, 이를 각 차원으로 분해하는 것을 차원분석이라고 한다. 가령 연비는 (달린 거리)[math(\div)](소모한 연료 부피)로 정의되며 각각의 차원은 [math(\sf L)], [math(\sf L^3)]이므로 연비의 차원은 [math(\sf \dfrac L{L^3} = L^{-2})]이 된다.[2][3]
주의할 점은 차원분석의 결과가 해당 도량형의 본래 의미와는 같지는 않다는 점이다. 가령 허블 상수[4]를 차원분석하면 [math(\sf T^{-1})]이라는 차원이 나오지만, 해당 물리량의 단위로 똑같이 [math(\sf T^{-1})]인 [math(rm Hz)]나 [math(rm Bq)]을 붙일 수 없다. 또한 위의 연비도 넓이와는 하등 관계가 없는 물리량이다.
차원분석은 또한 실험의 규모가 너무 커 결과를 도출하기 매우 어려운 경우에, 이를 작은 규모의 실험으로 대체한 후 무차원수의 일치 여부를 비교하여 적은 비용으로도 큰 규모의 실험 결과를 예측할 수 있게 만들어주는 도구로도 쓰인다. 유체역학에서 자주 등장하는 레이놀즈수가 무차원수의 예시 중 하나이다.
한국에서는 생소하게 비춰질 수 있는 개념이라[5], 이로 인해 우주의 팽창에 관하여 같은 병폐가 나오기도 한다.
2. 무차원화
nondimensionalization차원분석을 통해 특정 현상(계, system)로 부터 무차원량을 도출하는 것을 무차원화라고 한다. 이렇게 도출된 무차원량은 현상을 분석하고 비교하는 데 유용하게 쓰인다. 가령 항공기 축소모형의 풍동실험의 경우, 항공기 주변 공기의 흐름(유동)과 풍동 내 유동의 레이놀즈 수를 같게 하면 정확한 결과를 얻을 수 있다. (유동의 상사성, similarity)
또한, 어떤 물리법칙을 나타내는 방정식은 양변의 차원이 일치한다. 이를 이용해, 구하고자 하는 물리량의 차원과 그 물리량에 영향을 주는 변수와 상수들의 차원을 안다면 변수와 상수들의 관계를 파악할 수 있다. 다만 구체적인 비례 상수의 값은 도출시킬 수 없다.
많은 변수들을 기본 차원과 무차원 변수들로 줄여 해석할 수 있어 계산에 변수가 많은 유체역학에서는 주요한 방법으로 자리잡았다.
3. 레일리의 방법
Rayleigh's method영국의 수학자이자 물리학자인 존 윌리엄 스트러트 '제3대 레일리 남작'(John William Strutt, 3rd Baron Rayleigh, 1842 ~ 1919)에 의해 고안된 방법으로, 미지의 물리량이 다른 독립 변수적인 물리량을 이용하여 어떤 꼴의 수식으로 표현될지를 대략적으로 가늠할 수 있게 해주는 방법이다.
미지의 물리량 [math(q)]가 다른 독립 변수적인 물리량 [math(q_i)]들의 영향을 받는다고 할 때, 수학적으로 [math(q)]는 [math(q_i)]들을 이용한 함수 [math(q = g(q_1,\,q_2,\cdots,\,q_n))]꼴로 표현할 수 있다. 이때 물리량은 근본적으로 차원을 내포하고 있으므로 양변의 차원 역시 자명하게 같아진다. 즉
| [math(\dim q = \dim g(q_1,\,q_2,\cdots,\,q_n))] |
[math(g)]는 기본적으로 [math(q_i)]들의 사칙연산으로 표현되는 함수일 것[6]이나 차원 문서에도 나타나있듯, 차원이 다른 물리량끼리는 덧셈 및 뺄셈 연산으로 나타낼 수 없고(차원 동차성의 원리), 이는 달리 말하자면 [math(g)]가 여러 항들의 합으로 표현된다 하더라도 각항의 차원이 모두 같다는 것을 의미한다. 따라서 [math(g)]를 곱셈/나눗셈으로만 구성된 함수인 경우로 간소화하면 [math(q)]를 [math(q_i)]들로 표현했을 때의 지수 관계식을 유추할 수 있고 대략적인 식의 형태를 알아낼 수 있다.
