1. 개요
제어공학과 신호처리 분야에서 주로 사용되는 복소 평면(Complex Plane)으로, 라플라스 변환(Laplace Transform)의 복소 변수 [math(s=\sigma + j\omega)]의 실수부 [math(\sigma)]와 허수부 [math(\omega)]를 각각 가로축과 세로축으로 하는 평면이다.이 평면에서는 시스템의 극점(pole)과 영점(zero)을 시각적으로 표시할 수 있으며, 이를 통해 복잡한 미분방정식을 해석하지 않고도 시스템의 안정성(stability)과 주파수 응답(frequency response)을 직관적으로 이해할 수 있다.
본 문서는 전자공학을 기준으로 작성되었으나, 기계공학 등 타 분야에서도 s-plane을 사용한다.
2. 시스템 응답
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| 지수 형태의 z-domain을 복소수 형태의 s-domain으로 매핑한 모습 |
3. 극점과 영점
시스템의 수학적 표현은 미분방정식을 통해 이루어지는데, 고차 미분방정식을 직접 계산하는 대신 s-domain으로 옮겨 계산하면 간단한 다항식 계산만으로 선형 미분방정식 시스템을 해석할 수 있다. 이를 전달 함수(transfer function) [math(\begin{aligned} H(s) = \frac{N(s)}{D(s)} \end{aligned})]라고 한다. Transfer function의 분자를 0으로 만드는 근을 zero, 분모를 0으로 만드는 근을 pole이라고 부른다. 일반적으로 s-plane에서 pole은 X로, zero는 O로 표시한다.S-plane 위에서 zero와 pole은 각각 세로축의 좌측 평면, 우측 평면, 혹은 세로축 위에 존재할 수 있다. 각각의 경우를 OLHP(open left half plane), ORHP(open right half plane), [math(j\omega)]-axis에 존재한다고 부른다.
전달 함수의 각 계수가 모두 실수라면 pole과 zero는 실수 근이거나 복소 켤레(complex conjugate)근이 되며, s-plane에서 가로축에 대칭인 plot이 된다.
S-plane의 좌측/우측에 근이 존재하는지 판단하는 것은 제어공학 안정성(stability)의 영역, [math(j\omega)] 세로축 상에서 주파수만에 의한 응답을 판단하는 것은 푸리에 해석(Fourier analysis)과 Bode plot의 영역이다.
Pole은 시스템의 안정성과 속도에 영향을 준다. 우선 pole이 ORHP에 존재하면 [math(\sigma>0)]이므로 시스템은 발산하고, [math(j\omega)]-axis에 존재하면 진폭의 변화 없이 무한히 진동한다. Pole이 OLHP에 존재해야 시스템이 안정하다. 또 MOSFET 전자 회로 등에서 고주파 대역의 pole 주파수는 일반적으로 zero 주파수보다 작은데, 이 때문에 pole 주파수가 시스템의 bandwidth를 결정하는 데 중요한 역할을 한다. 다르게 표현하면 pole 주파수가 작아질 때 고주파 영역에서 시스템의 gain이 감소하며, 회로가 고주파 영역에서 잘 동작하지 못하는 '느린' 특성을 가지게 된다.
