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1. 정의
네 각이 모두 같은 사각형, 혹은 네 각이 모두 직각인 사각형. 사각형의 네 각의 합은 [math(360\degree)]이므로 네 각이 모두 직각, 즉 [math(90\degree)]라는 뜻이 된다. 따라서 직사각형은 볼록다각형이다.2. 성질
- 두 쌍의 대변이 각각 평행
- 두 쌍의 대변이 각각 같음
- 두 대각선이 중점에서 교차
- 두 대각선의 길이가 같음
- 한 대각선의 길이를 지름으로 하는 원에 내접(외접원이 항상 존재)
- 두 대각선이 서로를 이등분
- 한 대각선이 도형을 이등분, 이등분된 도형들은 합동
- 두 대각선이 도형을 사등분, 사등분된 도형들은 변을 공유하지 않는 쌍끼리만 합동[1]
- 합동인 두 도형으로 등분하는 방법이 무수히 많음
- 쌍대는 마름모
- 정사각형이 아닌 직사각형의 경우 두 대각선이 수직이 아니고, 내접원이 존재하지 않음[2]
- 한 쌍의 마주보는 대변의 중점을 연결한 직선에 대하여 대칭
3. 다른 도형과의 관계
3.1. 사각형
직사각형은 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 사다리꼴이며, 평행사변형이다. 또한 평행한 한 쌍의 대변 중 어느 하나의 양 밑각의 크기가 직각으로 같고 대각선의 길이까지 같으므로 등변 사다리꼴이다. 직사각형은 평행사변형인 동시에 등변 사다리꼴이다. 그러나 네 변의 길이가 모두 같지 않으므로 마름모나 정사각형은 아니다.[3]3.2. 원기둥
직사각형을 한 변을 회전축으로 하여 [math(360\degree)] 회전시키면 원기둥이 되며, 반대로 직사각형은 원기둥을 밑면의 지름을 따라 자른 단면이다.4. 공식
- [math(\textsf{\footnotesize{(넓이)}}=\textsf{\footnotesize{(가로)}}\times\textsf{\footnotesize{(세로)}})]
- [math(\textsf{\footnotesize{(둘레)}}=\{\textsf{\footnotesize{(가로)}}+\textsf{\footnotesize{(세로)}}\}\times 2)]
- 모든 각이 직각이므로 피타고라스 정리에 의하여 [math(\textsf{\footnotesize{(대각선)}}=\sqrt{\textsf{\footnotesize{(가로)}}^2+\textsf{\footnotesize{(세로)}}^2})]
5. 언어별 명칭
- 한국어: 직사각형(直四角形), 직각사각형(直角四角形), 직방형(直方形), 장방형(長方形), 구형(矩形), 긴네모(꼴)
- 중국어: 直角四边形[zhíjiǎosìbiānxíng], 长方形[chángfāngxíng], 矩形[jǔxíng]
- 일본어: 長方形(ちょうほうけい), 矩形(くけい·さしがた), 長四角(ながしかく), 長手(ながて)
- 영어: rectangle, oblong
한자문화권에서는 나라마다 명칭이 비슷한 듯 다르다. 우선 한국어에서는 초중고 교육과정에서 '직사각형'을 용어로 채택하는 등 '직사각형'이 가장 널리 쓰이고 있다. 간혹 직각삼각형과 비슷하게 '직각사각형'이라고도 한다. 반면 '직방형', '장방형', '구형', '긴네모', '긴네모꼴'은 '직사각형'에 비해서 현저히 사용 빈도가 낮다. 그나마 '장방형'[4]이 해방 이후 문어체로 받아들여져 21세기 이후의 용례도 생기고 있지만, 矩(모날 구)를 써서 '모난 모양'을 뜻하는 '구형(矩形)'의 경우 球(공 구)를 써서 '공 모양'이나 '구(球)'를 뜻하는 구형(球形)과 심한 혼동이 발생할 여지가 있다. 그래도 '판구형(板矩形), '구형파(矩形波)' 등 다른 용례를 찾아볼 수는 있다.
중국어에서는 直角四边形(직각사변형), 长方形(장방형), 矩形(구형) 정도가 쓰이는데, '직각사각형'이 아니라 '직각사변형'으로 부르는 것이 두드러지는 특징이다.
일본어에서는 長方形(장방형), 矩形(구형), 長四角(장사각) 등의 한자어를 쓰는데, 한국어나 중국에서 찾아볼 수 없는 '장사각'이라는 단어가 눈에 뜨인다. 이중에서 矩形(구형)은 くけい로 음독할 수도 있고, さしがた로 훈독할 수도 있다. 한편 長手(ながて)라는 순일본어 어휘도 쓰이는데, 長手盆(ながてぼん, 직사각형 모양의 쟁반)과 같이 학술 용어가 아닌 일상 언어로 쓰인다.
영어에서는 rectangle이 많이 쓰이며, oblong은 '길쭉한'이라는 뜻의 형용사이기도 하다.
[1] 정사각형의 경우 사등분된 도형들이 모두 합동이다.[2] 정사각형의 경우 두 대각선이 수직이고, 내접원이 존재한다. 따라서 내접원이 존재하는 직사각형이나, 두 대각선이 수직인 직사각형은 무조건 정사각형이기에 이웃한 두 변의 길이가 같아지게 하는 것과 함께 직사각형이 정사각형이 되기 위한 조건이기도 하다. 비슷하게 마름모도 모든 내각을 직각으로 만들거나 두 대각선의 길이가 같거나 외접원이 존재할 경우 정사각형이 된다.[3] 마름모인 직사각형은 정사각형이다.[4] 구글 검색 기준 '장방형' 약 466,000건으로 '직각사각형' 약 201,000건보다 검색결과가 약 265,000건 많이 나온다. 내용을 보면 제조업·의치약·이공학 분야가 눈에 띈다.