단, 이 방법으로는 [math(g)]에 무차원량의 계수가 포함되는지 아닌지, 포함된다면 몇 개의 무차원량이 포함되는지에 대한 정보까지는 알아낼 수 없다는 단점이 있다.
3.1. 예시1: 단진자의 주기
실의 길이가 [math(l)], 추의 무게가 [math(w)]인 단진자가 중력가속도가 [math(g)]인 진공[7] 중에서 운동하는 상황을 가정하자. 이때 주기 [math(T)]를 구하여 보자.먼저, 각 물리량들의 차원을 살펴보면
| [math(\begin{aligned} \dim l &= {\sf L} \\ \dim w &= {\sf\frac{ML}{T^2} = MLT^{-2}} \\ \dim g &= {\sf \frac{L}{T^2} = LT^{-2}} \\ \dim T &= {\sf T}\end{aligned})] |
이제 임의로 [math(T)]가 [math(l)], [math(w)], [math(g)]의 곱으로 표현된다고 가정하여 [math(T = l^\alpha w^\beta g^\gamma)]라 놓으면 차원 동차성의 원리에 따라 양변의 차원이 같아야 하므로
| [math(\begin{aligned} \dim T &= \dim{\left(l^\alpha w^\beta g^\gamma\right)} \\ \Rightarrow \sf T &= \sf L^\alpha{\left(MLT^{-2}\right)}^\beta{\left(LT^{-2}\right)}^\gamma \\ &= \sf M^\beta L^{(\alpha+\beta+\gamma)}T^{-2\beta-2\gamma}\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned}T &= l^{\frac12}w^0g^{-\frac12} \\ &= \sqrt{\dfrac lg}\end{aligned})] |
| [math(T = 4\sqrt{\dfrac lg}K{\left(\sin\dfrac{\underline{\theta_0}}2\right)})] |
4. 버킹엄의 π 정리와 파이 방법
Buckingham's Pi theorem상기 레일리의 방법에 선형대수학의 차원 정리를 도입하여 체계화한 것으로 1914년에 에드가 버킹엄(Edgar Buckingham, 1867 ~ 1940)에 의해 정립되었다. 개념의 최초 증명 자체는 1878년에 프랑스의 수학자 조제프 베르트랑(Joseph Bertrand, 1822 ~ 1900)에 의해 전기역학과 열전도의 문제에 관한 특수한 경우들에 한하여 이루어진 것으로 알려져 있고, 사실 버킹엄 이전에도 정식으로 일반화한 수학자들은 여럿 있었으나 무차원량을 의미하는 [math(\pi)][9]를 이용하여 정립한 것은 버킹엄이 최초이다.
정성적으로는 다음과 같이 표현할 수 있다.
물리학적으로 의미가 있는 어떤 방정식이 [math(n)]개의 독립적인 물리량으로 표현되며 해당 방정식을 구성하는 기저 차원이 [math(k)]개라고 할 때, 그 방정식은 [math(p = n-k)]개의 무차원량 매개변수 [math(\pi_1,\,\pi_2,\cdots,\,\pi_p)]를 포함하는 식으로 바꿔쓸 수 있다.
좀 더 수학적인 방식으로 서술하면 다음과 같다.[math(n)]개의 독립 변수인 물리량 [math(q_i)]가 다음과 같은 관계식
을 만족하고 해당 관계식을 구성하는 기저 차원이 [math(k)]개라고 할 때, 위 관계식은 [math(p = n-k)]개의 무차원량인 [math(\pi_i)]를 이용하여
으로 나타낼 수 있고, 이때 [math(\pi_i)]는 다음을 만족한다.
(단, [math(a_i)]는 유리수)
이 정리 덕분에 주어진 물리 변수들 간의 구체적인 관계식을 모르더라도 해당 방정식을 구성하는 무차원량을 찾을 수 있고, 방정식을 구성하는 변수가 간략화된다는 특징이 있기 때문에 해석이 좀 더 용이해진다.| [math(f(q_1,\,q_2,\cdots,\,q_n) = 0)][10] |
| [math(F(\pi_1,\,\pi_2,\cdots,\,\pi_p) = 0)] |
| [math(\displaystyle\pi_i = \prod_{i=1}^n{q_i}^{a_i})] |
단, 물리량이나 차원을 배열하는 순서에 따라 얻어지는 [math(\pi_i)]는 천차만별인데다 이렇게 얻어진 무차원량이 물리학적으로 꼭 어떤 의미를 갖는다는 보장은 없다. 처음에 관계식을 구성할 때 누락되거나 무시되는 물리량이 있다면 무차원량의 개수도 그만큼 줄어들고, 1차원의 변위가 아닌 3차원의 공간 좌표 각각을 독립된 변수로 다루게 되면 거꾸로 그만큼 무차원량의 개수가 늘어나기 때문이다. 버킹엄의 [math(\pi)] 정리는 어디까지나 무차원량을 찾는 여러 방법 중 하나를 알려주는 것에 불과하다.
