최근 수정 시각 : 2022-10-12 22:08:11

레이놀즈 수송 정리

유체역학
Fluid Mechanics
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1. 개요
1.1. 1903년 레이놀즈 수송 정리1.2. 레이놀즈 수송 정리의 벡터 계산1.3. 레이놀즈 수송 정리의 일반 밀도 방정식
2. 물질 시간 도함수
2.1. 1903년 물질 시간 도함수 2.2. 물질 시간 도함수와 발산
3. RTT 아이디어4. 관련 문서

1. 개요

레이놀즈 수송 정리(RTT,Reynolds transport theorem)는 물질 (시간) 도함수(material derivative 또는 material time derivative)와 물리량으로 표현되는 유체의 유동에서 자연법칙을 따르는 연속체 시스템(system)과 이것의 시공간속에서의 제어체적(CV,control volume) 변화량이 서로 동등한 관계에서 유효하게 해석될수있다는것을 보여준다.[1][2][가][4]

제어체적(CV,control volume 또는 검사체적)은 자유물체도(Free Body Diagram)와 같이 물리적 법칙들이 선택적으로 제어될 수 있다고 이해할수있다. 레이놀즈 수송 정리(RTT)의 이러한 접근방법은 라그랑주가 발전시킨 라그랑지 시스템(Lagrangian system)과 오일러 방법(Eulerian method)의 미분방정식을 사용하는 제어체적((Eulerian control volume)의 정교한 결합이다.[5][6]

1.1. 1903년 레이놀즈 수송 정리

1903년 오스본 레이놀즈의 레이놀즈 수송 정리 표현식은 아래와 같다.[가]
[math( \dfrac{d}{dt}\left[\sum (QdS)\right] = \sum \left( dS\dfrac{dQ}{dt} \right) + \displaystyle \iiint \begin{Bmatrix} \dfrac{d}{dx}\left(\overline{u}Q \right) + \dfrac{d}{dy}\left(\overline{v}Q \right) +\dfrac{d}{dz}\left(\overline{w}Q \right) \end{Bmatrix}dxdydz )]
[math( \dfrac{d}{dt}\left[\sum (QdS)\right] = \dfrac{d}{dt} \left(\int Q dS\right) )]는 질량 보존법칙,일-에너지 정리 등 자연법칙을 따르는 이상 연속체(ideal continuum)인 계(system)를 나타내고
[math( \sum \left( dS\dfrac{dQ}{dt} \right) = \dfrac{\partial}{\partial t} \left(\int Q dS\right) )]는 자연법칙으로부터 일정부분 독립된 제어체적(CV)이며,
[math( \displaystyle \iiint \begin{Bmatrix} \dfrac{d}{dx}\left(\overline{u}Q \right) + \dfrac{d}{dy}\left(\overline{v}Q \right) +\dfrac{d}{dz}\left(\overline{w}Q \right) \end{Bmatrix}dxdydz )]는 제어체적(CV)의 제어표면(CS,control surface)이다.
이때 [math( F_T =F_F \left(\text{유체 유속}\right) - F_B\left(\text{경계 유속}\right) )]이고 [math( \overline{u}=F_x, \overline{v} = F_y , \overline{w} = F_z , dxdydz = dS)]에서 [8]
[math( \displaystyle \iiint \begin{Bmatrix} \dfrac{d}{dx}\left(\overline{u}Q \right) + \dfrac{d}{dy}\left(\overline{v}Q \right) +\dfrac{d}{dz}\left(\overline{w}Q \right) \end{Bmatrix}dxdydz = \left( \dfrac{\partial}{\partial x}\left(Q F_x \right) + \dfrac{\partial}{\partial y}\left(QF_y \right) +\dfrac{\partial}{\partial z}\left(QF_z \right) \right) = \int F_{T} cos\theta QdA )]
이므로
[math( \dfrac{d}{dt} \left(\displaystyle \int Q dS\right) = \dfrac{\partial}{\partial t} \left(\displaystyle \int Q dS\right) + \displaystyle \int F_{T} cos\theta QdA )]
이다.