Zero는 그 자체로 transfer function을 발산시키지 않기 때문에 시스템의 안정성에 직접 영향을 주지는 않는다. 그 대신 위상(phase) 특성에는 그대로 영향을 미치는데, OLHP pole이 phase를 [math(90\degree)] lag(지연)시키는 것과 달리 OLHP zero는 phase를 [math(90\degree)] lead(진전)시킨다.[1] 인과적(causal)이고 구현 가능한 일반적인 시스템은 pole의 개수가 zero의 개수보다 더 많거나 같아서 phase lagging이 주로 일어나는데, OLHP zero는 이를 완화시켜 주기 때문에 유용하다. 반대로 ORHP zero는 phase lagging에 기여한다.[2] 부귀환(negative feedback)을 통해 안정성을 확보한 시스템의 경우 phase가 [math(-180\degree)]보다 작아지면 동작이 반대로 일어나면서 발진할 위험이 있다. 이를 방지하기 위해 보통 [math(-180\degree)]보다 더 높은 위상까지만 동작시키도록 설계하는데 이를 위상 여유(phase margin; PM)를 확보한다고 부른다. ORHP zero는 PM을 줄여서 negative feedback 시스템의 안정성을 위협하는 요소이다.[3]
Pole과 zero는 시스템의 시간 영역 transient 응답에도 영향을 미친다. 우선 OLHP pole이 phase lag 요소이기 때문에 단위 계단 입력(unit step input)에 대해 exponential하게 상승이 지연되는 출력을 만든다. OLHP zero는 phase lead 요소이므로 pole에 의한 상승 지연 효과를 억제하는데, 그 대신 목표값보다 더 상승하는 오버슈팅(overshooting) 현상을 일으킨다. ORHP zero는 phase lag 요소인데, 흥미롭게도 초기에 출력이 조금 하강했다가 상승하는 언더슈팅(undershooting) 현상을 일으킨다. ORHP zero와 OLHP pole 모두 phase lagging하지만 zero가 pole보다 일반적으로 더 높은 주파수를 갖기 때문에(즉 zero가 더 빠르기 때문에) transient에서 zero에 의한 undershooting이 먼저 일어난 후 pole에 의한 느린 상승 응답을 따라가게 된다. 전자회로의 Common Source 증폭기에서는 게이트 단자와 드레인 단자 사이의 기생 커패시턴스(parasitic capacitance)가, 입력 전압이 증가할 때 출력 전압이 감소하는 동작 때문에 undershooting을 일으키는 ORHP zero으로 나타난다(Miller effect).
4. 보데 선도(Bode plot)
전자 회로의 주파수 응답에서 사용되는 Bode plot은 증폭기 시스템의 이득(gain) transfer function를 정확히 계산하는 대신 pole과 zero 주파수를 이용해 gain의 개형을 판단한다. 이때 1차 RC 회로에서는 transfer function의 pole frequency([math(-1/{RC})])가 gain이 중간 대역(midband)으로부터 [math(3dB)](half power) 감소하는 주파수(엄밀히는 각진동수; [math(1/{RC})])와 우연히 같은 크기 값을 가진다. 2차 이상의 복잡한 회로에서는 두 주파수가 동일하지 않지만, gain plot에서 pole 및 zero frequency들 중 하나의 pole만 midband에 가깝다면 이 주파수는 1차 RC 회로의 pole 주파수처럼 동작한다. 전자회로 주파수 응답의 용어로 표현하면 우성 극점(dominant pole)이고, 제어 공학의 용어로 표현하면 하나의 pole이 나머지 근과 s-plane 상에서 멀리 떨어져 있는 것이고, Bode plot과 transfer function curve에서 설명하면 기울기를 변화시키는 나머지 pole/zero들이 가까운 pole에서 멀리 떨어져 있어서 직선 Bode plot보다 actual transfer function을 작게 만드는 데 거의 기여하지 못한다는 것이다.5. 안정성 해석
제어 공학에서 s-plane 상의 zero와 pole을 이용해 Nyquist stability criterion이나 root locus analysis 등을 수행한다. 앞에서 언급했듯 Bode plot의 크기(magnitude)와 위상(phase) 특성을 분석해 안정성을 판별할 수도 있다.6. 기타
S-plane은 stability 판별을 넘어 시스템의 causality나 minimum phase를 판단하는 데도 사용된다.이산 시스템에서는 Laplace transform과 유사한 Z transform을 사용한다. 두 변환의 관계는 [math(z=e^{sT})]이다.
포토샵에서 극좌표(Polar Coordinates) 필터가 S-평면의 성질을 이용한 것이다. 주로 복잡한 방사형 테두리의 원을 그릴 때 활용한다.
[1] 실제로 phase는 주파수에 따라 아크탄젠트 함수의 형태를 따르며, [math(90\degree)] 등에 도달하지는 않는다. 본 문서에서는 충분히 큰 주파수에서 가지는 phase lead/lag 최대 변화를 서술하였다.[2] 정확히는 phase lead를 추가하지만, feedback 시스템 관점에서는 불안정한 phase 보상으로 작용한다.[3] Phase margin은 엄밀하게는 Bode plot의 gain crossover frequency에서 [math(-180\degree)]에 대한 phase 차이로 정의된다.