증명을 위해서는 유리수체 위에 정의된 벡터 공간 [math(\mathbb R^{k\times n})]에 속하는 차원 행렬 [math(M)]을 먼저 정의할 필요가 있다. [math(M)]의 [math(j)]번째 열벡터는 분석하고자 하는 방정식에서 [math(j)]번째 물리량이 갖는 기저 차원의 지수를 성분으로 갖는다고 하자. 앞선 단진자의 경우를 예로 들면, 기저 차원은 [math(\sf M)], [math(\sf L)], [math(\sf T)]이고 물리량은 [math(l)], [math(w)], [math(g)], [math(T)]이므로 이 순서대로 행과 열을 나열하여 차원 행렬 [math(M)]을 만들어보면
| [math(\begin{aligned}\dim l &= \sf L \\ \dim w &= \sf MLT^{-2} \\ \dim g &= \sf LT^{-2} \\ \dim T &= \sf T \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \begin{pmatrix} & l & w & g & T \\ \sf M & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \sf L & 1 & 1 & 1 & 0 \\ \sf T & 0 & -2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \\ \therefore M = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -2 & 1\end{pmatrix}\end{aligned})] |
이렇게 벡터 공간을 정의하면 무차원량은 기저 차원의 지수가 모두 0이므로 해당 벡터 공간의 영벡터([math(\bf0)])에 해당하며 [math(M{\bf a} = {\bf0})] (단, [math({\bf a} \ne {\bf0})]), 즉 [math(M)]을 영벡터로 만드는 영공간(kernel, 핵) [math(\bf a)]의 존재 여부를 고려해볼 수 있다. 핵이 존재할 경우 그 성분을 그대로 대응되는 원래 물리량의 지수에 대입하면 차원이 모두 약분된 무차원량을 얻을 수 있게 된다.
한편, 계수-퇴화차수정리에 따라
| [math(\operatorname{rank}M + \ker M = n)] |
만약 [math(n = k)]이라서 [math(p=0)], 즉 무차원량이 없다는 결론이 나올 경우 차원 행렬 [math(M)]의 모든 열벡터가 독립인 것과 동치이기 때문에 애초에 방정식 자체가 잘 정의되지 않는다.[11] 이런 경우 해당 방정식에 영향을 줄 법한 다른 독립 변수를 찾거나 적당한 차원을 갖는 물리 상수를 도입하면 해결되는 경우가 있다. 즉, 물리학적으로 의미가 있는 방정식이 성립한다면 반드시 [math(p\ge1)]을 만족한다.