1.2. 레이놀즈 수송 정리의 벡터 계산

파일:fluid_mechanics_RTT_1.svg
검사 체적의 경계면으로 흐르는 유체
벡터 계산(vector calculus)에서 레이놀즈 수송 정리(RTT) 표현식
[math( \dfrac{d}{dt} \left(\int Q dS\right) = \dfrac{\partial}{\partial t} \left(\int Q dS\right) + \int F_{T} cos\theta QdA )]
[math( \dfrac{d}{dt} \left(\int Q dS\right) = \dfrac{\partial}{\partial t} \left(\int Q dS\right) + \int \overline{F}\cdot \overline{N} QdA )]

1.3. 레이놀즈 수송 정리의 일반 밀도 방정식

우선 비압축성 뉴턴유체 또는 이상유체를 자유물체도(Free Body Diagram)에서 전제하고
제어체적(CV)을 발산정리에서 [math( \dfrac{\partial}{\partial t} \left(\int Q dS\right) )]으로부터 미분을 적분으로 정리하면
[math( \dfrac{\partial}{\partial t} \left(\int Q dS\right) = \displaystyle \int_{S} \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) dS )]
[math( \displaystyle \int_{S} \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) dS = \left( \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) dS \right)^1 + \left( \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) dS \right)^2 + \left( \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) dS \right)^3 + \cdots + \left( \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) dS \right)^n )]
따라서 우변의 첫번째 항을 취하면
[math( \displaystyle \int_{S} \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) dS = \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) dS \;\; -\; (1))]
제어표면(CS,control surface)은
[math( \int F_{T} cos\theta QdA = \left( \dfrac{\partial}{\partial x}\left(Q F_x \right) + \dfrac{\partial}{\partial y}\left(QF_y \right) +\dfrac{\partial}{\partial z}\left(QF_z \right) \right) \;\; -\; (2) )]
[math( (1) + (2))]는
[math( \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) + \dfrac{\partial}{\partial x}\left(Q F_x \right) + \dfrac{\partial}{\partial y}\left(QF_y \right) +\dfrac{\partial}{\partial z}\left(QF_z \right) =0 )]이므로
[math( Q = \rho \text{(밀도)} )]로 정리해보면
[math( \dfrac{\partial}{\partial t} \left(\rho \right) + \dfrac{\partial}{\partial x}\left(\rho F_x \right) + \dfrac{\partial}{\partial y}\left(\rho F_y \right) +\dfrac{\partial}{\partial z}\left(\rho F_z \right) =0 )]
레이놀즈 수송 정리의 일반 밀도 방정식(general density equation)을 얻을수있다.
한편
[math( \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) + \left( \dfrac{\partial}{\partial x}\left(Q F_x \right) + \dfrac{\partial}{\partial y}\left(QF_y \right) +\dfrac{\partial}{\partial z}\left(QF_z \right) \right) =0 )]에서
[math( \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) + \left( \dfrac{\partial}{\partial x}\left( F_x \right) + \dfrac{\partial}{\partial y}\left(F_y \right) +\dfrac{\partial}{\partial z}\left(F_z \right) \right)Q =0 )]이고
[math( \left( \dfrac{\partial}{\partial x}\left( F_x \right) + \dfrac{\partial}{\partial y}\left(F_y \right) +\dfrac{\partial}{\partial z}\left(F_z \right) \right) = F \cdot \nabla )] 이므로 연속방정식(continuity equation) 을 얻을수있다
따라서
[math( \dfrac{\partial Q}{\partial t} + \left( F \cdot \nabla \right)Q =0 )]
이것은 물질 시간 도함수(material time derivative)의 오일러 방정식이다.
[math( Q )]를 정리하면
[math( \dfrac{\partial }{\partial t} + \left( F \cdot \nabla \right) =0 )]
이것은 물질 시간 도함수(material time derivative)이다.

2. 물질 시간 도함수

2.1. 1903년 물질 시간 도함수

1903년 오스본 레이놀즈의 물질 시간 도함수 표현식
[math( \dfrac{d}{dt} ({}_p Q_1 ) = - \dfrac{d}{dt} \left( {}_pQ_2 + \& c \right) )]
이 방법은 1903년 오스본 레이놀즈(Osborne Reynolds)가 그의 저서 <Papers on mechanical and physical subjects VOLUME3>(직역:기계 및 물리적 주제에 관한 논문 제3권)에서 사용하였다.[가]

