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1. 개요
Brahmagupta's formula · Brahmagupta 公式원에 내접하는 평면 위의 사각형의 네 변의 길이로 사각형의 넓이를 구하는 공식으로, 네 변의 길이를 각각 [math(a)], [math(b)], [math(c)], [math(d)]라 하면 넓이는 아래와 같다.
| [math(\displaystyle \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \quad \left(s=\dfrac{a+b+c+d}{2} \right) )] |
2. 증명
그림과 같이 네 변의 길이가 [math(a)], [math(b)], [math(c)], [math(d)]인 내접사각형 [math(\square \rm ABCD)]에 대해, [math(\angle{\rm BAD}=\theta)]라 하고, 이 사각형의 넓이를 [math(S)]라 하자.
| [math(\displaystyle S=\triangle {\rm ABD}+\triangle {\rm CBD} )] |
| [math(\angle{\rm BCD}=\pi-\theta)] |
| [math(\displaystyle S=\frac{1}{2}ad\sin{\theta}+\frac{1}{2}bc\sin{(\pi-\theta)} )] |
| [math(\displaystyle S=\frac{1}{2}(ad+bc)\sin{\theta} )] |
| [math(\displaystyle {\overline{\rm BD}}^{2}=a^2+d^2-2ad\cos{\theta}=b^2+c^2-2bc\cos{(\pi-\theta)} )] |
| [math(\displaystyle a^2+d^2-2ad\cos{\theta}=b^2+c^2+2bc\cos{\theta} )] |
| [math(\displaystyle \cos{\theta}=\frac{1}{2}\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{ad+bc} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{\theta}&=\sqrt{1-\cos^{2}{\theta}} \\&=\sqrt{1-\frac{(a^2+d^2-b^2-c^2)^2}{(2ad+2bc)^2}}\\&=\sqrt{\frac{(2ad+2bc+a^2+d^2-b^2-c^2)(2ad+2bc-a^2-d^2+b^2+c^2)}{4(ad+bc)^2}} \\ &=\sqrt{\frac{\left[ (a+d)^2-(b-c)^2 \right] \left[ -(a-d)^2+(b+c)^2) \right]}{4(ad+bc)^2}} \\&=\sqrt{\frac{(a+b-c+d)(a-b+c+d)(a+b+c-d)(-a+b+c+d)}{4(ad+bc)^2}}\\&=\sqrt{\frac{16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}{4(ad+bc)^2}} \quad \biggl(s=\frac{a+b+c+d}{2} \biggr)\\&=2 \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}{(ad+bc)^2}} \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} S &=\frac{1}{2}(ad+bc)\sin{\theta}\\&=\frac{1}{2}\cdot(ad+bc)\cdot 2 \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}{(ad+bc)^2}} \\&=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \end{aligned} )] |
3. 브레치나이더 공식
Formel von Bretschneider · Bretschneider 公式브라마굽타 공식을 카를 안톤 브레치나이더가 임의의 사각형으로 일반화시킨 것이다.
| [math(\displaystyle \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cos^2 \theta} \quad \left(s=\dfrac{a+b+c+d}{2} \right) )] |
브라마굽타 공식은 저기서 [math(\theta = \pi/2)]인 경우이다.