다시 앞선 단진자의 예시를 보면, 위에서 구한 [math(M)]은 기본행연산을 통해
| [math(M \rightarrow \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & \dfrac12 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\dfrac12\end{pmatrix})] |
| [math({\bf a} = \begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix})] |
| [math(\pi_1 = l^{-1}w^0gT^2 = \dfrac{gT^2}l)] |
4.1. 예시2: 레이놀즈 수 유도
유체의 평균 속도 [math(v)]는 유체의 특성 길이 [math(D)], 유체의 점성계수 [math(\mu)], 유체의 밀도 [math(\rho)]의 영향을 받는다고 하자.각 물리량의 차원을 분석해보면
| [math(\begin{aligned} \dim v &= \sf LT^{-1} \\ \dim D &= \sf L \\ \dim\mu &= \sf ML^{-1}T^{-1} \\ \dim\rho &= \sf ML^{-3} \end{aligned})] |
| [math(M = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -3 \\ -1 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix})] |
| [math({\bf a} = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix})] |
| [math(\pi_1 = vD\mu^{-1}\rho = \dfrac{\rho vD}\mu)] |
4.2. 예시3: 유체 속의 매끄러운 구형 물체가 받는 항력
밀도 [math(\rho)], 점성계수 [math(\mu)], 유속 [math(v)]로 흐르는 유체 속에 지름이 [math(d)]이고 표면이 매끄러운[12] 구형의 물체가 받는 항력 [math(D)]를 구해보자.각 물리량의 차원을 분석해보면
| [math(\begin{aligned} \dim \rho &= \sf ML^{-3} \\ \dim\mu &= \sf ML^{-1}T^{-1} \\ \dim v &= \sf LT^{-1} \\ \dim d &= \sf L \\ \dim D &= \sf MLT^{-2} \end{aligned})] |
따라서 차원 행렬 [math(M)]은 다음과 같고 기본행연산을 해주면
| [math(M = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ -3 & -1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0\end{pmatrix})] |
| [math({\bf a_1} = \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix},\,{\bf a_2} = \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix})] |
| [math(\begin{aligned}\pi_2 &= \frac{{\pi_1}^2\cancel\rho D}{\rho^{\cancel2}v^2d^2} = {\pi_1}^2\frac D{\rho v^2d^2} \\ \therefore D &= \frac{\pi_2}{{\pi_1}^2}d^2\rho v^2\end{aligned})] |
| [math(D = \dfrac12C_D\dfrac{\pi d^2}4\rho v^2)] |
덧붙여 [math(\pi_1)]은 앞선 예시2에서 구한 레이놀즈 수 [math(Re = \cfrac{\rho vD}\mu)]의 형태와 똑같다는 것을 알 수 있는데, [math(C_D = \cfrac8\pi\dfrac{\pi_2}{{\pi_1}^2} = \cfrac8\pi\cfrac{\pi_2}{Re^2})]에서 항력 계수가 레이놀즈 수를 변수로 삼는 함수임을 유추할 수 있는 대목이다.
4.3. 예시4: 감쇠진동
감쇠진동의 운동방정식은 질량 [math(m)], 감쇠계수 [math(c)], 용수철상수 [math(k)]를 이용하여 다음과 같이 나타내어진다.| [math(m\ddot x + c\dot x + kx = 0)] |
| [math(\ddot x + \dfrac1\tau\dot x + \underline\omega^2x = 0)] |
[math(\dim m = {\sf M})], [math(\dim c = {\sf MT^{-1}})], [math(\dim k = {\sf MT^{-2}})]이며 차원 행렬 및 기본 행연산으로 얻어지는 행렬과 핵은 다음과 같으므로
| [math(M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix} \\ \therefore {\bf a} = \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix})] |
| [math(\chi''(t_{\rm N}) + 2\zeta\chi'(t_{\rm N}) + \chi(t_{\rm N}) = 0)] |
5. 입슨의 방법
Ipsen's method캘리포니아 대학교 버클리 캠퍼스의 공학 연구원이던 데이비드 입슨(David C. Ipsen)이 자신의 저서 《단위, 차원, 그리고 무차원 수》(Units, Dimensions, and Dimensionless numbers, 1960)에서 제시한 방법으로, 각 차원을 가진 변수들을 각각 약분함으로서 무차원 변수를 찾아 내는 방법이다. 버킹엄의 [math(\pi)] 정리를 실전에서 좀 더 간편하게 쓸 수 있도록 고안된 방법이라 볼 수 있다.
이를 이용해 변수 간의 자세한 관계를 모르더라도 현상에 관여하는 무차원 변수를 간단히 찾아 처리해야 할 변수를 줄이거나 상사성을 파악할 수 있다.