2.2. 물질 시간 도함수와 발산

물질[math( (m) )]의 시간에 따른 변화량[math( m(t + \Delta t) )]와 시공간 좌표계[math( (t,x,y,z) )]에서
[math( m = m(t,x,y,z) )]를 편미분하면
[math( dm = \dfrac{\partial m}{\partial t} dt + \dfrac{\partial m}{\partial t} dx + \dfrac{\partial m}{\partial t}dy + \dfrac{\partial m}{\partial t}dz )]이고
물질의 이동 거리[math( (L) )]을 추가해보면
[math( L dt= L_{x,y,z} dt)]이므로
[math( dm = \dfrac{\partial m}{\partial t} dt + \dfrac{\partial m}{\partial t} L_{x}dt + \dfrac{\partial m}{\partial t}L_{y}dt + \dfrac{\partial m}{\partial t}L_{z}dt )]
[math( dm = \left( \dfrac{\partial m}{\partial t} + \dfrac{\partial m}{\partial t} L_{x} + \dfrac{\partial m}{\partial t}L_{y} + \dfrac{\partial m}{\partial t}L_{z} \right) dt )]이고
[math( \left( \dfrac{\partial m}{\partial t} L_{x} + \dfrac{\partial m}{\partial t}L_{y} + \dfrac{\partial m}{\partial t}L_{z} \right) = L \cdot \nabla m \; )]
[math( \nabla m)]에서 [math( \nabla )] 는 기울기 벡터(gradient vector),[math( L \cdot \nabla )]에서 [math( \cdot \nabla )] 는 발산(divergence)이다.
따라서
[math( dm = \left( \dfrac{\partial m}{\partial t} + L \cdot \nabla m \right) dt )]
[math( \dfrac{dm}{dt} = \left( \dfrac{\partial m}{\partial t} + L \cdot \nabla m \right) )]
물질[math( (m) )]을 정리해보면
물질 시간 도함수 [math( \dfrac{d}{dt} = \left( \dfrac{\partial }{\partial t} + L \cdot \nabla \right) = \dfrac{D}{Dt} )]을 얻을수있고 발산 정리를 조사할수있다.

3. RTT 아이디어

[math( \sum(Q \delta S) = \iiint Qdxdydz )] is put for the quantity within a space S enclosed by the surface s at the instant considered,
[math( \sum({}_oQ \delta S) )] is the quantity enclosed at a previous instant.
[math( \sum({}_pQ \delta S) )] is the quantity which has been produced within s during the interval, and
[math( \sum({}_cQ \delta S) )] is the quantity which has crossed the surface inwards during the interval.
Then [math( \sum(Q \delta S) = \sum({}_oQ \delta S) + \sum({}_pQ \delta S)+\sum({}_cQ \delta S) )]
is a complete expression for the Axiom [가]
[math( \sum(Q \delta S) = \iiint Qdxdydz )] 은 고려되는 순간 표면 s로 둘러싸인 공간 S내의 물리량으로,
[math( \sum({}_oQ \delta S) )]는 이전 순간에 포함되어있었던 물리량입니다.
[math( \sum({}_pQ \delta S) )]는 간격[math( (t+ \delta t) )] 동안 s 내에 생겨난 물리량이고,
[math( \sum({}_cQ \delta S) )]는 간격 동안 표면을 안쪽으로 교차한 물리량입니다.
그런 다음 [math( \sum(Q \delta S) = \sum({}_oQ \delta S) + \sum({}_pQ \delta S)+\sum({}_cQ \delta S) )]
은 이러한 공리의 완전한 표현식입니다.
파일:fluid_mechanics_RTT_2B.svg

4. 관련 문서



[1] Papers on mechanical and physical subjects \[VOLUME I\], Osborne Reynolds, 1900https://archive.org/details/papersonmechanic01reynrich/page/n8/mode/1up?view=theater[2] Papers on mechanical and physical subjects \[VOLUME II\], Osborne Reynolds, 1901https://archive.org/details/papersonmechanic02reynrich/page/n8/mode/2up[가] Papers on mechanical and physical subjects \[VOLUME III\], Osborne Reynolds, 1903https://archive.org/details/papersonmechanic03reynrich/page/n7/mode/2up SECTION II The General Equations of Motion of any Entity p9[4] Basics of Fluid Mechanics ,Genick Bar-Meir 2014 GFDLhttps://open.umn.edu/opentextbooks/textbooks/85 7.4 ENERGY EQUATION IN ACCELERATED SYSTEM[5] Basics of Fluid Mechanics ,Genick Bar-Meir 2014 GFDLhttps://open.umn.edu/opentextbooks/textbooks/85 P162 CHAPTER 5. MASS CONSERVATION 5.1[6] Joseph Louis Lagrange, Méchanique analytique 1788 Chez la veuve Desaint https://books.google.co.kr/books/about/M%C3%A9chanique_analytique.html?id=HTEVAAAAQAAJ&redir_esc=y[가] [8] Basics of Fluid Mechanics ,Genick Bar-Meir 2014 GFDLhttps://open.umn.edu/opentextbooks/textbooks/85 P250 CHAPTER 8. DIFFERENTIAL ANALYSIS,8.2 Mass Conservation, (Part I) Integral Analysis P162 CHAPTER 5. MASS CONSERVATION 5.3Continuity Equation[가] [가]