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1. 개요
非可換 幾何學 / noncommutative geometry비가환 기하학은 비가환 C*-대수(C*-algebra)를 비가환 공간으로 보고 기하학적으로 분석하는 수학의 분야이다. 이는 가환 C*-대수 범주와 국소적 컴팩트 공간 범주의 동치성에서 비롯되었다. 벡터 다발과 드 람 호몰로지 등 가환 공간의 기하적 구조는 비가환 기하학에서 유한 생성 가군, 순환 코호몰로지 등의 구조로 일반화된다.
주로 양자역학의 수학적 기초와 밀접한 관련이 있으며, 프랑스의 수학자 알랭 콘(Alain Connes) 등에 의해 현대적인 형태가 확립되었다.
2. 수학적 배경 및 정의
고전 기하학과 대수학 사이의 '사전(Dictionary)'을 비가환 대수로 확장하는 것이 비가환 기하학의 핵심 출발점이다.2.1. 겔판트-나이마르크 정리 (Gelfand-Naimark Theorem)
국소 콤팩트 하우스도르프 공간 [math(X)]와 그 공간 위에서 정의된 복소수 값 연속 함수 가환 C*-대수 [math(C_0(X))]에 대하여 [math(X)]와 [math(C_0(X))]의 스펙트럼(극대 아이디알 공간)은 위상동형이며 반대로 가환 C*-대수 [math(A)]에 대하여 [math(A)]의 스펙트럼 [math(\hat{A})]는 국소 콤팩트 공간이고 [math(A)]와 [math(C_0(\hat{A})]는 등거리 [math(*)]-동형이다. 비가환 기하학은 이 대응 관계를 비가환 C*-대수로 확장하여 "비가환 C*-대수 [math(\mathcal{A})]를 어떤 가상의 비가환 공간 위에서 정의된 함수들의 집합으로 간주하자"고 정의한다.2.2. 세르-스완 정리 (Serre-Swan Theorem)
위상 공간 [math(X)] 위의 벡터 다발(Vector bundle)은 대수적으로 [math(C(X))] 위의 유한 생성 사영 가군(finitely generated projective module)과 완전히 동치이다. 이 정리를 통해 비가환 기하학에서는 비가환 대수 위의 사영 가군을 '비가환 벡터 다발'로 정의하고 연구할 수 있게 된다.3. 주요 예시
3.1. 비가환 원환면 (Noncommutative Torus)
가장 대표적이고 활발히 연구되는 비가환 공간이다. 두 유니터리 작용소 [math(U)]와 [math(V)]가 주어지고, 무리수 [math(\theta)]에 대하여 다음과 같은 교환 관계를 만족하는 보편 C*-대수(universal C*-algebra)를 비가환 원환면 [math(\mathcal{A}_\theta)]라고 한다.| [math(V U = e^{2\pi i \theta} U V)] |
무리수 [math(\theta)]에 대해 이 공간은 고전적인 점(point)을 전혀 갖지 않지만, K-이론 등 위상적 불변량은 명확하게 계산된다. 양자 홀 효과(Quantum Hall Effect)를 설명하는 브라베 격자의 자기장 모델과 깊은 연관이 있다.
3.2. 모얄 평면 (Moyal Plane)
양자역학의 위상 공간(Phase space)을 기하학적으로 구성한 예시이다. 고전적인 [math(\mathbb{R}^2)] 공간의 함수들에 대해, 점별 곱셈(pointwise multiplication) 대신 다음과 같은 비가환 모얄 별-곱(Moyal star-product) [math(\star)]을 부여한다. 이스라엘 태생의 수학자 호세 엔리케 모얄(יוסף הנרי מויאל)이 고안했다.| [math(f \star g = f \exp\left( \frac{i\theta}{2} (\overleftarrow{\partial_x} \overrightarrow{\partial_y} - \overleftarrow{\partial_y} \overrightarrow{\partial_x}) \right) g)] |
이 대수에서는 좌표 함수 [math(x)]와 [math(y)]의 교환 관계가 [math([x, y]_\star = i\theta)]가 되어 불확정성 원리를 기하학적으로 체화하게 된다.
4. 핵심 도구 및 성질
고전적인 기하학적 도구(미분, 거리, 코호몰로지 등)는 비가환 대수 위에서 새로운 형태로 재정의된다.4.1. 스펙트럴 삼조 (Spectral Triple)
알랭 콘이 도입한 비가환 기하학의 핵심 기둥으로, 고전적인 리만 다양체(Riemannian manifold)와 스핀 기하학의 개념을 비가환 공간으로 일반화한 것이다. 다음 세 가지 요소 [math((\mathcal{A}, \mathcal{H}, D))]로 구성된다.- 대수: 힐베르트 공간 [math(\mathcal{H})] 위에서 작용하는 *-대수 [math(\mathcal{A})].
- 힐베르트 공간: 스피너(spinor)들이 존재하는 공간 [math(\mathcal{H})].
- 디랙 작용소 (Dirac Operator): 콤팩트 분해인자(compact resolvent)를 가지는 자기 수반 작용소 [math(D)]로, 모든 [math(a \in \mathcal{A})]에 대해 교환자 [math([D, a])]가 유계 작용소(bounded operator)여야 한다.
이를 통해 비가환 공간에서의 두 상태 [math(\varphi, \psi)] 사이의 거리(Connes' distance formula)를 다음과 같이 정의할 수 있다.
| [math(d(\varphi, \psi) = \sup \Set{ |\varphi(a) - \psi(a)| : a \in \mathcal{A}, \|[D, a]\| \le 1 })] |