5.1. 예시5: 직사각형 판에 작용하는 양력
아래 도식과 같이 시위의 길이가 [math(c)], 폭이 [math(s)]인 직사각형 날개가 점성계수 [math(\mu)], 밀도 [math(\rho)], 속력이 [math(u)]인 유동 속에 [math(\alpha)]의 받음각으로 놓여 있으며, 양력 [math(L)]이 판에 작용한다. 이때 이 계의 무차원 변수를 찾아보자. 단, 풍동 속의 무한날개를 가정하여 익단와류에 의한 효과는 무시한다.| |
| 유동 속의 날개 |
| [math(\begin{aligned} \dim \alpha &= \sf 1 \\ \dim c &= \sf L \\ \dim s &= \sf L \\ \dim u &= \sf\dfrac LT = LT^{-1} \\ \dim \mu &= \sf\dfrac M{LT} = ML^{-1}T^{-1} \\ \dim \rho &= \sf\dfrac M{L^3} = ML^{-3} \\ \dim L &= \sf\dfrac{ML}{T^2} = MLT^{-2} \end{aligned})] |
이 계에서 [math(L)]이 도출되는 임의의 함수 [math(f)]를 상정하고 각 물리량의 차원을 나타내보면
| [math(\underset{\normalsize\sf[MLT^{-2}]}L = f(\underset{\normalsize\sf[1]}\alpha,\,\underset{\normalsize\sf[L]}c,\,\underset{\normalsize\sf[L]}s,\,\underset{\normalsize\sf[LT^{-1}]}u,\,\underset{\normalsize\sf[ML^{-1}T^{-1}]}\mu,\,\underset{\normalsize\sf[ML^{-3}]}\rho))] |
| [math(\underset{\normalsize\sf[L^4T^{-2}]}{\dfrac L\rho} = f\underset{\normalsize}{\biggl(}\underset{\normalsize\sf[1]}{\alpha\dfrac{\!}{\!}\!},\,\underset{\normalsize\sf[L]}{c\dfrac{\!}{\!}\!},\,\underset{\normalsize\sf[L]}{s\dfrac{\!}{\!}\!},\,\underset{\normalsize\sf[LT^{-1}]}{u\dfrac{\!}{\!}\!},\,\underset{\normalsize\sf[L^2T^{-1}]}{\dfrac\mu\rho},\,\cancel\rho\biggr))] |
| [math(\underset{\normalsize\sf[L^2]}{\dfrac L{\rho u^2}} = f\underset{\normalsize}{\biggl(}\underset{\normalsize\sf[1]}{\alpha\dfrac{\!}{\!}\!},\,\underset{\normalsize\sf[L]}{c\dfrac{\!}{\!}\!},\,\underset{\normalsize\sf[L]}{s\dfrac{\!}{\!}\!},\,\cancel u,\,\underset{\normalsize\sf[L]}{\dfrac\mu{\rho u}}\biggr))] |
| [math(\underset{\normalsize\sf[1]}{\dfrac L{\rho u^2c^2}} = f\underset{\normalsize}{\biggl(}\underset{\normalsize\sf[1]}{\alpha\dfrac{\!}{\!}\!},\,\cancel c,\,\underset{\normalsize\sf[1]}{\dfrac sc},\,\underset{\normalsize\sf[1]}{\dfrac\mu{\rho uc}}\biggr))] |
[math(\pi_2 = \cfrac sc)]는 날개 폭과 시위의 비로, 날개의 종횡비(aspect ratio, [math(AR)])를 의미한다.
[math(\pi_3 = \cfrac\mu{\rho uc})]에서 날개 시위선의 길이 [math(c)]가 유체의 특성 길이 [math(D)]에 해당하므로 이는 앞서 구했던 레이놀즈 수 [math(Re = \dfrac{\rho uD}\mu)]의 역수꼴임을 알 수 있다. 즉 [math(\pi_3 = \cfrac1{Re})]이다.
[math(\pi_4=\cfrac L{\rho u^2c^2})]은 무차원화된 양력[16]으로, 무차원량인 양력계수 [math(C_L)]을 이용하여 [math(\pi_4 = \cfrac{\pi_2}2C_L)], 직사각형의 넓이 [math(S)]를 이용하여 [math(c^2 = \cfrac{sc}{\pi_2} = \cfrac S{\pi_2})]라 놓으면 양력계수 [math(C_L = \cfrac{2L}{\rho u^2S})]과 같은 꼴이다.
따라서, 임의의 함수 [math(g)]를 이용해 위 식을 다시 쓰면
| [math(C_L = g(\alpha, AR, Re))] |
이제 구한 물리량이 파이 방법의 그것과 동치임을 확인하자. 이 무차원량들은 버킹엄의 [math(\pi)] 정리에서 물리량 벡터 [math({\bf q} = \begin{pmatrix}s & c & u & \mu & \rho & L\end{pmatrix})][17]에 대응하는 차원 행렬
| [math(M = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & -2\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix})] |
| [math({\bf a_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix})], [math({\bf a_3} = \begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix})], [math({\bf a_4} = \begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ -1 \\ -1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix})] |
6. 규격화
복잡한 계산을 간략화하기 위해 특정 물리량이 1(무차원량)이 되도록 계의 물리량을 조정하는 작업. 자연 단위계에서도 비슷한 결과물을 볼 수 있는데, 엄밀하게 따지면 각종 수식에서 특정 상수들([math(c)], [math(hbar)] 등)이 1이 된 것 같은 현상은 결과론적인 부분이고, 본질적으로는 모든 물리량을 무차원화하여 다루는 데에 있다.[18] 앞선 예시에서 감쇠 진동의 운동 방정식을 [math(\chi''(t_{\rm N})+2\zeta\chi'(t_{\rm N})+\chi(t_{\rm N}) = 0)]로 변형하는 것도 고유각진동수 [math(\omega)]를 무차원화하는 단위계를 쓴 것으로 볼 수 있다.[1] 길이, 시간, 질량, 온도, 전류, 광도, 물질량[2] 일본에서는 [math(\rm100\,km)] 주행 당 연료 소비량, 즉 (소모한 연료 부피)[math(\div 100{\rm\,km})]를 의미하는 '연비'(燃費)를 쓰기 때문에 차원이 [math(\sf\dfrac{L^3}L = L^2)]가 되어 한국, 미국, 북유럽 등에서 쓰이는 정의와 정반대가 된다.[3] 연비의 차원량이 넓이라는 것이 말이 안되게 보일 수 있지만 탈것의 경로를 따라 쭉 연로로 이루어진 줄을 이을 때 그 줄의 단면의 넓이가 바로 연비가 된다. xkcd가 이것에 대한 만화를 그린 바 있다.[4] 속도(천체의 후퇴 속도, [math(\sf LT^{-1})])를 길이(천체까지 거리, [math(\sf L)])로 나눈 값이다.[5] 교육과정에서부터 제대로 다루지 않는다.[6] 이론적으로 [math(q_i)]가 무차원량이면 지수나 로그에 [math(q_i)]가 들어가는 연산도 가능하나, 레일리의 방법에서는 기본적으로 [math(q_i)]가 모두 차원을 갖는 물리량이라고 가정하므로 이들은 배제한다.[7] 따라서 공기의 저항이 없다.[8] 물리량을 '추의 질량'으로 바꿔도 같은 결론에 도달한다.[9] 표기가 같은 원주율과는 무관하다.[10] 앞선 레일리의 방법에서 표현된 [math(q = g(q_1,\,q_2,\cdots,\,q_n))]에서 [math(q)]를 우변으로 이항한 형태라고 보면 된다.[11] 이 경우 레일리의 방법을 쓰면 변수가 모자라서 좌우변의 차원이 일치하지 않는다는 결론에 도달한다.[12] 즉 유체와의 마찰이 일어나지 않는[13] 엄밀하게 따지면 각도는 무차원량이 아니지만 국제단위계의 합의에 따라 무차원량으로 다루도록 한다. 아래 분석에서 각도의 차원을 [math(\sf A)]로 다룰 경우, 양력은 [math(\sf A)] 차원이 없으므로 받음각은 각도 그 자체가 아닌 각도의 수치 [math(\alpha/{\rm rad} = \underline\alpha)]의 형태로 운동 방정식에 포함될 것이라는 결론에 도달한다. 실제로 받음각은 운동 방정식에서 삼각함수의 정의역에 포함되는 꼴로 들어가는데 삼각함수가 무차원량이기 때문에 결론적으로 차원 분석을 통해 새로이 얻어지는 무차원량에는 영향이 없다.[14] [math(\mu)]로 규격화해도 똑같은 결론에 도달하기는 한다.[15] 실제로 양력은 유속의 제곱에 비례한다.[16] 정확히는 유체의 관성력 [math(F_i = \rho u^2c^2)]과 양력의 비[17] 받음각 [math(\alpha)]는 무차원량이므로 차원 행렬에서 제외[18] 즉 [math(c\to1)]로 놓는다고 해서 질량의 단위를 [math(rm eV)]로 쓰는 것은 틀린 용법이다. 자연 단위계에서도 여전히 질량의 단위는 [math({\rm eV}/c^2)]로 쓰는 것이 맞고 이렇게 [math(c)]로 나눈 시점에서 이미 규격화를 한 것이기 때문에 [math(c\to1)]을 또 적용하는 것은 자연 단위계의 구축 원리를 잘못 이해한 것에 지나지 않는다.